Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119630

Решить уравнение

[∘ [∘-------------]] [∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 4 2024(x+ 1)(3− x)

Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b.$

Источники: Росатом - 2025, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно, но мы сразу можем ограничить икс, написав ОДЗ. Как теперь начать раскручивать задачу?

Подсказка 2

Подставляя разные значения икса легче не становиться... Что можно сделать? Мы уже поняли, что наше число неотрицательно. Давайте попробуем написать оценки в общем случае на выражения такого вида.

Подсказка 3

Заменим неудобное подкоренное выражение на а. В изначальном выражении у нас фигурируют корни второй и четвёртой степени, целая часть числа. Как тогда удобнее всего оценивать а?

Подсказка 4

Верно! Можно утверждать, что для а всегда найдётся такое n, что n⁴ ≤ a < (n+1)⁴. Пользуясь тем, что а неотрицательно, приведём оценку к виду, который дан в условии: пусть над а будут выполнены все те операции, которые выполняются над подкоренным выражением из условия. Что тогда можно сказать про это выражение?

Подсказка 5

Да! Оно равно n. Давайте таким же образом оценим ⁴√а и скажем, когда выполняется равенство из условия!

Показать ответ и решение

Для любого неотрицательного числа $a$ найдется целое неотрицательное число $n$ такое, что:

4 4 2 √- 2 n ≤ a< (n +1) ⇒ n ≤ a <(n+ 1)

2 [√-] 2 ∘ [√-] n ≤ a < (n+ 1) ⇒ n ≤ a < n+ 1

∘ [√-] a = n

Кроме того,

√4- [4√-] n≤ a< n+ 1⇒ a = n

Таким образом, для любых значений $a$ уравнение

[∘ ---] [√a] = [4√a]

является тождеством.

Положив в исходном уравнении $a= 2024(x+ 1)(3− x):$

[∘ [∘-------------]] [4∘ -------------] 2024(x+ 1)(3− x) = 2024(x+ 1)(3− x)

получаем, что все числа из области допустимых значений являются его решениями.

2024(x +1)(3− x)≥ 0

x∈ [−1;3]

Ответ:

$[−1;3]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88909

Решите уравнение

[3] [2] x + x + [x]= {x}− 1

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но ${x}∈ [0;1),$ поэтому это возможно только при ${x} =0,$ т.е. когда $x$ — целое число. Тогда данное уравнение примет вид

3 2 x + x + x= −1

2 x (x+1)+ (x +1)= 0

(x +1)(x2+ 1)= 0

x= −1

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88910

Решите уравнение

3 x − [x]= 3

Показать ответ и решение

Можно заметить, что $x∈ ℤ,$ так как справа от равенства целое число, $[x]$ — целое, значит и $x3$ тоже целое.

Ограничим $x$ сверху. Так как при $x > 0$ значение $3 x$ будет слишком большим, то ограничим $3 x$ сверху:

3 2 x = [x]+3 ≤x +3 ⇒ x(x − 1)≤3

Из последнего неравенства получаем, что $x <2,$ иначе при $x≥ 2$ имеем, что

2 x(x − 1)≥2 ⋅3 =6 >3

Ограничим $x$ снизу. Докажем, что $x> 0$ . Так как при $x≤ 0$ значение $x3$ будет слишком малым, то ограничим $x3$ снизу:

3 3 2 x ≥ [x]+3 ⇒ x > (x− 1)+ 3 ⇔ x(x − 1) >2

При $x≤ 0$ левая часть меньше $0,$ значит $x >0.$

Получили, что $0< x< 2.$

При $0< x< 1$ имеем

x3− 0= 3 ⇒ x = 3√3

но $√- 33 >1$ и не попадает в промежуток.

При $1≤ x< 2$ имеем

x3− 1= 3 ⇒ x = 3√4

где $3√- 4∈ [1;2}.$

Значит, существует одно решение $√3- x = 4$

Ответ:

$√34-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88912

Решите уравнение

{ 3} 3 (x +1) = x

Показать ответ и решение

3 3 {(x +1)} =x

3 2 3 {x + 3x +3x+ 1}= x

{x3+3x2+ 3x} =x3

Из последней строчки делаем вывод, что чтобы $x$ было корнем, необходимо и достаточно, чтобы $x ∈[0,1),$ $3x2 +3x∈ ℤ.$ Поскольку $x ∈[0,1),$ то $3x2 +3x$ может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их только подходящие по ограничениям $x∈[0,1).$

3x2+3x =0 =⇒ x1,2 = 0,− 1 =⇒ x =0

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =1 =⇒ x1,2 = − 1 ±-7 =⇒ x= − 1 + -7 2 12 2 12

2 1 ∘ 11- 1 ∘ 11- 3x +3x =2 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =3 =⇒ x1,2 = − 1 ± 15 =⇒ x= − 1 + 15 2 12 2 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =4 =⇒ x = − 1 ± 19 =⇒ x= − 1 + 19 1,2 2 12 2 12

2 1 ∘ 23- 1 ∘ 23- 3x +3x =5 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.

Ответ:

${ 1 ∘ -7- 1 ∘ 11- 1 ∘ 15- 1 ∘ 19- 1 ∘ 23} x ∈ 0,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88913

Решите систему уравнений

(| x +[y]={z}+ 54, { y +[z]= {x}+ 54, |( z +[x]= {y}+ 54.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение в следующем виде:

x− {z}= 54 − [y]

Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как $x =[x]+ {x},$ то получаем, что ${x}= {z}.$ Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что

{x} ={y}= {z}

Тогда получаем следующую систему:

(|{ ([x]+ {x})+ [y]= {z}+54, (|{ ([x]+ [y])= 54 ([y]+ {y})+ [z]= {x}+54, ⇐⇒ ([y]+[z])= 54 |( ([z]+ {z})+ [x]= {y} +54. |( ([z]+[x])= 54

Из последней системы получаем, что $[x]= [y]= [z]=27.$ Тогда получили, что

x= y = z

где $x =27+ {x}.$ Так как $0 ≤{x}< 1,$ то имеем, что

x= y = z, где 27≤x < 28

Ответ:

$(c;c;c)$ для любого $c∈[27;28)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88914

Найдите все $x$ , для которых

7 2[x]+3{x}= 3,

где $[x]$ — целая часть числа $x$ , ${x}$ — дробная часть числа $x$ , то есть ${x} =x− [x]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем оценить x. Каким будет значение левой части, если x будет достаточно маленьким? А при каких x значение левой части уже превысит 7/3?

Подсказка 2

Рассмотрите случаи x < 0 и x >= 2.

Подсказка 3

Правильно, при таких случаях значение левой части точно будет меньше или больше правой. Какие тогда значения может принимать [x]?

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $2[x]+ 3{x}< 2⋅(−1)+ 3⋅1< 7. 3$

Если $x≥ 2,$ то $7 2[x]+3{x}≥ 2⋅2+ 3⋅0 > 3.$

Остаётся два варианта:

$7 [x]=0, 3{x}= 3$
$1 [x]=1, 3{x}= 3$

Соответственно $x= 0+ 7 9$ или $x= 1+ 1. 9$

Ответ:

$7 ;10 9 9$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89460

Числа $x,y,z,t$ таковы, что

1 {x +y +z}= {y+ z+t}= {z+ t+ x}= {t+x +y}= 4

Найдите ${x+ y+ z+ t}$ .

Замечание. ${A}$ обозначает дробную часть числа $A.$

Показать ответ и решение

Заметим, что

{3(x+ y+ z+t)}={{x+ y+ z}+{y+ z+ t} +{z+ t+x} +{t+x +y}}= {1}= 0

Значит, $3(x+ y+ z+ t)$ — целое число. Рассмотрим возможные остатки этого числа при делении на 3:

3(x+ y+z +t)= 3n, n∈ ℤ

x+ y+z +t= n, n ∈ℤ

{x +y +z+ t}= 0

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t= 912,$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-9 = 1 12 4

{x+ y+ z+ t}= {4 ⋅ 9} = 0 12

3(x +y+ z+ t) =3n+ 1, n ∈ℤ

1 x+ y+ z+ t=n + 3, n∈ ℤ

1 {x+ y+ z+ t} = 3

Это значение достигается, например, при $1- x= y = z = t= 12,$ тогда

{ 1} 1 {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅12 = 4

{ } {x+ y+ z+t}= 4⋅-1 = 1 12 3

3(x +y+ z+ t) =3n+ 2, n ∈ℤ

x+ y+ z+ t=n + 2, n∈ ℤ 3

{x+ y+ z+ t} = 2 3

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t=-5, 12$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-5 = 1 12 4

{ -5} 2 {x+ y+ z+t}= 4⋅12 = 3

В итоге все возможные значения ${x +y +z+ t}$ — это $0,13$ и $23.$

Ответ:

$0;1;2 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90370

Сколько решений имеет уравнение $4x2 − 40[x]+ 51 =0$ ?

Показать ответ и решение

Распишем целую часть:

2 4x − 40(x− {x})+ 51 =0

2 4x − 40x+ 51 +40{x}= 0

Оценим последнее слагаемое:

0≤ 40{x} <40

Тогда получаем ограничения на уравнение:

−40 <4x2− 40x +51≤ 0

$1)Рассмотрим − 40< 4x2− 40x +51:$

4x2 − 40x+ 91 >0

( 7) ( 13 ) (2x− 7)(2x− 13)> 0 =⇒ x∈ −∞;2 ∪ 2-;+ ∞

$2)Рассмотрим 4x2− 40x+ 51≤ 0:$

4x2 − 40x+ 51≤0

[ ] (2x− 3)(2x − 17)≤ 0 =⇒ x∈ 3;17 2 2

Итого получили следующие ограничения:

[3 7) (13 17] x∈ 2;2 ∪ 2 ; 2

Рассмотрим случаи:

$1) 1≤x <2 :$

4x2− 40+51= 0 =⇒ 4x2 +11= 0 —нет решений

$2) 2≤x <3 :$

2 2 4x − 80+51= 0 =⇒ 4x − 29= 0 —1 решениe

$3) 3≤x <4 :$

2 2 4x − 120+ 51= 0 =⇒ 4x − 69 =0 — нет реш ений

$4) 6≤x <7 :$

4x2− 240+ 51− = 0 =⇒ 4x2− 189 =0 — 1 решениe

$5) 7≤x <8 :$

4x2− 280+51= 0 =⇒ 4x2 − 229= 0 — 1 решениe

$6) 8≤x <8 :$

4x2− 320+51= 0 =⇒ 4x2 − 269= 0 — 1 решениe

Итого, всего $4$ решения.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90371

Найдите все $x$ , для которых

[8x+-19] 16(x+-1) 7 = 11 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

[(8x+19)/7] — это некоторое целое число, пусть k. Тогда мы можем оценить выражение внутри целой части через k.

Подсказка 2

Получилось неравенство с двумя переменными, надо точно избавиться от одной. Как это можно сделать?

Подсказка 3

С одной стороны [(8x+19)/7] равно k, с другой — 16(x+1)/1. Можно выразить х через k! Останется лишь решить неравенство для целого k.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

16(x+-1)- [ 8x-+19] k = 11 = 7 .

Так как $k$ равняется целой части какого-то числа, то $k∈ ℤ.$ Получается,

[ ] 8x+-19 = k. 7

Отсюда по свойству целой части

k≤ 8x+-19< k+ 1. 7

Выразим $x$ через $k$

11k− 16 x= 16

и подставим в неравенство:

( ) 8 11k−-16-+ 19 k≤ -----16-------< k+ 1, 7

k≤ 11k-+22-<k +1, 14

3k≤ 22 <3k+ 14.

8 < k≤ 22 3 3

Так как $k$ — целое, то $k ∈{3,4,5,6,7}.$ Теперь подставим каждое возможное значение k в формулу

11k− 16 x= 16

и получим

{ 17 7 39 25 61} x ∈ 16,4,16,-8 ,16 .

Ответ:

$17,7,39,25,61 16 4 16 8 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#66209

Решите систему уравнений:

(| x +[y]+ {z}= 3,9 { y +[z]+ {x}= 3,5 |( z+ [x]+ {y} =2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пользуясь свойством х = [х] + {х}, что можно сделать с уравнениями в условии, чтобы получить уравнение на х+у+z?

Подсказка 2

Верно, сложить все 3 уравнения. Затем попробуйте вычесть из полученного уравнения все уравнения из условия и получить следствие

Подсказка 3

Если дробная часть лежит в промежутке [0, 1), то что можно сказать, пользуясь предыдущим следствием про [х], [у], [z]?

Подсказка 4

Правильно, что они лежат в определенных промежутках и в этих промежутках ровно по 1 целому числу, а значит, целые части и равны этому числу.

Показать ответ и решение

Давайте вспомним, что для любого числа $a$ верно: $a =[a]+{a}.$ Тогда сложим все эти три уравнения, применив это тождество, и получим:

2(x+ y+ z)=9,4;

x+ y+z =4,7.

Теперь вычтем из полученного уравнения каждое уравнение системы:

(|{ (y− [y])+(z− {z})= 0,8; (z− [z])+(x− {x})= 1,2; |( (x− [x])+(y− {y})= 2,7.

Теперь воспользуемся следствием из тождества:

( |{ {y}+ [z]= 0,8; | {z}+ [x]= 1,2; ( {x}+ [y]= 2,7.

Так как дробная часть любого числа лежит в полуинтервале $[0;1),$ то получим следующие неравенства:

( |{ 0,8− 1= −0,2 <[z]≤ 0,8; | 1,2 − 1= 0,2< [x]≤ 1,2; ( 2,7 − 1= 1,7< [y]≤2,7;

Тогда получим, что $[z]= 0,[x]=1,[y]= 2.$ Откуда получим, что ${y}= 0,8;{z} =0,2;{x}= 0,7.$ Тогда $x =1,7;y =2,8;z =0,2.$

Ответ:

$(1,7;2,8;0,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89870

Дано натуральное число $a> 1.$ Определим функцию

√ - f(n)= n +[a{n 2}].

Докажите, что существует такое натуральное $n,$ что $f(f(n))= f(n)$ , но $f(n)⁄= n.$

Напомним, что $[x]$ — целая часть $x,$ то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x,$ а ${x} =x − [x]$ — дробная часть $x.$

Источники: СПБГОР - 2023, 11.5 (см.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Для решения задачи нам понадобится два классических утверждения из теории чисел.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теорема Дирихле. Для любого иррационального числа $𝜃$ и натурального числа $m$ найдется такое число $k$ , $1≤ k≤ m− 1$ , что $1- {k𝜃}< m$ или $1- {k𝜃}> 1− m$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теорема Кронекера. Для любого иррационального числа $𝜃$ и любых чисел $α$ , $β$ , $0 ≤α <β < 1$ , найдется такое натуральное число $n$ , что ${n𝜃}∈ (α,β)$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Применим теорему Дирихле для $√ - 1 𝜃 = 2+ a$ и $m =a$ и найдем такое $1≤ k≤ a− 1$ , что

{ √- 1 } 1 { √- 1 } 1 k( 2+ a) < a или k( 2+ a) > 1− a.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В первом случае имеем неравенство $a−ak< {k√2}< a+1a−k$ . Применим теорему Кронекера для

𝜃 =√2, α= k и β = a+-1− {k√2}> k, a a a

получим, что найдется такое $n$ , что $k< {n√2}< a+1− {k√2} a a$ . Для этого $n$ имеем

k< a{n√2}< a(a+-1− {k√2})< a( a+1-− a−-k)= k+ 1. a a a

Следовательно, $√- [a{n 2}]=k$ и $f(n)= n+ k$ . Поскольку

k a− k √- √ - a+1- 1= a + a < {n 2}+{k 2} < a ,

дробная часть числа $√- (n+ k) 2$ меньше, чем $1 a$ , поэтому

√- [a{(n +k) 2}]=0.

В итоге $f(n)= n+ k,$ поэтому

f(f(n))= f(n+ k)= n +k= f(n)⁄= n

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае ${k(√2 + 1)}> 1− 1 a a$ выполняется неравенство

a-− k √ - a+1-− k a < {k 2} < a .

Применяя теорему Кронекера для

√ - √ - k+ 1 k+ 1 𝜃 = 2, α= 1− {k 2}< -a-- и β =--a-,

получим, что найдется такое $n$ , что $√- k+1 1< {n 2}< -a-$ . Для этого $n$ имеем

k< a{n√2}< k+ 1.

Следовательно, $√- [a{n 2}]=k$ и $f(n)= n+ k$ . Поскольку

√ - √- 1< {n 2}+{k 2} <1− ka + k+a1-= a+a-1,

дробная часть числа $√- (n+ k) 2$ меньше, чем $1a$ , поэтому

[a{(n +k)√2}]=0.

В итоге $f(n)= n+ k,$ поэтому

f(f(n))= f(n+ k)= n +k= f(n)⁄= n

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32155

Решите уравнение $[x]⋅{x}= x2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачке есть и x, и {x}, и [x] —> уменьшаем количество переменных за счёт связки x = [x] + {x}. Можете даже для удобства заменить целую и дробную части на отдельные переменные

Подсказка 2

Теперь перед нами квадратный трёхчлен относительно любой из новых переменных. Уравнение с двумя переменными честно не решается —> ищите нечестные способы! Что с квадратным трёхчленом всегда полезно делать?

Подсказка 3

Выделите полный квадрат, внимательно вглядитесь в то, что перед вами написано и сходу получите значения заменённых переменных – от них уже к иксу вернуться легко!

Показать ответ и решение

Пусть $a ={x}$ и $b= [x]$ . Тогда

2 ab= (a+ b)

2 2 2 2 a + ab+ b= (a+ 0.5b) + 0.75b =0.

Это возможно только при $a = b=0$ . Значит, $x =0$ .

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32157

Найти число решений в натуральных числах уравнения

[-x] [ x-] 10 = 11 + 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно читаем условие: мы теперь решаем уравнение в натуральных числах! Да ещё и просят нас найти не сами иксы, а их количество, так что их, наверное, немало. Важная переформулировка: фактически перед нами просто уравнение на неполные частные икса при делении на 10 и на 11, так что сам икс удобно представить в каком-то другом виде…

Подсказка 2

Вспомните определение деления с остатком: x = yk + r (0 ≤ r < y). Попробуйте представить икс в таком виде конкретно для деления на 11 – тогда одна из целых частей превратится в компактную буковку, а вторую можно будет преобразовать, выделив целую часть (поэтому мы и взяли 11, а не 10, ведь 11/10= 1 + 1/10, а вот 10/11 сама по себе дробная часть)

Подсказка 3

Теперь мы получили уравнение на одну целую часть! Из него можно равносильно перейти к ограничениям на наши новые переменные и, учитывая ограничения на остаток, которое вы, надеюсь, не забыли, для каждого остатка установить количество подходящих ему неполных частных. Правило умножения, и задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть $x =11p+ r$ , где $11 >r≥ 0$ . Тогда

[-x] [11p+r] [p-+r] [-x] 10 = 10 =p + 10 = 11 + 1= p+ 1.

Значит, $[ ] p1+0r = 1$ и $20> p+ r≥ 10$ . Мы знаем, что $r$ от 0 до 10, значит, для $p$ будет по 10 вариантов ( $10 − r$ , $11− r,...,19− r$ ), где в каждом $11p +r> 0$ . Итого $110$ вариантов.

Ответ:

$110$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32285

Решите уравнение $∘1-+-{2x}-=[x2]+2[x]+ 3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким числом является правая часть? Попробуем оценить значение левой части!

Подсказка 2

Правая часть является целым числом, значит, и левая тоже. Чему тогда может быть равен корень?

Подсказка 3

Корень может быть равен только 1! Тогда мы сможем сказать, каким должен быть х. Осталось лишь выразить x и посмотреть, какой тогда будет правая часть уравнения!

Показать ответ и решение

С учётом того, что правая часть является целым числом, а ${2x} ∈[0,1)⇒ ∘1-+-{2x}∈ [1,√2)$ , получаем, во-первых, $1+ {2x} =1$ . Тогда $k {2x}= 0⇐⇒ x = 2,k ∈ℤ$ . А во-вторых, $2 [x ]+2[x]+ 3= 1$ . Далее рассмотрим случаи:

$k =2n,n∈ ℤ⇒ [x2]= n2,[x]= n⇒ n2+ 2n+ 2= 0$ — но у такого уравнения решений в целых числах нет.
$2 2 2 k =2n+ 1,n∈ ℤ⇒ [x]= n + n,[x]=n ⇒ n + 3n +2 =0 ⇔ n= −1,n= −2.$

Ответ:

${− 1;− 3} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76458

Назовём число $x$ полуцелым, если число $2x$ — целое. Полуцелой частью числа $x$ назовём наибольшее полуцелое число, не превосходящее $x,$ и будем обозначать $]x[.$ Решите уравнение

2 x + 2⋅]x[= 6

Источники: Изумруд-2022, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, даны какие-то полуцелые части. Понятно, что сразу же напрашивается аналогия с целой и дробной частью. Когда мы делим число x на целую —[x], и дробную — {x} части, мы можем записать, что х=[x]+{x}, где [x] — целое число, а {x} лежит на [0,1). Здесь, чтобы облегчить себе жизнь, поступим так же и запишем подобные ограничения на полуцелую часть числа и “остаток”, который получается после ее вычитания.

Подсказка 2

Если обозначить за n/2 полуцелую часть, то можно записать, что x = n/2+r. Получаем уравнение на n и r и имеем соответствующие ограничения на эти величины. Далее нужно будет активно использовать то, в каких пределах лежит r, и вспомнить, какие приемы можно использовать в подобных задачах с целой и дробной частью.

Подсказка 3

Удобнее будет отдельно рассмотреть положительные и отрицательные n. Дальше только аккуратные преобразования, нахождение n, подстановка и нахождение r :)

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1) Число $x$ — полуцелое, тогда $]x[= x$ и исходное уравнение примет вид

2 x + 2x − 6 =0

Корнями данного уравнения являются числа $x1,2 = −1± √7,$ но тогда числа $2x1,2$ не являются целыми, значит решений нет.

2) Имеет место равенство

n x= 2 +r,

где $n ∈ℤ$ и $1 0 <r < 2,$ тогда

[ n ]x = 2

А также исходное уравнение примет вид

(n )2 2 + r + n− 6=0

Выразим из уравнения $r$ и получим

r= − n± √6−-n 2

Решения существуют только при $n≤ 6.$ Найдём все $n,$ удовлетворяющие неравенству

n< ±√6-− n-< n+-1 2 2

Если $n≥ 0$ , то $n+-1> 0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n √ ---- n+-1 2 < 6− n < 2 ,

которое после возведения в квадрат равносильно

2 2 n < 4(6− n)< (n +1)

{ n2+ 4n− 24 <0 n2+ 6n− 23 >0

(|{ − 2− 2√7-< n< −2+ 2√7 [ n >− 3+ 4√2- |( n <− 3− 4√2-

Поскольку $√- √- 2< −3+ 4 2< 3,3< −2+ 2 7< 4,$ и $√- √- − 3− 4 2< −2− 2 7$ , то $n =3$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x= n + r=√6-−-n= √3 2

Если $− 1< n< 0,$ то решений нет, так как $n$ — целое.

Если $n≤ −1$ , то $n-+1 ≤0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n2 > 4(6− n)> (n +1)2

{ n2+ 4n− 24 >0 n2+ 6n− 23 <0

[ (|{ n >− 2+ 2√7- n <− 2− 2√7- |( − 3− 4√2-< n< −3+ 4√2

Поскольку $√- √- − 9< −3− 4 2< −8,−8< −2 − 2 7 <− 7,$ и $√ - √- − 3+ 4 2< −2+ 2 7,$ то $n= −8$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x = n+ r= −√6-− n =− √14 2

Ответ:

$√3,− √14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#79621

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.

Подсказка 2

Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?

Подсказка 3

2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.

Подсказка 4

Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124042

Решите уравнение

x x tg πx= [lgπ]− [lg[π ]]

где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a.$

Источники: ММО - 2020, второй день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала определитесь с ОДЗ равенства.

Подсказка 2

Чтобы было проще работать с правой частью равенства, давайте определим такое n, что 10ⁿ ≤ π^x < 10^{n+1}. Чему тогда равны слагаемые из правой части?

Показать ответ и решение

Правая часть уравнения имеет смысл при $πx ≥ 1.$

Пусть $n x n+1 10 ≤π <10 ,$ где $n$ — неотрицательное целое число. Тогда $x [lgπ ]=n.$

Но поскольку также имеем:

n x n+1 10 ≤ [π ]< 10

получаем $[lg[πx]]= n.$ Следовательно, при $πx ≥1$ правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения $x.$

Ответ:

$x$ — любое целое неотрицательное число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32156

Решите уравнение

2 x +8{x+ 4}− 9 =0

Источники: ПВГ-2019, 11.5 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Важный метод решения уравнений с целой и дробной частями: оценки сверху и снизу. Можно избавиться от большого количества иксов на оси справа, от большого количества иксов на оси слева и свести задачу к рассмотрению случаев: на каждом маленьком промежутке мы точно поймём, как раскроется дробная часть

Подсказка 2

Подумайте, так ли важна нам четвёрка внутри дробной части. Если мы к какому-то числу прибавим целое число, то изменится ли от этого дробная часть? Используйте оценку дробной части и это знание, чтобы оценить x^2-9, а потом и сам икс, сверху и снизу!

Подсказка 3

Осталось правильно разбить полученный промежуток на промежутки поменьше, чтобы дробная часть на них раскрылась однозначно. В каждом таком случае мы либо подставляем конкретный икс, либо получаем квадратное уравнение на икс с ограничениями на его значения (не забывайте эти ограничения при поиске корней учитывать!)

Показать ответ и решение

Так как ${x+ 4} ={x}= x− [x],$ то получаем

2 2 9 − x = 8x− 8[x] ⇐ ⇒ x + 8(x− [x])− 9= 0

Так как $0≤ {x+ 4}<1,$ то

2 0≤ 9− x = 8{x +4}< 8

1< x2 ≤9

Нужно рассмотреть случаи исходя из этой оценки

$∙$ Если $x= 3$ , то уравнение $x2+8(x− 3)− 9= 0$ обращается в тождество.

$∙$ Если $2≤x < 3$ , то $x2+8(x− 2)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √41$ и корень $− 4+ √41$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $1< x< 2$ , то $x2+8(x− 1)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √33$ и корень $− 4 +√33$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $− 2≤x < −1$ , то $x2+ 8(x+ 2)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 7,−1$ и ни один не попадает в полуинтервал.

$∙$ Если $− 3≤x < −2$ , то $x2+ 8(x+ 3)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 5,−3$ и корень $− 3$ подойдёт.

Ответ:

${−3;−4+ √33;−4+ √41;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42923

Решите уравнение в действительных числах

[x] [2x] 2 + 3 =x,

где $[a]$ обозначает целую часть числа $a.$

В ответ выпишите все корни через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2018, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень работать с таким x, может представить его в более удобном виде, раз x - целый.

Подсказка 2

Знаменатели 2 и 3, их НОК - 6 , значит, х можно представить как 6b + q , а q в каких пределах?

Подсказка 3

После подстановки получили выражение, зависящее от q, которое принадлежит [0;5], осталось перебрать эти q и получить b, а потом и x

Показать ответ и решение

Заметим, что $x$ — целое число. Пусть $x =6b+ q,q ∈[0,5]$ , тогда выражение принимает вид

[q] [2q] [q] [2q] 3b+ 2 +4b+ 3 = 6b+ q ⇐⇒ 2 + 3 = q− b

Переберём значения $q$

$q =0$ , здесь $b=0$ , $x =0$ .
$q =1$ , $0= 1− b =⇒ b= 1,x= 7$ .
$q =2$ , $1+ 1= 2− b =⇒ b= 0,x = 2$ .
$q =3$ , $1+ 2= 3− b =⇒ b= 0,x = 3$ .
$q =4$ , $2+ 2= 4− b =⇒ b= 0,x = 4$ .
$q =5$ , $2+ 3= 5− b =⇒ b= 0,x = 5$ .

Ответ: 0 2 3 4 5 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#71902

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или

α-= ⌈αn⌉- β ⌈βn⌉

Теперь понятно, что это равенство верно только при $α= β.$