Тема . Делимость и делители (множители)

Условия про НОД и НОК

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела делимость и делители (множители)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#140607

Известно, что дробь a
b  несократима, (a∈ℕ,b∈ ℕ).  На доске записана дробь

---a+-b---
a2− 6ab+ b2

При каком наибольшем m  могло оказаться, что дробь сократима на m?

Источники: Физтех - 2023, 10.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть d =НО Д(a2 − 6ab+ b2;a+ b).  Выделим a +b  в знаменателе:

 2      2               2                   2
a − 6ab+ b =a(a+ b)− 7ab+b = a(a +b)− 7b(a+ b)+ 8b

Теперь выразим 8b2:

 2    2      2
8b= (a − 6ab+ b)+ (7b− a)(a+ b)

из этого равенства следует, что 8b2  делится нацело на d.  Аналогично доказывается, что 8a2  делится нацело на d.  Так как числа    a  и b  взаимно просты, Н ОД(a;b)= 1,  то

d≤ НОД(8b2;8a2)=8 ⋅Н ОД(a2;b2)≤8

Докажем, что значение d= 8  может достигаться. Для этого достаточно взять a= 1,  b =7  — дробь равна 88 =1.

Ответ: 8

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!