Тема . Тригонометрия

Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тригонометрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#98815

Решите уравнение

     ----sin-36∘----
tgx= 2sin 42∘− cos36∘.

В ответе укажите наименьший положительный угол в градусах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы вообще могли бы получить такой угол. Скорее всего, мы что-то подставили вместо икса, и это что-то имеет вид 42t + 36v, потому что задача вряд ли использует что-то сложнее. Осталось понять, чему равно t и v (если мы верим, что после подстановки всё сократится).

Подсказка 2

Вряд ли это будет пара, такая, что |t| = |v| = 1, поскольку это было бы слишком очевидно и сразу бы решалось (хотя проверить стоит). Если же у нас t, v по модулю хотя бы 2, то там вылезают как минимум четвёртые степени и нас вряд ли так не любят организаторы. Поэтому все напрашивается на мысль, что скорее всего v и t — это 2 и 1 в некотором порядке записанные.

Подсказка 3

Осталось подстановкой проверить возможные варианты и найти подходящий!

Показать ответ и решение

Преобразуем знаменатель:

     ∘      ∘      ∘     ∘      ∘
2sin42 − cos36 = sin42 +sin42− cos36

Так как для любого x  верно, что sinx =cos(90∘− x),  то sin42∘ = cos48∘.  Тогда:

sin42∘+ sin42∘− cos36∘ =sin42∘ +cos48∘− cos36∘

Воспользуемся формулой разности косинусов cosa− cosb= −2sina+-bsina-− b
                2      2  :

sin42∘+ cos48∘− cos36∘ = sin42∘− 2sin48∘+36∘sin 48∘-− 36∘= sin42∘− 2sin42∘sin6∘ = sin42∘(1 − 2sin 6∘)
                                  2         2

Снова заменим sin42∘ на cos48∘ :

sin 42∘(1− 2sin6∘)=cos48∘(1− 2sin6∘)

Итак, знаменатель дроби равен:

2sin42∘− cos36∘ = cos48∘(1− 2sin6∘)

Теперь преобразуем числитель sin 36∘.  Заменим sin 36∘ на cos(90∘− 36∘)= cos54∘,  а затем прибавим sin48∘− cos42∘ =0.  Мы прибавляем 0, значит, значение выражения от этого не изменится.

sin 36∘ = cos54∘ =sin48∘− cos42∘+ cos54∘

Воспользуемся формулой разности косинусов:

                               54∘+ 42∘  54∘− 42∘
sin48∘− cos42∘ +cos54∘ =sin 48∘− 2sin---2---sin---2--- =

sin48∘− 2sin48∘sin6∘ = sin48∘(1 − 2sin 6∘)

Итак, числитель дроби равен:

    ∘      ∘       ∘
sin36 = sin48 (1− 2sin 6)

Подставим это в исходное уравнение:

tgx = ----sin36∘-----
     2sin42∘− cos36∘

     sin48∘(1 − 2sin 6∘)
tgx = cos48∘(1− 2sin6∘)

         ∘
tgx= -sin48∘
     cos48

tgx= tg 48∘

Тогда x = 48∘+ πk,  где k  — целое, то есть наименьший положительный угол равен 48∘.

Ответ:

 48∘

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!