Базовые логарифмические уравнения и свойства логарифмов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения 
, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 
, 
и 
равно
произведению двух остальных.
Источники:
Подсказка 1
Сразу можно заметить некоторую схожесть логарифмов (однако сначала нужно записать кое-что важное!), точно неспроста так подобрали аргументы и основания! Что тогда можем сделать, чтобы это использовать? Какое свойство логарифмов нам поможет?
Подсказка 2
Вспоминается свойство log_a(b) ⋅ log_b(c) = log_a(c).. Очень удачным оказывается перемножить сразу все логарифмы, чтобы получилось 1! Какой логарифм равен произведению других мы не знаем, а тогда можем его обозначить переменной. Чему она должна быть равна?
Подсказка 3
Получаем, что какой-то логарифм равен ±1, остаётся только перебрать варианты! И можно ещё кое-что заметить: а может ли какой-то логарифм равняться 1?
Подсказка 4
Верно, не может) Осталось решить 3 простых уравнения и отобрать корни на ОДЗ!
Найдем ОДЗ: 
и 
Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество
Пусть 
— число, которое равно произведению двух других, 
и 
— оставшиеся. Тогда 
и 
Отсюда получаем, что
Заметим также, что если какой-то логарифм равен 
то и произведение двух других равно 
То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен 
(Единице никакой
логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).
Получили следующую совокупность:
Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
