Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Может ли для некоторых 
оказаться, что
б) Может ли для некоторых 
оказаться, что
в) Могут ли при каких-то 
выполняться оба равенства?
Источники:
Подсказка 1
Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!
Подсказка 2
У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.
Подсказка 3
Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.
Подсказка 4
Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...
Подсказка 5
У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...
Ясно, что числа 
и 
положительны.
a) Условие можно переписать в виде 
. Если 
, то 
, 
. Например,
при 
имеем 
, 
, 
.
б) Равенство сводится к соотношению 
. Например, при 
получаем, что 
в) Условие вида 
можно переписать в виде 
. Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются.
Заданные неравенства можно переписать в виде
Из первого равенства следует, что 
и 
имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда
), либо оба отрицательны (
). В силу положительности чисел 
и 
имеем 
.
Если 
Если 
Пришли к противоречию.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
