Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Первое решение.

Посмотрим на это как на квадратное уравнение относительно Его дискриминант равен

Вспомним известное неравенство

которое можно доказать так:

Теперь мы видим, что дискриминант состоит из суммы двух неположительных слагаемых

и

Таким образом, решения могут быть лишь когда эти слагаемые равны Это возможно лишь при значит и

Второе решение.

Явно докажем, что левая часть не меньше правой, то есть

Последнее верно в силу неотрицательности каждого из квадратов.

Для равенства правой и левой части из условия должно выполняться

Сразу получаем, что решением является четвёрка