Уравнения с целой и дробной частями
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
![2018- 2018-
[x]+ [x] = {x}+ {x}](/api/latex-service/v1/GetSession/176278/index-0f27274dd0656f55a1c360d66a6d10af.svg)
Подсказка 1
Первое, что бросается в глаза — правая и левая часть ну очень похожи. Давайте сгруппируем схожие слагаемые и попытаемся разбить уравнение на множители.
Подсказка 2
После приведения дробей к общему знаменателю можно вынести общий множитель ([x] – {x}). Таким образом наше уравнение распадается на совокупность из двух: [x] = {x} и {x} * [x] = 2018. Для каких x такие уравнения могут быть верны? Не забывайте про ОДЗ.
Подсказка 3
Первое равенство никогда не может быть верным из-за ограничений [x] не равно нулю и {x} не равно нулю. А что насчет второго? При любых ли x может существовать {x} = 2018/[x]?
Подсказка 4
Если x меньше 2019, то {x} будет принимать значения не меньше единицы, что невозможно. Какие значения будет принимать x, если мы знаем нижнюю границу на [x] и знаем, как выражается {x} через [x]?
Выпишем ограничения:
![{ [x]⁄=0
{x}⁄= 0](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-7b834349dc5452eb4f0542e7373de27f.svg)
С учетом ограничений сделаем преобразования:
![[x]+ 2018= {x}+ 2018-
[x] {x}](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-b62a3930e1635a8f24788004810d9441.svg)
![( 1 1 )
[x]− {x} +2018⋅ [x] − {x} =0](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-9f24bccd4c33709e3979b3da152bb0ca.svg)
![( )
[x]− {x}+2018⋅ {x}−-[x] = 0
{x}[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-8967ad68e3c0c7895f5ac14d5d18a0e3.svg)
![( )
([x]− {x})⋅ 1− 2018- = 0
{x}[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-fa7d8201f04ae50784310b90ddd61dff.svg)
Тогда получаем следующую серию решений:
![[ [x]={x}
{x}⋅[x]= 2018](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-bb66b52aea3c418f83309a3b99ccce3e.svg)
Первый случай возможен только если 
что не удовлетворяет ограничениям.
Рассмотрим второй случай подробнее:
(a) Если 
то левая часть неположительна (поскольку ![{x}≥0,[x]< 0](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-c9a0859a30d75cd2a0ce44891a19e5fb.svg)
) и не может равняться 2018.
(b) Если 
то тогда ![[x]≤ 2018,](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-b4bc3b86596f1b30de8369fa0a84ac07.svg)
откуда следует, что 
откуда получается противоречие.
(c) Если 
то тогда ![{x}= 2018.
[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-b10bdf60d16ba3a76dd658d514297d2f.svg)
Тогда, если взять любой 
то 
следовательно,
![2018- 2018-
{x} = n <1 ⇒ [x]= n⇒ x= [x]+ {x}= n+ n](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-10ec3dc576b4c3b03295859f41c6dea9.svg)
Докажем, что для каждого 
будет ровно 1 решение. Пусть существуют решения 
![2018 2018
[x1]= [x2]⇒ {x1}= [x1]-= [x2]-={x2}⇒ x1 = x2](/api/latex-service/v1/GetSession/176917/index-17ec3afbd71bf162c79015593ba69bcb.svg)
для любого натурального 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
