Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#42923Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в действительных числах

[x] [2x] 2 + 3 =x,

где $[a]$ обозначает целую часть числа $a.$

В ответ выпишите все корни через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2018, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень работать с таким x, может представить его в более удобном виде, раз x - целый.

Подсказка 2

Знаменатели 2 и 3, их НОК - 6 , значит, х можно представить как 6b + q , а q в каких пределах?

Подсказка 3

После подстановки получили выражение, зависящее от q, которое принадлежит [0;5], осталось перебрать эти q и получить b, а потом и x

Показать ответ и решение

Заметим, что $x$ — целое число. Пусть $x =6b+ q,q ∈[0,5]$ , тогда выражение принимает вид

[q] [2q] [q] [2q] 3b+ 2 +4b+ 3 = 6b+ q ⇐⇒ 2 + 3 = q− b

Переберём значения $q$

$q =0$ , здесь $b=0$ , $x =0$ .
$q =1$ , $0= 1− b =⇒ b= 1,x= 7$ .
$q =2$ , $1+ 1= 2− b =⇒ b= 0,x = 2$ .
$q =3$ , $1+ 2= 3− b =⇒ b= 0,x = 3$ .
$q =4$ , $2+ 2= 4− b =⇒ b= 0,x = 4$ .
$q =5$ , $2+ 3= 5− b =⇒ b= 0,x = 5$ .

Ответ: 0 2 3 4 5 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#71902Максимум баллов за задание: 7

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения с целой/дробной частью полезно сравнивать с некоторым целым числом, пусть это число n. Какие ограничения тогда накладываются на x?

Подсказка 2

С одной стороны x ≥ |n/a|/b, а с другой? ( обозначение: |m| — наименьшее целое число, которое больше либо равно x)

Подсказка 3

Для любого x выполняется условие x ≥ |n/a|/b и x ≥ |n/b|/a, но эти неравенства следуют из одного и того же равенства. Что это значит?

Подсказка 4

|n/a|/b = |n/b|/a. Докажите, что так бывает лишь при a = b.

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или

α-= ⌈αn⌉- β ⌈βn⌉

Теперь понятно, что это равенство верно только при $α= β.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#88915Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2018- 2018- [x]+ [x] = {x}+ {x}

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что бросается в глаза — правая и левая часть ну очень похожи. Давайте сгруппируем схожие слагаемые и попытаемся разбить уравнение на множители.

Подсказка 2

После приведения дробей к общему знаменателю можно вынести общий множитель ([x] – {x}). Таким образом наше уравнение распадается на совокупность из двух: [x] = {x} и {x} * [x] = 2018. Для каких x такие уравнения могут быть верны? Не забывайте про ОДЗ.

Подсказка 3

Первое равенство никогда не может быть верным из-за ограничений [x] не равно нулю и {x} не равно нулю. А что насчет второго? При любых ли x может существовать {x} = 2018/[x]?

Подсказка 4

Если x меньше 2019, то {x} будет принимать значения не меньше единицы, что невозможно. Какие значения будет принимать x, если мы знаем нижнюю границу на [x] и знаем, как выражается {x} через [x]?

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения:

{ [x]⁄=0 {x}⁄= 0

С учетом ограничений сделаем преобразования:

[x]+ 2018= {x}+ 2018- [x] {x}

( 1 1 ) [x]− {x} +2018⋅ [x] − {x} =0

( ) [x]− {x}+2018⋅ {x}−-[x] = 0 {x}[x]

( ) ([x]− {x})⋅ 1− 2018- = 0 {x}[x]

Тогда получаем следующую серию решений:

[ [x]={x} {x}⋅[x]= 2018

Первый случай возможен только если ${x} ∈ℤ ⇒ {x} =0,$ что не удовлетворяет ограничениям.

Рассмотрим второй случай подробнее:

(a) Если $x< 0,$ то левая часть неположительна (поскольку ${x}≥0,[x]< 0$ ) и не может равняться 2018.

(b) Если $0≤ x≤ 2018,$ то тогда $[x]≤ 2018,$ откуда следует, что ${x}≥ 1,$ откуда получается противоречие.

2018- 2018- {x} = n <1 ⇒ [x]= n⇒ x= [x]+ {x}= n+ n

Докажем, что для каждого $n$ будет ровно 1 решение. Пусть существуют решения $x1,x2 :$

2018 2018 [x1]= [x2]⇒ {x1}= [x1]-= [x2]-={x2}⇒ x1 = x2

Ответ:

$x =n + 2018 n$ для любого натурального $n ≥2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#97885Максимум баллов за задание: 7

Бесконечная числовая последовательность ${a } n$ задана формулой $a =[√6n-+ 1] , n 8$ где запись $[x]$ означает целую часть числа $x.$ Сколько раз в этой последовательности встречается число $72?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Элементы последовательности - целые части. Для каких х уравнение [x]=72 имеет решение?

Подсказка 2

Для [x]=72 72≤х<73. Так что мы можем снять целую часть и перейти к неравенству на n. Дальше следует несложный подсчёт.

Показать ответ и решение

По определению целой части из условия задачи следует, что нужно определить количество натуральных чисел $n$ , удовлетворяющих неравенству

√-- 1 72≤ 6n+ 8 <72+ 1

72 1 73 1 722− 4-+ 64-≤ 6n <732− -4 + 64

2 12 ⋅72− 3+ -1--≤ n< 72-+-2⋅72-+1 − 73 +-1-- 64⋅6 6 24 6⋅64

С учётом натуральности $n$ можно уточнить неравенство

12⋅72− 2 ≤n ≤72⋅12+ 24 − 3

Количество подходящих $n$ равно $(72⋅12+ 24− 3)− (12⋅72− 2)+1= 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32159Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные значения $n,$ удовлетворяющие уравнению

∘ ---2--- ∘ ---2--- 2004[n 1002 + 1]=n[2004 1002 + 1].

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно взгляните на правую часть – как бы всё страшно не выглядело, тут у нас под целой частью стоит конкретное число. Так почему бы эту целую часть просто не посчитать? Корень из 1002^2+1 – это 1002 с копейками, но вопрос в том, насколько большие эти копейки

Подсказка 2

Есть честный способ для подсчёта целой части: обозначьте её за k, и тогда то, что внутри ≥k и <k+1 – из такого вот двойного неравенства и найдётся k (подставьте вместо k то, чему вы желаете, чтобы оно было равно, и убедитесь, что двойное неравенство выполнено)

Подсказка 3

Возвращаемся к нашему уравнению! Теперь мы можем сократить на 2004 и получить уравнение с одной целой частью. Внутри целой части выражение очень похоже на то, чему целая часть равна. Так что нам нужно просто найти такой момент, когда n уже настолько большое, что унесёт выражение до следующей целой части. То есть момент, когда аргумент целой части больше либо равен тому, чему целая часть равна + 1 – получается обычное квадратное неравенство! Всё до этого момента нам подойдёт. Помните, что n у нас натуральное, решайте неравенство, и задачка убита!

Показать ответ и решение

В силу монотонности корня:

∘ ------- ∘------------------(----)2 1002≤ 10022+ 1≤ 10022+2⋅1002⋅-1--+ -1-- =1002+ -1-- 2004 2004 2004

Откуда

2004⋅1002 ≤2004∘10022+-1≤ 2004⋅1002+ 1

Подставляя в исходное уравнение, получим

2004[n∘10022+-1]=2004⋅1002n

[n∘10022-+1]= 1002n

Заметим, что для $n ≤2004$ верна оценка

∘------- ( ) 1002n< n 10022+1 <n 1002+ -1-- = 1002n +1, 2004

а значит, и уравнение, то есть все $n =1,2,...,2004$ являются корнями. Покажем, что других корней нет.

Пользуясь тем, что $[x]=x − {x}$ , где ${x}$ — дробная часть $x$ , получим

∘ ---2--- ∘---2--- n 1002 + 1− 1002n= {n 1002 +1}

Так как область значений ${x}$ равна $[0;1)$ и $n√10022+1 >1002n$ , то из уравнения следует неравенство

n∘10022+-1− 1002n< 1

n < √-----1-------= ∘10022-+1+ 1002 <1002+ -1--+1002= 2004+ -1-- 10022 +1− 1002 2004 2004

n ≤2004

А значит, только $n≤ 2004$ и могли подойти.

Ответ:

${1;2;...;2004}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32158Максимум баллов за задание: 7

Найдите все вещественные числа $x$ , удовлетворяющие уравнению

1- -1- 2 [x] + [2x] = {x}+ 5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим, что как слева, так и справа выражения принимают достаточно маленькие значения —> стоит попробовать их оценить! Правая часть оценивается легко сверху и снизу, ведь мы знаем часто помогающую оценку на {x}. Попробуйте порассматривать маленькие целые иксы, поймав момент, когда правая часть выходит из границ значений для левой части

Подсказка 2

Остаётся перебор по конкретным полуинтервалам – на них ведь мы точно знаем, чему равен [x], но вот с [2x] всё не так однозначно. Его значение зависит от дробной части: x=3,1 —> [2x]=6, x=3,6 —> [2x]=7. Так что поможет нам вновь оценка дробной части! Только более точная с учётом того, что мы знаем, в каком полуинтервале работаем. А определив [x] и [2x] мы как раз и {x} сразу найдём, откуда тут же получим сам x

Показать ответ и решение

$∙$ $x< 0$ не может быть, так как тогда $1-+ -1-<0 <{x}+ 2. [x] [2x] 5$

$∙$ $0 ≤x <1$ не может быть, так как мы делим на $[x].$

$∙$ Если $1≤x < 2,$ то $2 1- 1-- 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≥1+ 3 =13$ . Значит, $1 {x} >2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+ 2{x}$ и $2{x}≥1$ , то $[2x]= 2[x]+ 1= 3$ . Отсюда $1- 1-- 2 14- {x} = [x] + [2x] −5 = 15$ и $29- x = 15$ подходит.

$∙$ Если $2≤x < 3,$ то $2 1- 1-- 1 1 3 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 2 + 4 = 4$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 4$ . Отсюда $1- -1- 2 7- {x}= [x] + [2x] − 5 = 20$ и $7- 47- x= 2+ 20 = 20$ подходит.

$∙$ Если $3≤x < 4,$ то $2 1- 1-- 1 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 3 + 6 = 2$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 6$ . Отсюда $1 1 2 1 {x}= [x] + [2x] − 5 = 10$ и $31 x= 10$ подходит.

$∙$ Если $x≥ 4$ , то $2 1 1 1 1 3 2 {x} +5 = [x] + [2x] ≤ 4 + 8 = 8 < 5$ , невозможно в силу ${x}≥ 0.$

Ответ:

${29;47;31} 15 2010$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#64111Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех решений уравнения

2 [x] + 40x+ 336= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, перед нами уравнение, где используется переменная и её целая часть. Что мы обычно делаем в таких случаях? А, да, точно, давайте представим переменную в виде суммы её целой и дробной части. (т.е. введём a = [x] и b = {x})

Подсказка 2

Немного подумаем. Да, очевидно, что 40 * b ∈ [0, 40) ≥ (a² + 40*a + 336) ∈ (-40, 0]. Получаем систему неравенств, которые надо решить в целых числах. Да...звучит непросто, но мы же суровые ребята, находим все значения а, к каждому из них найдём b, далее складываем всё, что получилось и уверенно пишем ответ!!!

Показать ответ и решение

Пусть $a =[x],b= {x},$ тогда получаем уравнение

2 a +40a+ 40b+ 336= 0

Нам требуются такие значения $a$ , что $a2+ 40a+336∈ (− 40,0]$ , то есть $(a+ 28)(a +12)∈(−40,0]$ . Решая это неравенство в целых числах, находим решения $a∈ {−12,−13,−14,− 15,−25,−26,−27,−28}$ . В пару к каждому находим $b= − a2+40a+336 40$ , получаем $b∈ {0,3, 7,39,39,-7,3,0} 810 40 40 10 8$ . Остаётся записать ответ, используя $x =a +b.$

5 3- 1- -1 3- 5 − 12 − 128 − 1310 − 1440 − 2440 − 2510 − 268 − 28 =− 155,9

Ответ:

$− 155,9$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания