Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

На ОДЗ левая часть равносильного исходному уравнения

по неравенству о средних для двух положительных чисел не меньше

а правая часть

Поэтому равенство выполнено в единственном случае: когда обе части равны 4. Равенство в неравенствах достигается при 

Из второго уравнения легко получаем единственное решение которое подходит и в первое уравнение.

Запишем исходное уравнение в виде

Заметим, что из очевидного при неравенства вытекает, что

откуда получаем

Если сумма двух слагаемых, первое из которых не меньше 10, а второе не меньше 4, равна 14, то первое слагаемое равно 10, а второе 4.

Поскольку знак равенства в неравенстве вида достигается только лишь в случае , то исходное уравнение равносильно системе

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

Следовательно,

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

Преобразуем выражение и сгруппируем на скобочки:

Получили, что сумма квадратов равна Такое возможно, если каждый из квадратов равен Тогда

Преобразуем выражение и сгруппируем на скобочки:

Получили, что сумма квадратов равна Такое возможно, если каждый из квадратов равен Тогда

Обозначим

Тогда уравнение имеет вид

Если какое-то значение является решением, то ведь иначе левая часть больше (при ) или меньше (при ) в силу монотонного возрастания функции на своей области определения.

При этом легко видеть, что все решения являются и решениями исходного уравнения (будет верное тождество, при этом обе части определены в силу положительности функции ), то есть это не только необходимое, но и достаточное условие.

Корнями уравнения являются числа и . Их сумма равна

Заметим, что

откуда

Первое решение.

Посмотрим на это как на квадратное уравнение относительно Его дискриминант равен

Вспомним известное неравенство

которое можно доказать так:

Теперь мы видим, что дискриминант состоит из суммы двух неположительных слагаемых

и

Таким образом, решения могут быть лишь когда эти слагаемые равны Это возможно лишь при значит и

Второе решение.

Явно докажем, что левая часть не меньше правой, то есть

Последнее верно в силу неотрицательности каждого из квадратов.

Для равенства правой и левой части из условия должно выполняться

Сразу получаем, что решением является четвёрка

Заметим, что , а уравнение равносильно . Слева сумма двух неотрицательных чисел, так что равенство достигается тогда и только тогда, когда

Для начала раскроем скобки и перенесём всё в левую часть. Получим

Попробуем выделить полные квадраты. Во-первых, можно взять и . Если это — квадраты, то для полного квадрата суммы или разности им не хватает удвоенного попарного произведения, то есть в данном случае . У нас есть это выражение с коэффициентом , поэтому возьмём со знаком минус: .

Осталось . Это тоже полный квадрат: . Таким образом, всё выражение мы представили как

Наконец, воспользуемся тем, что сумма двух квадратов может быть равно 0 только в случае, когда оба этих квадрата равны 0. Получаем условия и . Из первого мы получаем, что , подставляя это во второе, получим . Таким образом, и .

Выделим полный квадрат, заметив, что :

Оба слагаемых неотрицательны, потому необходимо и достаточно

Итак, только при этом значении параметра уравнение имеет корни.

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

Если то — любое, а

Если то

Итого получаем тройки

Предположим, что , тогда

Аналогично, если , то

Остался только , а он подходит.

Заметим, что

для каждого , а

для каждого . Поэтому левая часть уравнения не меньше , притом равенство достигается только при и . Это и даёт ответ.

Сделаем замену . Тогда исходное уравнение перепишется в виде

Если то и Левая часть уравнения меньше правой.

Если то и Левая часть уравнения больше правой.

Если или , то уравнение обращается в тождество.

Сделаем обратную замену и получим

Оценим сумму добавив к ней неотрицательное число

Учтём, что и обозначим тогда

Наибольшее значение достигается, например, при и

Преобразуем данное уравнение: , . Если , то , а , значит, полученное равенство при любом отрицательном значении х будет неверным. Следовательно, отрицательных корней нет.

ОДЗ:

Подстановкой легко убедиться, что и — это решения.

При (на оставшейся области ОДЗ) оценим слагаемые в левой части

Складывая эти неравенства, получаем

Поэтому на интервале левая часть строго меньше единицы и равняться единице не может.

Так как , то

Заметим также, что

Следовательно, левая часть равенства

Таким образом, левая часть равна , если

Тогда при решением уравнения является , а при уравнение не имеет решений.

Заменим , а также перепишем уравнение в виде

Как известно , при этом , откуда

и равенство достигается тогда и только тогда, когда , при этом , поскольку иначе . Получаем .