Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Тема Логарифмы

Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119898

Пусть $x =log5, y =lg12. 3$ Представьте $log 5 2$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+,−,⋅,:$ ).

Источники: ШВБ - 2025, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем представить логарифмы из условия через формулы перехода от одного основания к другому для перехода к одному (общему для всех логарифмов) основания, например, 2. Как тогда будут выглядеть логарифмы из условия?

Подсказка 2

Получаем log₂5 / log₂3 и log₂12 / log₂10. В первом уже есть требуемый логарифм, так что, возможно, пока что его представлять в каком-то другом виде не стоит. Что можно сделать со вторым?

Подсказка 3

Воспользуемся формулой логарифма от произведения. Тогда лишние логарифмы уйдут и останутся линейные комбинации log₂5 и log₂3. Отсюда получаем систему из двух уравнений, из которой можно выразить требуемый логарифм!

Показать ответ и решение

Перейдём к двоичным логарифмам. Обозначим:

log2 3= a, log25= b

Тогда:

log2-5 b x= log35= log2 3 = a

log 12 log (4⋅3) 2+ a y = lg12= lo2g-10 = log2(2⋅5) = 1-+b 2 2

Получаем систему уравнений:

( |{ x= b | a2+-a ( y = 1+ b

Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе уравнение:

( { b= ax ( y =-2+a- 1+ax

Умножим обе части второго уравнения на $1+ax$ и раскроем скобки

y(1+ ax)= 2+ a

y+ axy =2 +a

Перенесем все слагаемые с $a$ влево и вынесем его за скобку:

axy− a =2 − y

a(xy− 1)= 2− y

Отсюда:

a = 2−-y- xy− 1

Теперь найдём $b:$

x(2− y) b= ax= -xy− 1

Ответ:

$x(2−-y) xy− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125522

Решить уравнение

1+ logx(4− x)= log53⋅logx5.

Показать ответ и решение

Так как

log 3 log53⋅logx5= logx5 5 = logx3,

то уравнение можно записать в виде

logx x+logx(4− x)= logx3

Отсюда получаем уравнение

x(4− x)= 3

x2− 4x +3 =0

Откуда находим

[ x1 =1 x2 =3

При $x= 1$ исходное уравнение теряет смысл, а число $x= 3$ — корень уравнения.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127263

Какое число больше: $3111$ или $1714?$

Показать ответ и решение

Оценим $log (3111) 2$ сверху:

11 log2(31 )= 11log231< 11log2(32)= 11⋅5= 55

Оценим $log (1714) 2$ снизу:

14 log2(17 )= 14 log2(17)>14log2(16)=14⋅4= 56

Из этого делаем вывод

log(3111)< 55< 56 <log(1714) 2 2

То есть получаем, что

3111 < 1714

Ответ:

$1714$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88781

Решите уравнение $log 182 − log (5− x) =log (11− x)+ 1 2 2 2$ .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 5− x> 0 { x <5 11− x> 0 ⇐⇒ x <11 ⇐⇒ x <5

Преобразуем исходное уравнение

log 182− log(5− x)= log(11− x)+1 2 2 2

log (11− x)+ log(5− x)= log 182 − 1 2 2 2

log2((11− x)(5 − x))= log291

(11− x)(5− x)= 91

x2− 16x − 36= 0

[ x =− 2 x =18

Видно, что $18$ не подходит под ОДЗ, а $− 2$ подходит. Значит, ответ — $− 2.$

Ответ:

$− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88782

Найдите значение выражения $log560− log512.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

"Сверните" разность логарифмов в логарифм частного по свойству и посчитайте, чему полученное выражение равно.

Показать ответ и решение

60 log560 − log512 = log512 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88785

Известно, что $log2 =a 7$ . Найти $log 28 1∕2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пользуясь свойством логарифма получим значение 1/а, который равен "перевернутому" логарифму

Подсказка 2

Помним, что log(a*b)=log(a)+log(b), а 28=7*4

Показать ответ и решение

--1- 1 log1∕228 =− log2(4⋅7)= −2− log27= −2− log72 = −2− a

Ответ:

$− 2− 1 a$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88786

Решите уравнение $log x2 = 1+log x 2 2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка

По свойству логарифма вынесем степень над x, а затем решим получившееся уравнение

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

x> 0

Теперь преобразуем исходное уравнение

2log x= 1+log x 2 2

log2x= 1

x= 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88790

Решите уравнение $log (x2)+ log (x +5)= 2 4 2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем ОДЗ и сократим степени основания и аргумента у первого логарифма, получив |х| в аргументе

Подсказка 2

Разберем 2 случая раскрытия модуля и решим квадратные уравнения

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x2 > 0 { x⁄= 0 x+ 5> 0 ⇐⇒ x> −5 ⇐ ⇒ x ∈(−5;0)∪ (0,+∞ )

Теперь преобразуем данное уравнение

log (x2)+log (x+ 5) =2 4 2

log (x2(x+ 5)2)= 2 4

x2(x+ 5)2 =42

[ [ x(x+ 5)= 4 ⇐ ⇒ x2+ 5x− 4= 0 x(x+ 5)= −4 x2+ 5x+ 4= 0

Решив эти квадратные уравнения, получим 4 корня

⌊ | x= −4 ||| x= −1 |⌈ √-- x= −5±--41- 2

По ОДЗ $√ -- −-5−--41 2$ не подходит, а $√-- − 4,−1,−5+-41- 2$ подходят.

Ответ:

$−5+-√41- − 4,−1, 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92361

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

√- √- log2(3+ 2 2)− log2(1+ 2).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на наше выражение. Может быть, есть какое-то свойство, которое прямо напрашивается, чтобы его применили?

Подсказка 2

Да, действительно, применить формулу для разности логарифмов с одинаковым основанием — это отличная идея! В новом аргументе теперь как-то слишком много выражений с корнями, стоит как-то его упростить. Что для этого можно сделать?

Подсказка 3

Умножение на сопряжённое — лучший выбор. Давайте избавимся от корня в знаменателе.

Подсказка 4

Осталось только оценить аргумент относительно ближайших известных нам значений, при равенстве аргумента логарифма которым, получатся целые значения, и найти ответ.

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов

√ - √ - ( 3+ 2√2 ) log2(3+2 2)− log2(1 + 2) =log2 1+-√2- =

Домножаем на сопряжённое, чтобы применить формулу разности квадратов

((3+ 2√2-)(√2− 1)) ( √-) = log2 -(1+-√2)(√2-−-1)- = log2 1+ 2

Так как $√- 1< 2 <2,$ то $√ - 2 <1 + 2<3 <4.$ Тогда получаем, что

1= log2(2)< log2(1+ √2)< log2(4)= 2.

Таким образом, искомое число это $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64441

Решите уравнение

1 √--- 2 log3(−x − 16)− log3( − x− 4)= 1

Показать ответ и решение

Из ОДЗ $x≤ 0$ , заменим $t2 = −x$ , тогда $− x− 16 =t2− 16= (t− 4)(t+4)$ , получим

√t2− 16 log3 -t−-4--=log33 ⇐⇒ t2− 16= 9(t− 4)2 ⇐⇒ t∈ {4,5}

Далее $x = −t2 ∈{−16,−25}$ . Мы делали неравносильные переходы, поэтому нужно проверить ОДЗ и подставить для проверки, останется только $x= −25.$

Ответ: -25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68968

а) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a ⋅log2b =log2ab?

б) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a +log2b =log2(a+ b)?

в) Могут ли при каких-то $a,b$ выполняться оба равенства?

Источники: КФУ-2023, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!

Подсказка 2

У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.

Подсказка 3

Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.

Подсказка 4

Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...

Подсказка 5

У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...

Показать ответ и решение

Ясно, что числа $a$ и $b$ положительны.

a) Условие можно переписать в виде $log2(a)⋅log2(b)= log2(a)+ log2(b)$ . Если $log2(a) ⁄=1$ , то $log2a-- x =log2b = log2a−1$ , $x b= 2$ . Например, при $a = 4$ имеем $log2a =2$ , $2-- x = 2−1 =2$ , $b= 4$ .

б) Равенство сводится к соотношению $ab= a+ b$ . Например, при $a = 4$ получаем, что $-a- 4 b= a−1 = 3$

в) Условие вида $xy = x+ y$ можно переписать в виде $(x− 1)(y− 1)= 1$ . Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются. Заданные неравенства можно переписать в виде

{ (log2(a)− 1)(log2(b)− 1)= 1 ab =a+ b

Из первого равенства следует, что $log a− 1 2$ и $log b− 1 2$ имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда $a >2,b> 2$ ), либо оба отрицательны ( $a< 2,b< 2$ ). В силу положительности чисел $a$ и $-a- b= a−1$ имеем $a> 1$ .

Если $a> 2$

1 1 a− 1 >1;a−-1 < 1;b= 1+ a− 1-< 2

Если $1< a< 2$

0< a− 1< 1;a1− 1-> 1;b= 1+ a1−-1 > 2

Пришли к противоречию.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31117

Решите уравнение

( 2 ) log5−x 2x − 5x+ 31 =2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим логарифм, что первое хочется сделать? Конечно, записать ОДЗ. А что делать дальше? Что нам не нравится в этом уравнении? Как это ‘не нравится’ исправить?

Подсказка 2

На самом деле, в этом уравнении нам не нравится ‘разношерстность’ частей. Слева у нас логарифм, справа просто число. Не удобно. Но это всегда можно исправить. Подумайте как представить двойку в виде логарифма по тому же основанию.

Подсказка 3

Да, можно представить 2 как log_(5-x)((5-x)^2). Остается только приравнять выражения внутри логарифма, решить квадратное уравнение и сверить корни с ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| 5− x > 0 { 5− x ⁄= 1 |( 2 2x − 5x+ 31> 0

Последнее неравенство верно при любом $x$ , так как дискриминант меньше $0$ .

( 2 ) 2 log5−x 2x − 5x+ 31 =log5−x(5− x)

(2x2− 5x +31)− (5− x)2 =x2 +5x+ 6= (x +2)(x +3)= 0

Значит, либо $x= −2,$ либо $x= −3$ . Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ:

{ $− 3$ ; $− 2$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31123

Решите уравнение:

x log3(3 − 8)= 2− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у вас логарифм, а справа просто некоторое число. Что можно попытаться сделать, чтобы связать две эти вещи.

Подсказка 2

Да, нужно представить 2-x как логарифм по тому же основанию. То есть логарифм по основанию 3 от 3^(2-x). Значит, что 3^x-8=3^(2-x).(Заметьте, что ОДЗ писать здесь не нужно, так как то, от чего мы берем логарифм, мы приравниваем к заведомо положительному числу). Какая замена теперь просится, если у нас фигурирует 3^x и 9*3^(-x)?

Подсказка 3

Конечно, замена t=3^x. Осталось сделать ее и решить квадратное уравнение на t, после чего получить ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $3x− 8 >0$

x log3(3 − 8)= 2− x

x 2−x 3 − 8= 3

Пусть $t=3x.$ Тогда

t− 8= 9 t

t2−-8t−-9 (t−-9)(t+1) t = t = 0

$t>0,$ поэтому $x t=3 =9,$ так что $x =2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31126

Решите уравнение $5log2x+ 2xlog25 =15.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видно, что первое и второе слагаемое слева очень похожи друг на друг, 5 и х поменяли местами. Как это можно исправить?

Подсказка 2

Можно воспользоваться свойством, что a^(log_b(c))=c^(log_b(a)). После этого задача превращается в простую работу с логарифмами, ведь уравнение превращается в 3*5^(log_2(x))=15.

Показать ответ и решение

log5 ( log x)log25 log x⋅log 5 log x x 2 = 5 5 =5 5 2 = 5 2

5log2x+ 2xlog25 =5log2x+ 2⋅5log2x = 3⋅5log2x.

Таким образом, условие равносильно $3⋅5log2x = 3⋅5⇐⇒ log x =1 ⇐⇒ x= 2 2$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31133

Решите уравнение

x (x+1 ) log3(3 − 1)⋅log3 3 − 3 =6.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите на оба множителя. Есть ли в них что-то общее? Как можно преобразовать второй?

Подсказка 2

Да, в них есть что-то общее, поскольку выражение от которого берут логарифм во втором множителе отличается от выражения от которого берут логарифм в первом, умножением на 3. Но у нас логарифм с основанием 3. Какое свойство можно применить? Какую замену сделать?

Подсказка 3

Конечно, можно сделать замену t=log_3(3^x-1), тогда второй множитель это t+1. Значит t(t+1)=6. Осталось решить уравнение относительно t, сделать обратную замену и получить ответ.

Показать ответ и решение

Так как аргумент второго логарифма втрое больше аргумента первого логарифма, то при замене $t=log(3x− 1) 3$ получим $t(t+1)= 6$ , то есть $(t+ 3)(t− 2) =0$ .

Если $t=− 3$ , то $x 1- 3 − 1 = 27$ , $x 28 3 = 27$ и $28- x= log3 27$ .

Если $t=2$ , то $x 3 − 1= 9$ и $x= log310$ .

Ответ:

$log(10);log 28 3 327$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#35962

Решите уравнение $log (2x2− 8x +6)= 2. 2x+2$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева логарифм, а справа число, такое решать неудобно. Лучше сделать в обеих частях логарифмы, причём с одинаковыми основаниями. Для этого запишем 2 через логарифм по основанию 2x + 2. Теперь два логарифма с одинаковыми основаниями равны, какой переход можно сделать?

Подсказка 2

Тогда можно записать равенство на подлогарифмические выражения! Но не забыть учесть ОДЗ: основание логарифма больше нуля и не равно 1, подлогарифмическое выражение больше нуля.

Подсказка 3

Итак, осталось решить систему из одного уравнения и трёх неравенств. Важно ли, в каком порядке их решать?

Подсказка 4

На самом деле, проще сначала решить уравнение, а затем проверить решения, подставив их в оставшиеся неравенства.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2x +2 >0 ⇐ ⇒ x >− 1

2x+ 2⁄= 1 ⇐⇒ x⁄= − 1 2

2 2x − 8x +6> 0 ⇐⇒ x∈ (−∞;1)∪(3;+∞)

В итоге $x∈ (−1;− 1)∪ (− 1;1)∪ (3;+∞ ) 2 2$ .

На ОДЗ уравнение равносильно:

2 2 2 2 √ -- 2x − 8x+ 6= (2x+ 2) =4x + 8x+ 4 ⇐ ⇒ 2x + 16x− 2 =0 ⇐ ⇒ x =− 4± 17

Осталось заметить, что $− 4− √17-< −1$ , но при этом $− 4+ √17∈ (0;1)$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$√17-− 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#35963

Решите уравнение

log4x+17+ log9x7= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть два логарифма, но у них разные основания, подходящих свойств для работы с такими логарифмами нет. Но что можно заметить?

Подсказка 2

Что у них подлогарифмические выражения равны 7, а значит, можно попробовать перейти к новому основанию. Каким свойством можно воспользоваться?

Подсказка 3

Перевернём оба слагаемых, получив логарифмы по основанию 7 в знаменателях. Теперь осталось привести к общему знаменателю и получить уравнение вида дробь = 0, которое равносильно системе: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.

Подсказка 4

Осталось воспользоваться формулой суммы логарифмов в числителе и решить оставшуюся систему.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| 4x+ 1⁄= 1 |||{ 4x+ 1> 0 | |||( 9x ⁄=1 9x >0

Преобразуем уравнение с учётом ОДЗ

-1 log4x+17= log 19x 7 ⇐⇒ log7(4x+ 1)= log79x

В силу монотонности логарифма получаем $1- 2 4x+ 1= 9x ⇐⇒ 36x + 9x− 1= 0,$ откуда $1 1- x =− 3 или x = 12,$ но в ОДЗ входит только второй корень.

Ответ:

$-1 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#35964

Решите уравнение $xlog√x(2x) = 4.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева стоит что-то страшное, в первую очередь хочется преобразовать это во что-то другое. Что можно заметить?

Подсказка 2

Что если вынести корень из основания логарифма, то получим икс в степени логарифма с основанием икс! И ещё множитель два, что с ним можно сделать?

Подсказка 3

Можно заметить, что x > 0 по ОДЗ, а значит, эту двойку можно внести в логарифм по формуле логарифма степени. Теперь дело за малым: преобразовать полученное уравнение и решить с учётом ограничений.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,x ⁄=1$ . Заметим, что

log√-(2x) 2log (2x) 2 x x = 4 ⇐⇒ x x =4 ⇐ ⇒ (2x) =4 ⇐⇒ x =±1

И решений нет, поскольку оба корня не удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#63473

Решите уравнение

log4log2x+ log2log4x =2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По свойствам логарифма попробуйте сделать основания всех логарифмов равным 2: для первого слагаемого нам всего лишь понадобится вынести степень из основания логарифма, а для второго понадобится ещё воспользоваться свойствами логарифма от произведения и численно найти log₂(1/2).

Подсказка 2

После того как мы это проделаем у нас должно остаться линейное уравнение относительно логарифма в аргументе которого также стоит логарифм. Найдите, чему равен log₂(log₂ x)?

Подсказка 3

Остаётся лишь дважды раскрыть логарифм по определению и записать ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По свойствам логарифмов

1 log4 log2x= 2log2log2x

(1 ) log2log4x= log2 2 log2x = −1 +log2log2 x

Получаем уравнение

1log2log2x− 1+log2log2x= 2⇐⇒ 2

log log x= 2⇐ ⇒ log x= 4⇐ ⇒ x= 16 2 2 2

Второе решение.

Заметим, что левая часть является монотонно возрастающей функцией, поэтому решений у уравнения не более одного. Легко видеть, что значение $x =16$ является решением.

Ответ:

$16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#74570

Вася придумал новую операцию на множестве положительных чисел

lnb a ∗b= a

Найдите логарифм числа $((aab∗a)∗)(a(bb∗)b)$ по основанию $a∗ b.$

Источники: ИТМО-2022, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Новая операция, придуманная Васей, конечно, прекрасна, но работать с ней неудобно, давайте несколько преобразуем её. Если сказать, что a = e^ln(a), тогда Васина операция примет вид a✱b = e^(ln(a)b). Что мы получим, если возьмем натуральный логарифм от данной операции?

Подсказка 2

ln(a✱b) = ln(a)ln(b). Такое обилие натуральных логарифмов явно намекает нам, что удобнее всего будет работать, если мы приведем наше выражение к новому основанию e.

Подсказка 3

Далее несколько раз воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем произведения выражений под логарифмом в сумму логарифмов, а отношения - в разность.

Подсказка 4

В итоге должно получится ((ln(a) + ln(b))*(ln(a) + ln(b)) - ln(a)a - ln(b)b) / (ln(a)b). Попробуйте дойти от данного выражения до ответа путем несложных алгебраических преобразований.

Показать ответ и решение

Запишем операцию Васи в более удобном виде: