Разложение на множители, основная теорема арифметики

Пусть — число, удовлетворяющее условию задачи. Тогда существуют такие целые числа и что верна система

Умножаем на и соответственно первое и второе уравнение. Система приобретает вид

Из первого получаем, что Тогда из второго уравнения, так как числа 2 и 5 взаимно просты, следует, что то есть и, стало быть, Аналогично получаем, что

Пусть Подставим в систему

Сокращаем на 2 и 5 уравнения соответственно

Из первого уравнения получаем, что следовательно, Наименьшее удовлетворяющее этому условию равно Пусть тогда Видим, что оно удовлетворяет системе, значит, это и есть нужное минимальное число.

Приведем все дроби к общему знаменателю, не складывая числители и не сокращая. Он будет иметь вид где не делится ни на ни на Дробь добавит нечетный числитель, остальные дроби добавят четные числители. Дроби и дают в сумме поэтому их сумма добавит к числителю одно слагаемое, не кратное пяти. Остальные слагаемые будут кратны пяти. Следовательно, полученный после сложения числитель не делится ни на ни на Следовательно, знаменатель содержит ровно три нуля.

Каждое из данных произведений делится на поэтому достаточно определить, сколько из них делятся на Каждое число кратное трем входит в два произведения, поэтому количество искомых произведений

Пусть Тогда на доске присутствует дробь

что и требовалось

Пусть где — простое число. Это означает, что одно из чисел и делится на Разберем оба случая.

Предположим для начала, что Тогда Но, поскольку мы можем написать цепочку неравенств

Перейдём к случаю После преобразований получаем равенство Если для какого-то натурального числа то и, следовательно, то есть или В качестве можно взять само число Получаем, что либо что, очевидно, невозможно, так как в все простые сомножители входят хотя бы в третьей степени; либо В последнем случае получаем, что

и, так как — простое число, необходимо Тогда и

Пусть первое из чисел равно тогда сумма арифметической прогрессии этих подряд идущих чисел равна

что эквивалентно

Поскольку чётно, то скобки имеют разную чётность, следовательно, чётна ровно одна из них.

Если чётно, то при этом но из условия на произведение получаем противоречие.

Значит, нечётно и является делителем то есть может быть равно Легко видеть, что и каждое чётное значение можно получить выбором потому при решение относительно есть всегда, откуда все найденные подойдут.

Пусть Сашино число имеет делители Заметим, что число взаимно просто со всеми этими делителями, поэтому число должно делиться на При этом и так далее Перемножив эти неравенства, получим, что делимое не превосходит своего делителя, а это возможно только в том случае, когда все неравенства обращаются в равенства. Но тогда т. е. делится на Значит, либо либо числа не существует и

Разложим на простые множители Обозначим НОД наших чисел через Тогда откуда Наибольшее натуральное число, не превосходящее делящее это

Осталось привести пример, что НОД чисел действительно может быть равен Подходят числа

Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки и при делении на Они делятся на но не делятся на так что они обязаны иметь вид и Тогда то есть что невозможно. Противоречие.

Пусть — наибольший делитель числа меньший, чем Тогда где — наименьший простой делитель числа Имеем Число в правой части не делится на поэтому Отсюда следует, что нечётно, а тогда и нечётно. Поскольку делится на

Если то что невозможно, так как делится на то есть не является простым. Значит, число кратно и потому

Если то откуда и

Если же то и число делится на что невозможно.

Достаточно показать, что хотя бы одно из двух чисел и больше Действительно, если, например, то делится на и значит,  – составное число. Из условия следует, что значит, делится на Но тогда, если то и что противоречит условию.

Хотя бы одно из простых чисел нечётно, потому число кратно двум. Пусть это где Далее будем находить числа по порядку

Число содержит делителем может быть только поскольку остальные делители больше откуда оно равно и Подойдёт пойдём дальше.

Число содержит делителями могут быть только но оба они меньше потому Подойдёт

Число содержит может быть равно только поскольку В первом случае составное, во втором и подходит

Пусть теперь число содержит отсюда равно одному из чисел где все числа, увеличенные на один, будут составными, откуда больше четырёх простых чисел быть не может.

Если число чётно, то есть то искомыми числами будут и Пусть нечётно, — его простые делители и — наименьшее нечётное простое число, не входящее во множество Тогда искомыми будут числа и так как, в силу выбора число имеет своими делителями число и, возможно, какие-то из чисел

Расставим все числа в последовательность в порядке их возрастания. Пройдём по этой последовательности слева направо и присвоим каждому её элементу числовой индекс следующим образом: индекс числа равен максимальному из индексов его делителей плюс (если у числа делителей нет, то его индекс равен К моменту, когда мы доходим до некоторого числа индексы всем его делителям (они могут стоять только слева от уже присвоены, поэтому процедура определена корректно. Возможны два случая.

В последовательности встретилось число, имеющее индекс Тогда у этого числа есть делитель с индексом у того, в свою очередь, есть делитель с индексом и т. д. Получим пятёрку чисел, в которой каждое следующее делится на предыдущее.

Все числа в последовательности имеют индексы меньше Тогда по принципу Дирихле хотя бы один из индексов встретится не менее пяти раз. Но если два числа имеют одинаковый индекс, то ни одно из них не делится на другое.

Ясно, что Сумма в каждой скобке, кроме первой, чётна, поэтому она разлагается по крайней мере на два простых множителя. Несложные вычисления показывают, что при число разлагается в произведение простых множителей. Поэтому при число множителей не меньше чем

Заметим, что числа и — наименьшие простые делители и соответственно. Тогда одно из них равно а второе — Не умаляя общности, Тогда у числа все делители нечётные. Значит, все делители числа чётные. То есть для некоторого натурального

Если то Иначе понятно, что и

Если то Если получаем, что так как должно делиться на или на Но тогда у числа найдётся ещё один лишний делитель — число Противоречие.

Далее считаем, что Тогда, так как получаем, что

По модулю имеем: делится на при некоторой расстановке знаков, откуда то есть Но поскольку тогда Получаем, что

(так как делится на или на то есть, Отсюда получаем:

Наличие общего множителя у чисел и влечёт за собой наличие такого же множителя у числа а далее последовательно у чисел

Так как 79 — простое число, то дробь сократима на 79, поэтому для некоторого целого По условию — чётное, поэтому следовательно, для некоторого целого По условию также больше 2017, поэтому

Наименьшее подходящее значение соответственно наименьшее подходит