Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32857Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь надо записать ограничения на икс, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Теперь можно заметить, что в одной части в числителе 1, а в другой 2, для чего так сделано?

Подсказка 2

Перенесём всё налево и попробуем привести дроби к общему знаменателю. Тогда в числителе -4 сократится с (-2) * (-2). Так вот зачем взяли такие числители! Осталось дорешать неравенство обобщённым методом интервалов. То есть найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой, причём выколоть нули знаменателя, расставить знаки на каждом промежутке, взять нужные промежутки.

Подсказка 3

Не забыли про ограничения? Их нужно пересечь с полученным множеством!

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#110248Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ - (− x2+81+ (x− 9)√x2+-6x−-27) ∘ x−-3- 1 x⋅ -9-− x2+-(x+3)√x2+-6x−-27 ⋅ x+-9 ≥ √x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какими формулами можно воспользоваться, чтобы преобразовать числитель?

Подсказка 2

Воспользуемся формулой разности квадратов! Отлично, тогда можно будет разложить и числитель, и знаменатель на множители :) А что делать с подкоренным выражением?

Подсказка 3

Можно найти корни у подкрошенного выражения и также разложить его на множители ;) И тогда будет видно, как же можно сократить числитель и знаменатель, чтобы максимально упростить выражение!

Подсказка 4

После всех сокращений получаем, что (9-x)/(x+3) ≥ 1/x.

Подсказка 5

Домножьте обе части неравенства на x(x+3).

Показать ответ и решение

Подкоренное выражение $x2+ 6x− 27$ имеет нули

∘ 2----- x= −3± 3+ 27= −3± 6,

поэтому раскладывается на множители как $(x +9)(x − 3).$

C учётом ограничения $x> 0$ для существования правой части исходного неравенства получаем, что корень $∘ (x-+9)(x-− 3)$ определён при $x ≥3$ и равен $√x-+9⋅√x-− 3.$

Тогда по формуле разности квадратов знаменатель дроби в скобке из левой части неравенства равен

√----√---- √----(√---- ) (3 − x)(3 +x)+ (3+ x) x+ 9 x− 3= (x+3) x− 3 x +9− 1 ,

а числитель —

√----√---- √ ----√---- (9− x)(9+ x)− (9− x) x +9 x − 3 =(9− x) x+9( x +9− 1).

В итоге неравенство

√ -(9− x)√x+-9(√x+-9−-1)-√x−-3 -1- x(x +3)√x−-3(√x+-9− 1)√x+-9 ≥ √x

на ОДЗ $x> 3$ принимает вид

9−-x≥ 1 x+ 3 x

Домножая на положительные знаменатели без смены знака неравенства, получаем

9x− x2 ≥x +3

x2− 8x +3 ≤0

Нули левой части это $√----- √-- x =4± 42− 3= 4± 13,$ поэтому по методу интервалов

√-- √-- 4− 13≤ x≤ 4+ 13

Так как $√-- 4− 13< 3$ (в силу $√ -- 1 < 13$ ) получаем учётом ОДЗ ответ $√-- x ∈(3;4+ 13].$

Ответ:

$(3;4+ √13]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#67702Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?

Подсказка 2

Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?

Подсказка 3

Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим

√---- ∘ -2-------- √ ---- t− 2+ t − 18t+ 81 >5 ⇐ ⇒ t− 2+ |t− 9|>5

Сделаем ещё одну замену $y =√t-− 2≥ 0$ , получим

2 y +|y − 7|> 5 ⇐⇒ y ∈(−∞, −4)∪(−1,2)∪ (3,+∞ )

Учитывая ограничения

√t−-2∈ [0,2)∪ (3,+∞ ) ⇐⇒ t∈[2,6)∪(11,+ ∞)

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

√x-+-1∈[2,6)∪ (11,+∞ ) ⇐ ⇒ x ∈[3,35)∪(120,+∞ )

Ответ:

$[3;35)∪(120;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88260Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-√x-− 2- √---- 1− √x-+-1 ≥ 1+ x+ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотелось бы избавиться от знаменателя, но в нем есть переменная, поэтому не понятно, можно ли на него умножать. Какие значения принимает знаменатель на ОДЗ?

Подсказка 2

Отрицательные! Домножим обе части неравенства на знаменатель, не забыв поменять знак. Теперь остается просто аккуратно решить неравенство!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x≥ 0 √ ---- 1− x+ 1⁄= 0

x> 0

Заметим, что на ОДЗ знаменатель дроби отрицателен, поэтому можем обе части неравенства на него домножить, поменяв при этом знак неравенства. Тогда

√x − 2 ≤1− (x+1)

√x-≤ 2− x

{ 2 − x ≥0, x ≤4 − 4x+ x2

{ x ≤2, x2 − 5x+ 4≥ 0

{ x≤ 2, x∈ (− ∞;1]∪[4;+∞ ),

откуда $x ≤1$ . С учётом ОДЗ окончательно получаем $x∈ (0;1]$ .

Ответ:

$(0;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#85028Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ -2------- ∘ -------2- x − 1 + x − 4x +3+ 2x +3 − x ≥ 2

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы видите страшное неравенство и не знаете, что делать, не спешите сразу что-то преобразовывать. Вероятно, стоит выполнить действие, самое стандартное при решении неравенств, которое точно лишним не будет.

Подсказка 2

Первое правило решение неравенств: видишь неравенство — выписываешь ОДЗ. Вдруг она как-то поможет?

Подсказка 3

Второе правило решения неравенств: смотришь на неравенство и думаешь, а можно ли его как-то упростить на ОДЗ?

Подсказка 4

Подходит ли точка, всегда можно проверить с помощью её подстановки в исходное неравенство :)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 − 1≥ 0 ||{ 2 || x − 4x+ 3≥ 0 |( 2x +3− x2 ≥ 0

( ||{ x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ ) | x∈ (−∞; 1]∪ [3;+∞ ) |( x∈ [−1;3]

x∈ {− 1;1;3}

Подставим получившиеся значения $x$

$x =− 1.$ Тогда
$√- 0+ 8+ 0≥ 2$
Значит, $x = −1$ подходит.
$x =1.$ Тогда
$0+ 0+2 ≥2$
Значит, $x = 1$ подходит.
$x =3.$ Тогда
$√ - 8+0+ 0≥ 2$
Значит, $x = 3$ подходит.

В итоге $x∈ {− 1;1;3}.$

Ответ:

${−1;1;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#88254Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘-2---- √----- 2 x − 16⋅ 2x− 1≤ x − 16

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, у нас есть x² - 16 и корень этого выражения... Можно ли упростить неравенство?

Подсказка 2

На ОДЗ корень всегда не меньше 0, значит, можно сначала рассмотреть равенство, а потом поделить!

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства - это множество $x∈ [4;+ ∞)$ .

Рассмотрим два случая.

a) При $x= 4$ неравенство выполнено (получаем $0= 0$ ).

б) При $x> 4$ делим обе части неравенства на положительное число $√-2---- x − 16$ и получаем

√----- ∘ ------ 2x− 1≤ x2− 16

2 2 2x− 1≤ x − 16,x − 2x − 15≥ 0

x∈ (−∞;−3]∪[5;+ ∞)

С учётом условия, получаем $x ∈[5;+∞ )$ .

Объединяя результаты, находим $x∈{4}∪ [5;+∞ )$ .

Ответ:

${4}∪[5;+ ∞)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#44152Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√x − √4 ∘---1--x3--≥1. 1 +x − √x

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала ОДЗ нашего неравенства, чтобы мы могли его преобразовывать. Так, теперь что хочется сделать в первую очередь, видя такое некрасивое неравенство? Попробуйте не испугаться и преобразовать его, приведя числитель и знаменатель к одной дроби.

Подсказка 2

Ага, видим, что у дробей числителя и знаменателя общий знаменатель, который после деления сократится. Далее, перенеся 1 влево и преобразовав, видим в знаменателе и числителе неприятный корень. Давайте упростим себе жизнь! Что с ним можно попробовать сделать?

Подсказка 3

Верно, давайте сделаем замену √(x+1)=t. Тогда х отсюда легко выражается и у нас получается обычное неравенство. Осталось только решить его методом интервалов и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,∘1-+-1− √3 ⁄= 0 x x$ , откуда получаем $x∈(0;8)∪ (8;+∞ ).$

Для решения неравенство домножим числитель и знаменатель на $√ - x:$

x− 4 (x− 4)− (√x+-1− 3) √x+-1−-3 ≥ 1 ⇐⇒ ----√x-+1-− 3----≥ 0

После замены $√ ---- t= x+1$ имеем

2 t-− 2−-t≥ 0 ⇐⇒ (t+1)(t−-2)≥ 0 t− 3 t− 3

По методу интервалов $t∈[−1,2]∪ (3,+∞ )$ , то есть $√x-+1∈ (1;2]∪(3;+ ∞)$ , откуда $x +1 ∈(1;4]∪(9;+∞).$ Решение $(0;3]∪(8;+ ∞)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(0;3]∪(8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#70350Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства

√------ ∘ --2-------- 2 5x− 11− 5x − 21x+ 21≥ 5x − 26x+ 32

Источники: ПВГ-2014 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ:

{ ({ 11 √-- 5x−2 11 ≥0 ⇐⇒ x ≥(5 21−√21] [21+√21- ) ⇐⇒ x≥ 21+--21. 5x − 21x+ 21≥ 0 ( x ∈ −∞; 10 ∪ 10 ;+∞ 10

Заметим, что $2 2 5x − 26x+ 32= (5x − 21x +21)− (5x− 11)$ .

Пусть $2 5x − 21x+ 21 =B, 5x− 11 =A.$ Тогда исходное неравенство примет вид

√-- √-- A − B ≥ B − A

Домножим обе части на $(√ -- √-) A+ B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√-- √ -- A + B = 0 ⇐⇒ A =B = 0$ — решение. Получаем

(√ -- √-) A− B ≥(B− A) A+ B

(√-- √-- ) (A− B) A + B +1 ≥ 0

Поделив обе части на $(√A-+ √B-+ 1) > 0$ получим $A≥ B.$

2 5x − 11≥ 5x − 21x+ 21

x2 − 26x+ 32 ≤0 ⇐ ⇒ x ∈[2; 3,2]

Пересекая с ОДЗ получаем $[ √-- ] x∈ 21+1021; 3,2$ и единственное целое число, являющееся решением, это $3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#32858Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- 2 ∘ -2------- 4x +2 + 4 − x >x + x − 5x+ 2.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа под корнем есть x² и другие слагаемые, а без корня только x². Хочется добавить недостающие слагаемые, чтобы можно было сделать замену и получить в обеих частях выражение вида t + √t. Для этого давайте вычтем из обеих частей 5x и добавим 2. Что хорошее тогда можно заметить?

Подсказка 2

Теперь мы получили слева и справа похожие выражение, по сути нам нужно решить неравенство f(g(x)) > f(h(x)). Из f(a) > f(b) в общем случае не следует сразу a > b, например, для f(t) = -t. или f(t) = sin t. Но что хорошего можно сказать про нашу рассматриваемую функцию f(t) = t + √t?

Подсказка 3

Она монотонно возрастает! То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.

Подсказка 4

Теперь нужно решить полученное неравенство на аргументы, причём учесть область определения исходного неравенства.

Показать ответ и решение

Первое решение.

После переноса корней налево получаем $√ ---- √ 2-------- 2 4− x − x − 5x+ 2> x − 4x − 2$ .

Обозначив $√---- 4 − x= a$ и $√-2------- x − 5x+ 2= b$ , получаем неравенство $2 2 a− b >b − a ⇐ ⇒ (a− b)(1+ a+b)> 0$ .

Так как $1+ a+ b≥1 >0$ , то остаётся решить $a− b> 0$ , то есть $√---- √-2------- 4− x> x − 5x+2$ . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

4− x> x2− 5x +2 ≥0

Первое неравенство равносильно

2 √ - √- x − 4x − 2< 0 ⇐⇒ x∈ (2− 6;2+ 6),

а второе

5−-√17 5-+√17- x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что $√- 5−√17 2− 6< 2 ,$ так как $√- √-- 4− 2 6< 5− 17$ , потому что $√-- √ - √ - 17< 5= 1+ 2 4< 1+ 2 6$ .

А вот $√- 5+√17 2+ 6 < -2---$ , так как $√- √-- 4 +2 6 <5+ 17$ , потому что $√- √-- √ -- √ -- √-- 2 6= 24 < 25 =1 + 16 <1+ 17$ .

В итоге при пересечении получаем $√ -5−√17 x∈ (2− 6;--2--]$ .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

√ ---- 2 ∘-2------- 4− x+ 4− x> x − 5x+ 2+ x − 5x+ 2.

Заметим, что функция $f(t)= t2+t= t⋅(t+ 1)$ монотонно возрастает при $t≥ 0$ . Поэтому неравенство $f(√4-−-x) >f(√x2−-5x+-2)$ равносильно неравенству $√4−-x> √x2−-5x+2-$ . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

(|{ 4− x> x2− 5x +2, 4− x≥ 0 ⇐ ⇒ |( x2− 5x+ 2≥0

{ x2− 4x− 2< 0, x2− 5x+ 2≥0

Так же, как и в первом решении, получаем

√-- x∈(2− √6;5−--17] 2

Ответ:

$(2 − √6;5−√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#85029Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

-----3x+3----- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x2− 2x+10≥ 0 √---------- ( 3− x2− 2x+ 10 ⁄=0

( { (x− 1)2+ 9≥ 0 ( (x− 1)2+ 9⁄= 9

x⁄= 1

Теперь преобразуем исходное неравенство

( √ ---------) 3x+-3−--3−--x2−-2x-+10- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 0

√---------- 3x+√-x2−-2x+10-≤0 3 − x2− 2x+ 10

Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака

∘ -2-------- 3− x − 2x+ 10< 0

9 <x2 − 2x+ 10

0< (x− 1)2

Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘-2-------- 3x+ x − 2x+ 10 ≥0

∘x2−-2x+-10-≥− 3x

Заметим, что если $− 3x < 0,$ т.е. $x >0,$ то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай $x ≤0,$ возведём неравенство в квадрат.

x2− 2x+ 10≥ 9x2

8x2+ 2x − 10≤ 0

(x − 1)(4x+ 5)≤0

[ ] x ∈ − 5;1 4

Но т.к. $x ≤0,$ то

x ∈[− 5;0] 4

Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим

[ 5 ) x ∈ −4 ;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$[− 5;1) ∪(1;+∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#88258Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно было бы просто возвести обе части в квадрат, но не стоит забывать про ОДЗ. Не очень хочется долго считать возможные значения для каждого корня. Как можно покороче всё раскрыть?

Подсказка 2

Верно, мы можем просто записать условие, что меньшая из частей неравенства неотрицательна, получая цепочку неравенств. Решая её и пересекая значения, мы и найдём правильный ответ

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому спокойно возводим в квадрат, не забыв про ОДЗ

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

Заметим, что все решения неравенства, удовлетворяющие $x2− 1≥ 0$ , будут удовлетворять и $5x2− 1− 4x − x3 ≥ 0$ , поэтому решать отдельно второе неравенство и находить в явном виде ОДЗ избыточно.

Получаем:

{ 0≤ x2− 1 −4x2+ 4x+x3 ≤0

{ x∈(−∞; −1]∪[1;+∞ ) x∈(−∞; 0]∪ {2}

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#113670Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

1 1 1 √-−x−-2 − √x-+4-≤1 +∘-(x+-4)(−x−-2).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ:) Какое преобразование сделаем, чтобы избавиться от дробей?

Подсказка 2

Домножим обе части неравенства на корень из произведения! Какие два случая хочется разобрать?

Подсказка 3

Если разность корней отрицательна, то всё хорошо. А как будем решать, если обе части неравенства получились положительными?

Подсказка 4

Возведем обе части в квадрат!

Подсказка 5

Отлично, получилось квадратное уравнение относительно корня из произведения. Осталось решить, сделать обратную замену и не забыть про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x∈ (−4;− 2).$ Домножим обе части на положительное $∘ (x+-4)(−x−-2)$ и получим

√---- √----- ∘ ------------ x +4− − x− 2 ≤ (x+ 4)(−x− 2)+1

Левая часть не положительна при

x+ 4≤ −x− 2

x≤ −3

Значит, при $x∈ (− 4;−3]$ неравенство выполнено. Если же $x ∈(−3;−2),$ то обе части полученного неравенства положительны, то есть его можно возвести в квадрат:

( ) (√x-+4-− √ −x−-2)2 ≤ ∘ (x-+4)(−-x− 2)+ 1 2

------------ ------------ x+ 4− 2∘(x+ 4)(−x− 2)− x − 2 ≤(x+ 4)(−x− 2)+2∘ (x +4)(− x− 2)+ 1

Делаем замену $∘ ------------ t= (x+ 4)(−x − 2)> 0,$ и получаем

t2+ 4t− 1≥ 0

D = (− 4)2− 4⋅(− 1) =20

−4+ √20 −4− √20 t1 = ---2---, t2 =--2----

( −4− √20] [−4+ √20 ) t∈ −∞; ---2----∪ ---2---;+∞

t∈(− ∞;−2− √5]∪ [− 2+√5;+ ∞)

Заметим, что $t> 0,$ поэтому берем второй луч и делаем обратную замену:

∘ (x+-4)(−x−-2)≥− 2+√5-> 0

(x+ 4)(−x− 2)≥5 +4− 4√5> 0

x2+ 6x+17− 4√5≤ 0

D= 62− 4⋅(17− 4√5)= −32+ 16√5-

∘√---- ∘ ----- x1 = −6+-4---5− 2-=− 3+ 2 √5− 2, 2

−6−-4∘√5-−-2 ∘√---- x2 = 2 = −3− 2 5− 2

[ ∘ √---- ∘ √----] x ∈ −3 − 2 5− 2;− 3+2 5− 2

Пересекаем с нашим случаем $x∈ (− 3;−2):$

( ∘√----] x∈ −3;−3+ 2 5− 2

В итоге получаем, что $( ∘ √----] x∈ −4;− 3+2 5− 2 .$

Ответ:

$(− 4;− 3+2∘ √5−-2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#34673Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- x +2 >x − 3

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни — сразу считаем ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При х < 3. Тогда х ≥ 3 обе части неравенства неотрицательны и можно сделать равносильный переход — возвести их в квадрат, ведь как-то надо избавляться от корня.

Подсказка 3

После приведения подобных полученный квадратный трехчлен будет иметь не самые привлекательные корни, поэтому придётся оценить, где они лежат относительно 3, чтобы получить правильное пересечение с неравенством х ≥ 3.

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $x+ 2≥ 0$ .

При $x< 3$ получим верное неравенство, ведь правая часть отрицательна, а левая неотрицательна.

При $x≥ 3$ можем без смены знака неравенства возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны):

2 2 x +2> x − 6x+ 9 ⇐ ⇒ x − 7x+ 7< 0

( 7− √21 7+√21) x ∈ --2---;--2---

Поскольку $4< √21< 5$ , то левый конец интервала $√-- 7−221< 32 <3$ , а правый $√ -- 7+2-21-> 112->3$ , так что в пересечении с условием $x ≥3$ получаем $[ √ -) x ∈ 3,7+2-21-$ .

Осталось объединить рассмотренные случаи и записать ответ с учётом области определения неравенства (ОДЗ).

Ответ:

$[− 2,7+√21) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#70352Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘----√------- 10 3x− 72x− 144> 3x − 12

Источники: Вступительные в МГУ, 2006

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом запишем ОДЗ! Без него никуда.

Подсказка 2

Давайте домножим на сопряжённое, тогда слева под корнем получится полный квадрат.

Подсказка 3

Рассмотрим случай, когда выражение под модулем меньше 0, равно 0 и больше 0.

Подсказка 4

В первом случае получаем -10 меньше корня, тогда все x подходят. Во втором случае корней нет. В третьем случае получаем обычное иррациональное неравенство.

Показать ответ и решение

Для удобства сделаем замену $3x= t$ и выпишем условия ОДЗ:

{ 24t− 144≥0 { t≥6 √ ------- ⇐ ⇒ 2 ⇐⇒ t≥ 6 t− 24t− 144 ≥0 t≥ 24t− 144

В переходе выше возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства $t≥√24t−-144-$ неотрицательны ввиду $t≥ 6.$

Итак, из условия получаем неравенство:

∘ --√-------- 10 t− 24t− 144 >t− 12

Домножив обе части неравенства на сопряжённое $∘t-+-√24t−-144> 0?$ получим

∘ ------2 ∘ --√-------- 10 (t− 12) >(t− 12) t+ 24t− 144

$t=12$ не является решением. Рассмотрим случаи для раскрытия $|t− 12|$ в левой части:

$6 ≤t< 12$ , получаем
$∘ --√-------- −10< t+ 24t− 144$
Что верно при всех $6 ≤t< 12.$ То есть $2≤ x< 4$ — решение.
$t> 12$ , тогда
$∘ ----------- 10 > t+√24t−-144$
Возведём в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$√------- 100− t> 24t− 144$
При $t> 100$ неравенство не выполняется. При $t< 100$ возведём в квадрат обе неотрицательные части:
$t2 − 200t+10000 >24t− 144$

$( √-) ( √- ) t∈ −∞; 112− 20 6 ∪ 112+ 20 6;+∞$
Учитывая все ограничения на $t,$ получим
$12< t<112− 20√6$ и соответственно $- 4 <x < 112−320√6-$ — решение.

Ответ:

$[2;4)∪ (4;112−20√6) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#124434Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘ -----2---- ∘-2-------- ∘ -2-------- 10x − x − 24≥ x − 13x+42− x − 11x+ 30.

Показать ответ и решение

Здесь полезно начать с нахождения ОДЗ:

$pict$

Решая систему, получаем:

( ||||4⌊ ≤x ≤6 |||||⌈x ≤ 6 { x≥ 7 ⇔ x∈[4;5]∪{6} ||||⌊ |||||⌈x ≤ 5 ( x≥ 6

Перепишем исходное неравенство, разложив каждый из квадратных трёхчленов на множители:

∘ ---------- ∘---------- ∘ ---------- (6 − x)(x − 4)≥ (x− 6)(x− 7)− (x− 5)(x − 6)

(1)

(каждый из сомножителей неотрицателен в ОДЗ). Легко видеть, что $x =6$ является решением неравенства (1); остаётся рассмотреть данное неравенство на множестве $E =[4;5].$

Делим обе части неравенства (1) на выражение $√6-−-x,$ которое положительно на множестве $E,$ и приходим к равносильному на $E$ неравенству

√x−-4+ √5−-x≥ √7-− x

Обе части последнего неравенства положительны на множестве $E;$ возводя в квадрат, получим равносильное на $E$ неравенство

∘ --2-------- 1+ 2 −x + 9x− 20≥7 − x

2∘ −x2+-9x-− 20≥ 6− x

Поскольку $6− x> 0$ на множестве $E,$ снова возводим в квадрат:

4(−x2+ 9x− 20)≥ (6 − x)2

5x2− 48x +116≤ 0

Полученное неравенство равносильно на множестве $E$ неравенству (1). Но ввиду отрицательности дискриминанта

D = 482− 4⋅5⋅116=2304− 2320= −16< 0

это квадратное неравенство не имеет решений. Следовательно, не имеет решений на множестве $E$ и неравенство (1). Таким образом, $x =6$ — единственное решение нашего неравенства.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#91541Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘--1006---2012--- 1799 2x − (x +1)> 3x +1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x1006− (x2012+ 1)=− (x1006− 1)2 ≥0$ .

Значит, единственное возможное значение $x$ это 1.

Но при $x =1$ неравенство не выполнено.

Ответ: решений нет