Формулы в тригонометрических уравнениях

Подсказка 1

Сумма тангенсов в знаменателе... Давайте поработаем с ней, а потом полученный ответ (если он будет дробью) перевернем. У нас нет формулы суммы тангенсов, и потому поступим интереснее: распишем тангенсы как отношение синуса и косинуса, а затем приведем две дроби к общему знаменателю. То же сделаем и с котангенсами.

Подсказка 2

Да, у нас получатся выражения, у которых одинаковый числитель (если применить формулу синуса суммы в обратную сторону). Тогда, когда мы их перевернем, мы получим sin(7x) у двух дробей в знаменателе. А что будет, если мы эти две дроби объединим? Какая формула напрашивается для применения в числителе?

Подсказка 3

Верно, применяем формулу косинуса суммы. Тогда в числителе cos(7x), а в знаменателе sin(7x). Так что вся эта дробь равна ctg(7x). Получилось уравнение вида ctg(α) = tg(β). Чтобы нам было удобно решать это дальше, нужно превратить котангенс в тангенс, а затем понять, когда тангенсы углов равны.

Подсказка 4

Да, тангенсы углов равны, когда углы равны или различаются на какое-то целое количество π. Отлично, здесь и найдётся х. Остаётся только пересечь найденную серию решений с ОДЗ (помним, что должны существовать ВСЕ тангенсы и котангенсы из первоначального уравнения).

Подсказка 5

Смотрите, как интересно выходит: чтобы синус или косинус обнулился, в их аргументах должен фигурировать множитель π/2 = 10π/20, то есть перед π стоит в числителе чётное число. А что, если мы посмотрим на наши серии решений? Они - это (2n+1)π/20, то есть множитель перед π нечетный. Это значит, что синусы и косинусы, в аргументах которых есть нечетные числа, никогда не обнулятся -> нам остается грамотно поработать только с sin(2x) и cos(2x).