Тема . Классические неравенства

Оценки в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела классические неравенства
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#141099

Положительные числа a,  b,  c  меньше 1.  Пусть x= a(1− b),  y =b(1− c),  z = c(1− a).  Докажите неравенство

                        √--√ --√ --
abc+ (1 − a)(1 − b)(1− c)≥min( xy, yz, zx).
Показать доказательство

По неравенству о средних:

                      ∘-----------------   √---
abc+(1− a)(1− b)(1− c)≥ 2 a(1− a)b(1 − b)c(1− c)= 2 xyz

Хотим доказать, что

 √---     √-- √--√ --
2 xyz ≥ min( xy, yz, zx)

Пусть это не так. Тогда

√xy-> 2√xyz,

откуда z > 14.  Аналогично, x > 14  и y > 14.

Но теперь

abc+ (1 − a)(1− b)(1− c)=1 − a− b− c+ab+ bc+ac= 1− x− y− z <1 − 1 − 1− 1= 1
                                                        4   4  4  4

При этом

min(√xy,√yz,√zx) > 1
                 4

Отсюда мы и получаем противоречие с предположением, а значит, требуемое неравенство верно.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!