Формулы в тригонометрических уравнениях

Первое решение.

Запишем ОДЗ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на

Тогда получаем следующее

Тогда получаем, что

Решим последнее уравнение:

Тогда получаем следующую серию

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

Сначала запишем ОДЗ:

По формуле тангенса разности

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное То есть Таким образом, После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать в виде где и

Перейдем к случаю В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

Теперь необходимо дополнительно учесть, что Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

Тогда или Таким образом, или

не подходит по ОДЗ, поскольку

тоже можно проверить, представив в виде где и Тогда получится, что при этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: или