Тема Тригонометрия

Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тригонометрия

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#31039Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin x+sin 2x +sin 3x +sin 4x =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметьте, что х+4х = 2х+3х. Можно сгруппировать синусы этих углов и применить формулу суммы синусов

Подсказка 2

Отлично, получился общий множитель, который вынесли за скобку, осталась сумма косинусов, которую мы тоже разложим на множители. Осталось дорешать простенькие уравнения из условия, что произведение всех множителей равно нулю!

Показать ответ и решение

По формулам

5x 3x 5x x (sin x+ sin4x)+(sin2x+ sin3x)=2 sin-2 cos2-+ 2sin-2 cos2 =

5x 3x x 5x x = 2sin 2-(cos2-+ cos-2)=4sin2-cosxcos-2

Тогда уравнение равносильно совокупности

⌊ sin 5x2-= 0 |⌈ cosx= 0 cosx2 = 0

Что равносильно

⌊ 2 | x= 5ππk,k ∈ℤ ⌈ x= 2 + πk,k∈ℤ x= 2(π2 +πk)= π+ 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$2πk;π +πk;π+ 2πk; k∈ ℤ 5 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#31040Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sinxsin 3x +sin 4x sin8x= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение двух синусов преобразовывается в разность двух косинусов. Примените это!

Подсказка 2

Парочку косинусов ушло и снова получили разность двух косинусов, равную нулю. Применяем ту же формулу в другую сторону!

Показать ответ и решение

По формулам

2sinxsin3x+2 sin4xsin8x= cos2x− cos4x +cos4x − cos12x =

= cos2x − cos12x =2sin 7x sin5x

Тогда уравнение равносильно совокупности

[ sin 7x =0 sin 5x =0

В итоге получаем

[ x= πk7 ,k∈ ℤ x= πk5 ,k∈ ℤ

Ответ:

$πk;πk; k∈ℤ 7 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#32321Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ |sin3x|=− √2siny; cos2y+ 2cos2x sin22x = 3. 4

Показать ответ и решение

С учётом $siny ≤0$ из первого имеем $sin23x= 2sin2y$ , тогда для второго

2 2 2 3 1− 2sin y+ 2cos2x sin 2x =1 − sin 3x+ sin4xsin2x = 4 =⇒

3 1 2cos23x+ 2sin4xsin2x =1 +cos6x +cos2x− cos6x= 2 =⇒ cos2x= 2

Или $x= ± π6 + πn=⇒ |sin3x|= 1=⇒ siny = − 1√2$ и $y = − π4 +2πk$ или $y = − 3π4 +2πk$ .

Ответ:

${(±π +πn,− π+ 2πk),(±π +πn,− 3π-+2πk), k,n∈ ℤ} 6 4 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#32700Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $sin4xsinx− sin3xsin 2x = 1cos3x+ √1-+cosx 2$ .

Показать ответ и решение

Применим формулу произведения синусов для левой части, получим

1 1 √------- 2(cos3x− cos5x− cosx +cos5x)= 2 cos3x+ 1+ cosx

Тогда $1 √ ------- − 2cosx = 1+ cosx$ , что равносильно системе: $cosx ≤0$ и

1 √- 4cos2x= 1+cosx⇐ ⇒ cos2x− 4cosx − 4= 0⇐ ⇒ cosx =2 ±2 2

Откуда подходит только $√- cosx =2 − 2 2$ , так что $√ - x =± arccos(2− 2 2)+2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$±arccos(2− 2√2)+ 2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#34668Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√--------------- √- 5 − 2sin x+3 cos2x= 2 3cosx.

Показать ответ и решение

При $cosx< 0$ уравнение не имеет решений, а при $cosx≥ 0$ получаем

2 5− 2sinx +3cos2x= 12 cos x

5− 2sinx +3− 6sin2x =12− 12sin2x

3sin2x− sinx− 2= 0 ⇐⇒ sinx= 1±-5 ⇐ ⇒ sinx = − 2 или sinx =1 6 3

В первом случае под условие $cosx ≥0$ подходит только $x= − arcsin2+ 2πn,n ∈ℤ 3$ , а во втором случае $x= π +2πn,n∈ ℤ 2$ подходит под ограничение $cosx≥ 0$ , потому что при таких значениях $x$ косинус равен нулю.

Ответ:

$− arcsin 2+ 2πn,π+ 2πn, n∈ ℤ 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#37115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 sinx +sin 3x = 4cos x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно применить формулу суммы синусов, тогда слева появится произведение, чтобы потом выносить за скобку общие множители и левой, и правой части

Подсказка 2

Выносим cos(x) за скобку и понимаем, что либо он равен нулю, либо он не равен нулю и тогда можно на него разделить и получить tg(x).

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы синусов уравнение эквивалентно:

3 2 sin2xcosx =4cos x

Отсюда $cosx = 0$ или $4sin xcosx =4cos2x$ .

Итак, $x = π+ πn, n∈ ℤ 2$ или $tgx= 1 ⇐⇒ x= π +πn, n ∈ℤ 4$ .

Второе решение.

Воспользуемся формулой синуса тройного угла

sinx+ 3sinx− 4sin3 = 4cos3x ⇐ ⇒ sin x(1− sin2x)= cos3x ⇐⇒ sinx⋅cos2 =cos3 x

Отсюда либо $cosx = 0$ , то есть $x = π2 + πn$ , либо $sinx= cosx$ , то есть $x = π4 + πn$ .

Ответ:

$π + πn;π + πn; n∈ ℤ 4 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#37134Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos7x +cosx= 4cos4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Примените формулу суммы косинусов, чтобы получить слева произведение. Благодаря этому мы сможем выносить за скобку общие множители.

Подсказка 2

Верно, вынесем за скобку cos(4x). Либо он равен нулю, либо скобка равна нулю. Стоп, а возможно ли второе?

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов уравнение эквивалентно:

2cos4xcos3x= 4cos4x

Отсюда $cos4x =0$ или $cos3x= 2$ .

В первом случае $4x = π2 + πn,n ∈ℤ$ , а во втором решений нет.

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#37135Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

1 cosxcos2x sin3x= 4sin 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала нужно применить формулу произведения косинусов - раз оно тут есть, почему бы и нет?

Подсказка 2

Теперь слева нужно раскрыть скобки и применить два раза формулу произведения синуса на косинус, тогда у нас появится слагаемое, которое стоит и в правой части.

Подсказка 3

Отлично, осталась только сумма двух синусов -> применяем нужную для нее формулу, и ответ уже почти получен.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле произведения косинусов уравнение эквивалентно:

1 1 2(cos3x+ cosx)sin3x= 4sin2x

Далее применим формулу произведения синуса на косинус:

1 1 4(sin 6x +sin 0x +sin 4x +sin2x)= 4 sin2x

После приведения подобных осталось для двух оставшихся слагаемых применить формулу суммы синусов:

sin5xcosx= 0

Откуда

πn sin5x= 0 ⇐⇒ -5 ,n ∈ℤ

или

cosx= 0 ⇐⇒ π +πn,n∈ ℤ. 2

Второе решение.

Умножим обе части на $4sin x$

4sin xcosxcos2xsin3x= 2sin2xcos2xsin3x= sin4xsin3x =sin xsin2x

Далее воспользуемся формулой произведения синусов, сразу сократив $12$

cosx − cos7x= cosx− cos3x ⇐ ⇒ cos7x = cos3x ⇐⇒ sin5xsin2x= 0

В результате $πn πm- x= 2 , 5$ . У этих серий есть общие корни при $5n =2m,$ в связи с чем можно эти общие корни вида $πl$ не писать, а записать ответ так:

πm -5-,m ∈ℤ;

π 2 + πn, n ∈ℤ.

Ответ:

$πn,π +πn, n∈ ℤ 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#37136Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 cos5x cos4x+ cos4xcos3x − cos 2xcosx= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вынесем за скобку cos(4x), а затем применим формулу суммы косинусов, тогда можно будет еще кое-что вынести за скобку.

Подсказка 2

А конкретнее вынесется cos(x). Если он равен нулю, то все понятно, а если нет, то тогда нужно будет решить квадратное уравнение относительно cos(4x). Кстати, cos(4x) можно получить понижением степени.

Подсказка 3

Отлично, мы нашли cos(4x). Да, выглядит он, конечно, неприятно, но это не мешает нам грамотно найти ответ, проверив заранее, а может ли вообще косинус быть этим числом.

Показать ответ и решение

После вынесения $cos4x$ за скобку для первых двух слагаемых и использования формулы суммы косинусов получаем эквивалентное уравнение:

2 cos4x ⋅2cosxcos4x =cos 2x cosx

Отсюда либо $cosx =0$ , либо можем поделить обе части уравнения на $cosx$ и применить формулу квадрата косинуса половинного угла справа:

2 cos4x+1 1±-√17 2cos 4x= 2 ⇐⇒ cos4x= 8

Осталось заметить, что $1±√17 | 8 |<1$ , потому что $√-- | 17± 1|< 8$ .

Итак, получаем, что

1±√17- 4x =± arccos--8---+ 2πn,n ∈ℤ,

либо

cosx= 0 ⇐⇒ π +πn,n∈ ℤ. 2

Ответ:

$π + πn,± 1arccos1±-√17-+ πn-, n∈ ℤ 2 4 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#37137Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

----1---- -----1----- tg5x+ tg2x − ctg5x+ ctg 2x = tg3x.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сумма тангенсов в знаменателе... Давайте поработаем с ней, а потом полученный ответ (если он будет дробью) перевернем. У нас нет формулы суммы тангенсов, и потому поступим интереснее: распишем тангенсы как отношение синуса и косинуса, а затем приведем две дроби к общему знаменателю. То же сделаем и с котангенсами.

Подсказка 2

Да, у нас получатся выражения, у которых одинаковый числитель (если применить формулу синуса суммы в обратную сторону). Тогда, когда мы их перевернем, мы получим sin(7x) у двух дробей в знаменателе. А что будет, если мы эти две дроби объединим? Какая формула напрашивается для применения в числителе?

Подсказка 3

Верно, применяем формулу косинуса суммы. Тогда в числителе cos(7x), а в знаменателе sin(7x). Так что вся эта дробь равна ctg(7x). Получилось уравнение вида ctg(α) = tg(β). Чтобы нам было удобно решать это дальше, нужно превратить котангенс в тангенс, а затем понять, когда тангенсы углов равны.

Подсказка 4

Да, тангенсы углов равны, когда углы равны или различаются на какое-то целое количество π. Отлично, здесь и найдётся х. Остаётся только пересечь найденную серию решений с ОДЗ (помним, что должны существовать ВСЕ тангенсы и котангенсы из первоначального уравнения).

Подсказка 5

Смотрите, как интересно выходит: чтобы синус или косинус обнулился, в их аргументах должен фигурировать множитель π/2 = 10π/20, то есть перед π стоит в числителе чётное число. А что, если мы посмотрим на наши серии решений? Они - это (2n+1)π/20, то есть множитель перед π нечетный. Это значит, что синусы и косинусы, в аргументах которых есть нечетные числа, никогда не обнулятся -> нам остается грамотно поработать только с sin(2x) и cos(2x).

Показать ответ и решение

Используя формулы суммы тангенсов и котангенсов, получаем:

cos2xcos5x- sin2xsin5x- sin7x − sin7x =tg3x ⇐⇒ ctg7x= tg3x

Итак, решением может быть только $π 7x= 2 − 3x+ πn$ , $π πn π(1+2n) x= 20 + 10 =-20--,n∈ ℤ$ .

Теперь нужно понять, какие решения подходят под ОДЗ исходного уравнения. То есть под условия, что ни одно из выражений $sin2x,cos2x,sin5x,cos5x,sin7x,cos3x$ не обращается в ноль.

Заметим, что при найденных решениях выражения $sin5x,cos5x,sin 7x,cos3x$ заведомо не обращаются в ноль, потому что при домножении $1+220n$ на нечётное число числитель будет нечётным, а косинус или синус обращаются в ноль в точках вида $πk2-= 10π20k,k∈ ℤ$ , где в числителе перед $π$ стоит чётное число.

Тогда осталось обеспечить условие на неравенство нулю синуса и косинуса двойного угла, для этого $2x= π(1+120n),n ∈ℤ$ не должно быть кратно $51π0$ . То есть нам нужно найти исключить такие $n$ , при которых $1+ 2n$ делится на $5$ и нарушается область определения уравнения (сумма тангенсов из знаменателя первого слагаемого $cossi2nx7xcos5x-$ будет равна нулю). Остальные значения $x$ подходят под все условия, как было показано выше. $1+2n$ делится на $5$ при $n =2+ 5k,k ∈ℤ.$

Ответ:

$-π+ πn, n∈ ℤ∖{2+ 5k:k∈ ℤ} 20 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#39068Максимум баллов за задание: 7

Дано

3 2 cosx− sinx= 1

Найдите $13cosx$ , если известно, что $sinx +1 >0$ .

Показать ответ и решение

Перепишем условие в виде $sinx = 3cosx− 1 2$ . Возведём данное равенство в кадрат и получим:

2 9 2 sin x= 4cos x− 3cosx+ 1.

Сделаем замену $2 2 sin x =1 − cosx$ :

9 13 13 1− cos2x= 4cos2x− 3cosx+ 1⇔ 4-cos2x− 3cosx =0 ⇔ cosx(12cosx − 1)= 0.

Откуда имеем: $cosx= 0$ или $13cosx= 12$ . Но первое невозможно, так как при подстановке в исходное выражение получим: $sinx= −1$ , что противоречит условию $sinx+ 1> 0.$

Ответ: 12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#40723Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3x √- 3x 2 x 2+cos2-+ 3sin 2-= 4sin 4

Показать ответ и решение

По формуле косинуса разности

3x- √- 3x (3x π) cos 2 + 3sin 2 = 2cos 2 − 3

По формуле косинуса двойного угла

4sin2 x− 2= −2cos x 4 2

Тогда уравнение эквивалентно

( ) ( ) cos 3x− π = − cosx= cos π− x 2 3 2 2

Значит, либо $3x− π= π− x +2πk,k∈ ℤ 2 3 2$ , либо $3x-− π= −π + x +2πk,k∈ ℤ 2 3 2$ . В первом случае $x= 2π+ πk,k ∈ℤ 3$ , а во втором $x =− 2π+ 2πk,k∈ ℤ. 3$

Ответ:

$2π +πk; − 2π+ 2πk; k∈ ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#51601Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x+cos2x= cos4x− 3|sinx|.

Показать ответ и решение

Обозначим $sin x= t$ , тогда $sin3x =3t− 4t3$ , $cos2x− cos4x= 2sin3xsinx =2t(3t− 4t3).$ Исходное уравнение примет вид

4 3 2 8t + 4t− 6t − 3(t+|t|)=0

Сделаем замену $t= sinx∈ [− 1,1]$ , разберём два случая

Пусть $t≤ 0,$ тогда уравнение равносильно уравнению
$( ) t2 4t2+ 2t− 3 = 0$
Если $t= sinx = 0,$ то $x= πn,n ∈ℤ.$ Эти значения $x$ являются корнями исходного уравнения.
Решив уравнение $4t2+ 2t− 3= 0,$ найдем его корни $t1 = −-1−√13, 4$ $t2 = √13−1, 4$ где $t1 < −1,t2 > 0.$ В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
Пусть $t> 0,$ тогда уравнение равносильно
$4t4+ 2t3 − 3t2− 3t= 0, 4t2(t− 1)+ 6t(t− 1)+ 3(t− 1)=0$
$( ) (t− 1) 4t2+ 6t+3 = 0$ Уравнение имеет единственный действительный корень $t=1$ , поскольку дискриминант квадратного трёхчлена в скобках отрицателен. Если $t= sinx= 1> 0$ то $x= π2 + 2πn,$ $n∈ ℤ$ .

Ответ:

$πn,π +2πn, n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#51602Максимум баллов за задание: 7

Дана функция $f(x)= sin4x-+cos4x- sin6x +cos6x$ . Найти:

1) корни уравнения $10 f(x)= -7$

2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ .

Показать ответ и решение

Используем тождества (первое равенство получается из формулы суммы кубов)

6 6 4 4 2 2 2 2 3 2 sin x +cosx = sin x+cos x− sin xcos x= 1− 3sin xcosx = 1− 4sin 2x

1 sin4x+ cos4x= (sin2x+ cos2x)2− 2sin2x cos2x= 1− 2sin22x

Далее сделаем замену $sin22x= t,$ получим

f(x)= -1− t∕2 = 2⋅-t−-2 = 2⋅ (t− 4∕3)− 2∕3 = 2 − 9⋅-1 = g(t) 1− 3t∕4 3 t− 4∕3 3 t− 4∕3 3 4 t− 4∕3

где $0 ≤t≤ 1.$ Функция $g(t)$ является возрастающей на отрезке $[0;1],$ и поэтому $gmin = g(0)= 1$ , $gmax = g(1) =2.$ Если $f(x)= 10, 7$ то $g(t)= 10, 7$ т. e. $2(t−2)= 10, 3t−4 7$ откуда $t= 3. 4$ Следовательно, $sin22x= 3 4$ или $cos4x =$ $= − 1, 2$ откуда $x =± π+ πn,n∈ ℤ 6 2$ .

Ответ:

$1)x= ±π + πn-,n ∈ℤ; 6 2$

$2)fmax = 2,fmin =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#67504Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно как-то сжать эти выражения, то есть применить телескопическое суммирование. Для этого будет в самый раз умножить и левую, и правую часть уравнения на sin(x) (подумайте, может ли он вообще быть равен нулю), а затем применить формулы произведения синусов и синуса с косинусом.

Подсказка 2

Да, получится уравнение вида 1 - cos(2x) + cos(2x) - cos(4x) ... + cos(2020x) - cos(2022x) = √3 * sin(2022x). Телескоп сработал -> остается перенести синус с косинусом в одну часть, единичку - в другую, а затем вспомнить формулу вспомогательного угла - ведь коэффициенты 1 и √3 так и намекают на это :)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#67538Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения дробей

-sin(α+-β+-γ)- A= sinα ⋅sinβ⋅sinγ

B = tgα+-tgβ-+tgγ, tgα ⋅tgβ ⋅tgγ

если числа $α,β$ и $γ$ таковы, что $A= 3B.$

Источники: Миссия выполнима - 2022, 11.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с синусом суммы трех углов. Быть может, преобразуем при помощи формул?

Подсказка 2

Разложим синус трех слагаемых как синус суммы двух, после чего раскроем про формуле! Теперь делить почленно не составит труда - сможем найти A!

Подсказка 3

A + 1 равно сумме попарных произведений котангенсов! А как это преобразовать в выражение с тангенсами, чтобы связать с B?

Подсказка 4

Преобразуйте A как сумму обратных попарных произведений тангенсов и выразите через B.

Показать ответ и решение

sin(α +β +γ)= sin((α +β)+ γ)= sin(α +β)cosγ+ cos(α +β)sin γ =

=sin αcosβ cosγ+ cosα sinβcosγ+ cosαcosβsinγ− sinα sinβsinγ

Тогда подставим в $A$ и поделим почленно:

A =ctgβctgγ +ctgαctgγ +ctgαctgβ− 1=

= --1---+ ---1--+ ---1-- − 1 = tgα-+tgβ+-tgγ− 1= B− 1 tgβtgγ tgαtgγ tgαtgβ tgαtgβtgγ

Значит,

B − 1= 3B

1 B = −2

Откуда

A= − 3 2

Ответ:

$A = − 3,B =− 1 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#70773Максимум баллов за задание: 7

Углы $α$ и $β$ удовлетворяют равенствам

-1- 8- sin(2α+ 2β)= −√17;sin(2α +4β)+ sin(2α)= − 17

Найдите все возможные значения $tgα,$ если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.

Источники: Физтех-2022, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем работать со вторым уравнением, как можно преобразовать сумму синусов?

Подсказка 2

Используем формулу перехода от суммы синусов к произведению, откуда выходит множитель sin(2a+2b), который мы уже знаем из условия. Тогда мы знаем как cos(2b), так и sin(2b). Как перейти к тангенсам?

Подсказка 3

Не забудьте что один косинус задаёт 2 различных синуса! Получим 2 системы уравнений, каждая из которых после раскрытия синуса суммы даёт уравнение на sin(2a) и cos(2a). После раскрытия двойного угла можно перейти к тангенсам!

Подсказка 4

Как из условия, что подходящих тангенсов не менее 3 доказать, что таким образом мы нашли все возможные значения тангенсов?

Показать ответ и решение

Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем

4- sin(2α +2β)cos2β = −17

Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:

⌊ 1 1 4 4 | sin2β = √17 −√17 cos2β = −17 ⇔ cos2β =√17-⇔ |⌈ 1 sin2β =− √17

Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:

( ( ||| sin(2α+ 2β)=− √1- ||| sin(2α+ 2β)= − √1- |||{ 4 17 |||{ 4 17 | cos2β = √17 и | cos2β = √17 ||||| -1- ||||| -1- ( sin 2β = √17 ( sin2β =− √17

Из первой системы получаем

(| -1-- ||||| sin(2α+ 2β)= −√ 17 { cos2β = √4- ⇒ √4--sin2α+ √1- cos2α= −√-1- |||| 17 17 17 17 ||( sin2β = √1 17

Далее имеем

8sinαcosα+ (cos2α − sin2 α)=− (cos2α + sin2α)⇔ 2cosα(cosα +4sinα)= 0⇔

[ ⇔ cosα= 0 cosα= −4sinα

В первом случае $tgα$ не существует, а во втором случае $1 tgα =− 4.$

Аналогично рассматриваем вторую систему:

( |||| sin(2α+ 2β)= −√1- ||{ 4 17 4 1 1 || cos2β = √17 ⇒ √17-sin2α− √17 cos2α= −√17-⇔ ||||( -1- sin2β = −√17

⇔ 8sinαcosα− (cos2α− sin2α)=− (cos2α+ sin2α)⇔ 2sinα(4cosα +sinα)= 0⇔

[ ⇔ sinα = 0 4cosα= − sin α

Отсюда $tgα= 0$ или $tgα= −4.$

Итак, возможные значения $tgα$ — это $0,−4$ и $1 − 4.$

Ответ: -4;-0.25; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#76647Максимум баллов за задание: 7

На плоскости отмечено множество точек $M,$ координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением

sin(2x +3y)= sin2x+ sin3y.

Круг радиуса $R,$ расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M.$ Какие значения может принимать радиус такого круга?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень удобно работать с синусами от разных аргументов. Может, попытаться расписать сумму синусов?

Подсказка 2

Что будет, если посмотреть на левую часть как синус двойного угла?

Подсказка 3

Получилось, что нужно разобрать 3 случая, и нарисовать их, для того чтобы понять, какие радиусы нам подходят

Показать ответ и решение

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

2x+ 3y 2x+ 3y 2x+ 3y 2x − 3y 2sin---2--cos--2---= 2sin--2---cos--2---

2x+ 3y( 2x+ 3y 2x− 3y) 2sin---2-- cos--2---− cos---2-- =0

−4sin 2x-+3ysin3ysinx =0 2 2

Случай 1: $sin2x+3y-= 0⇒ 2x+ 3y =2πk,k∈ ℤ (1) 2$

Случай 2: $sin3y= 0⇒ y = 2πk,k∈ ℤ (2) 2 3$

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями $(2)$ принадлежат множеству $M.$

Случай 3:

$sinx= 0,y− любое ⇒ x= πk,k ∈ℤ.(3)$

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями $(3)$ принадлежат множеству $M.$ Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами $π$ и $2π: 3$

$PIC$

Радиус круга, вписанного $△ABC,$ равен $5−√613π.$ Если радиус круга, не имеющего с $M$ общих точек, имеет радиус $R ≥ 5−√613π,$ то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

Ответ:

$( 5− √13 ) 0;--6---π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#80057Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число $n,$ при котором выполняется равенство

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ sin(n +80 )+sin(n − 40 )+sin(n + 70)− cos25 = 0.

Показать ответ и решение

n∘-+80∘+-n∘− 40∘ n∘+-80∘-− n∘+-40∘ ∘ ∘ ∘ 2sin 2 cos 2 + sin(n +70 )− cos25 =0

2sin(n∘+ 20∘)⋅cos60∘+ sin(n∘+ 70∘)− cos25∘ = 0

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ sin(n +20 )+ sin(n + 70)− cos25 = 0

n∘+-20∘+n∘-+70∘ n∘+-70∘−-n∘−-20∘- ∘ 2sin 2 cos 2 − cos25 = 0

2sin(n∘ +45∘)cos25∘− cos25∘ =0

(2sin(n∘ +45∘)− 1)cos25∘ = 0

1 sin(n∘+45∘)= 2

[ n∘+ 45∘ = 30∘+ 360∘⋅a n∘+ 45∘ = 150∘+360∘⋅b; a,b∈ ℤ

[ n∘+ 45∘ = 30∘+ 360∘⋅a n∘+ 45∘ = 150∘+360∘⋅b; a,b∈ ℤ

Из первого $n ≥345$ , из второго $n ≥105$ .

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#90134Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tgxtg2x+ 3= 0.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить уравнение. Было бы удобно сделать замену и решить обычное, не тригонометрическое уравнение. Как это сделать?

Подсказка 2

Применим формулу тангенса двойного угла. Тогда при замене t = tg(x) и домножении левой и правой части на 1 - tg²x получим обычное квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Применим формулу тангенса двойного угла

-2tgx-- tgx⋅1− tg2x = −3

2 tg2x= 3tg2x− 3

√ - tgx= ± 3⁄= ±1

π x =± 3 + πn,n∈ ℤ

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$