Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Подсказка 1

Относительно замен y,z,t - уравнение равноправно. Вот справа у нас 4 слагаемых второй степени, а слева - 3 слагаемых, условно, «второй степени» (то есть ху,xz,xt ). При этом, если мы увеличиваем х, то чаще всего увеличивается сильнее х^2, аналогично с у,z,t. Все это наталкивает нас на мысли о том, что левая часть как будто всегда больше или равна правой. Но если мы пытаемся решить задачу так, как это доказать?

Подсказка 2

Можно доказывать это просто используя какие-то неравенства и оценки. Однако в силу того, что здесь степени не больше 2, можно рассматривать это как квадратное уравнение относительно какой-нибудь переменной, ведь если то, что наш квадратный трехчлен всегда больше или равен 0, то его дискриминант всегда меньше или равен 0, и наоборот. Таким образом, можно доказать, что дискриминант нашего уравнения относительно какой-то переменной неположителен. Вот только относительно какой переменной? Мы, в теории, хотим, чтобы наш дискриминант получился симметричным, относительно переменных, которые в нём есть (с таким удобно работать). Значит, нужно решать относительно х

Подсказка 3

Дискриминант получится равным 2(yz+zt+ty-t^2-z^2-y^2)-(t^2+z^2+y^2). Ого, но ведь первая скобка - это достаточно популярная конструкция, такое выражение всегда отрицательно. Хмм… Вот только мы забыли, почему это так. А может быть, разложить как-то на сумму квадратов?

Подсказка 4

Действительно, это просто (y-t)^2+(z-t)^2+(z-y)^2 ≤ 0. При этом второе слагаемое в дискриминанте тоже неположительно, так как это сумма квадратов. Значит, весь дискриминант неположителен. Ура! Значит, остаётся понять, когда достигается равенство, и записать ответ!