Тема Системы уравнений и неравенств

Арифметические операции над системой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#31588Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ y− 2|x|+ 3= 0; |y|+ x− 3= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь логично будет раскрыть модуль сначала для какой-нибудь одной из переменных. Дальше можно что-нибудь сделать с уравнениями...

Подсказка 2

В каждом из случаев можно сложить или вычесть их. А дальше по необходимости можно раскрыть и модуль для другой переменной!

Показать ответ и решение

Если $y <0$ , то сложим эти два уравнения и получим $x − 2|x|= 0$ . Значит, $x= 0$ . Из исходной системы находим $y =− 3.$

Если $y ≥ 0$ , то рассмотрим разность уравнений системы: $x +2|x|− 6= 0.$

Если $x≥ 0$ , то $x= 2$ и из системы находим $y =1$ . Если $x <0$ , то $x =− 6$ и из системы находим $y =9.$

Ответ:

$(−6;9),(0;−3),(2;1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#34755Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x2+ 7x− y+ 11 =0; y2+ 3x− y+ 15 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены —> полезно будет выделить полные квадраты! Но выделять их, когда на месте удвоенного числа стоят 7 или 3 не супер приятно. Может вспомним, что перед нами система? Что в ней часто спасает?

Подсказка 2

Сложите уравнения! Тогда уже полные квадраты выделяются чётко, и мы вновь получаем стандартную для оценки конструкцию, из которой явно находим икс и игрек. Получается, задачка решена?

Подсказка 3

А вот и нет! Когда мы складываем уравнения системы, мы получаем лишь её следствие – не факт, что все решения действительно подходят, так что обязательно нужно сделать проверку!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 (2 ) ( 2 ) x +10x+ y − 2y +26= 0 ⇐⇒ x +10x+ 25+ y − 2y+ 1 = 0 ⇐⇒

2 2 ⇐⇒ (x +5) +(y− 1)= 0

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства $x =− 5$ и $y =1$ . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений $x$ и $y$ убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Ответ:

$(−5;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#36920Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

{ x3+ 3xy2 = 158; 3x2y+ y3 = −185.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Где-то мы уже видели такие слагаемые, как будто в кубе суммы... Ну конечно, давайте сложим оба уравнения и как раз получим куб суммы!

Подсказка 2

Хм, но ведь эти слагаемые фигурировали не только в кубе суммы, но и в кубе разности. Так давайте попробуем вычесть из первого уравнения второе, что получим?

Подсказка 3

А получим мы равносильную систему, потому что применили сложение и вычитание двух уравнений. В этой системе есть сумма и разность х и у, пусть и в кубе ⇒ возьмем корень третьей степени от каждой части уравнений, и остается только лишь записать ответ :)

Показать ответ и решение

Сложив уравнения, получим:

3 2 2 3 3 x +3x y+ 3y x+ y = (x +y) = −27 =⇒ x +y =− 3

Теперь напишем их разность:

3 2 2 3 3 x − 3x y+3xy − y = (x − y) = 343 =⇒ x− y = 7

Откуда получаем единственное решение $(2,− 5)$ . Проверять его не нужно, поскольку система из суммы и разности уравнений вместе эквивалентна изначальной.

Ответ:

$(2;− 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#37109Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

(| x3 |||{ xy+ 24= y- | |||( xy− 6= y3 x

Показать ответ и решение

Допустимые значения $x$ и $y$ определяются условием $xy ⁄= 0$ , а произведение правых частей уравнения равно $x2y2$ . Перемножив уравнения системы, получим $2 2 (xy+ 24)(xy− 6)= x y$ или $xy = 8$ .

Так как обе части уравнений системы отличны от нуля, то система из первого уравнения и уравнения-следствия после перемножения равносильна исходной системе. Исключая $y$ из системы, получаем $x4 x4 4 8 8+ 24= xy = 8 ⇐⇒ x = 2$ . Отсюда $x1 = 4,x2 = −4$ , тогда $y1 = 2$ , $y2 = −2$ .

Ответ:

$(4;2),(−4;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#39062Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для положительных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства: $-1+ -1= 1 x2 xy 9$ и $1-+ 1-= 1- y2 xy 16$ . Чему равно $3y− 4x$ ?

Показать ответ и решение

Равенства из условия переписываются в виде $1(1 + 1)= 1 x x y 9$ и $1(1+ 1)= 1- y x y 16$ . Если их сложить, то мы получим, что $1 1 2 1 -1 -25- (x + y) = 9 + 16 = 144$ . Отсюда следует, что $1 1 -5 x + y = ±12$ . В силу того, что числа положительны, то $1 1 5- x + y = 12$ . Из равенств выше, следует, что $1+ 1 -5 x= x19-y= 1219 = 154-$ , а $1+1 5- y = x116y-= 11126 = 203$ . Далее подстановкой получаем, что $3y− 4x= 3⋅ 230− 4⋅ 145= 20− 15= 5$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#45006Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 { x − 5y− z− 2z2 = 0 |( x +9y− 3z+2xz = 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

у нас какие-то странные формулы, давайте попробуем вычесть из первого третье и из первого второе и посмотрим, что получится

Подсказка 2

заметим, что и там, и там у нас присутствует x-5. попробуем проанализировать, чему равно x-5-z и посмотрев на эти два уравнения и понять, чему может быть равен z

Подсказка 3

в первом случае это равняется z(x+y), а во втором 2z*z, значит можно разобрать возможные значения z!

Показать ответ и решение

(| 3x− y− 5z− 2yz = 0 | (1) { x − 5y− z− 2z2 =0 | (2) |( x +9y− 3z+ 2xz =0 | (3)

Рассмотрев $(1)− (3)$ и $(1)− (2)$ , получаем:

{ 2(x− 5y− z− yz− xz)= 0 x− 5y = z+ 2z2

Откуда: $z = 0$ или $z = x+2y$

Первый случай при подстановке (проверьте!) даёт тривиальную тройку $(0,0,0).$

Второй случай позволяет выразить $x =2z− y$ , тогда после подстановки и приведения подобных слагаемых мы получаем:

(|{ z − 4y− 2yz =0 | (1′) z − 6y− 2z2 =0 | (2′) |( z − 8y− 4z2 +2zy = 0 | (3′)

Пробуем теперь посмотреть на $2⋅(1′)− (3′) :$ $z− 6yz+ 4z2 =0$ , откуда, поделив на $z ⁄= 0$ , получаем $1 − 6y+ 4z = 0⇒ z = 6y4−1$

Если выразить одну переменную через другую и подставить, мы получим еще две серии решений (не забудьте проверить полученные решения!): $(− 32,− 12,−1),(− 56,− 16,− 12)$

Ответ:

$(0,0,0),(− 3,− 1,−1),(− 5,− 1,− 1) 2 2 6 6 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#74786Максимум баллов за задание: 7

Решите систему в целых числах:

{ (y2 +6)(x− 1)= y(x2+ 1) (2 ) ( 2 ) x +6 (y− 1)= x y + 1

Источники: ФЕ-2022, 11.3 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставлять такие скобки бессмысленно, поэтому раскроем их. Теперь у нас есть одинаковые слагаемые в обоих уравнениях, так что сразу начнем преобразовывать систему и приведем ее к удобному уравнению.

Подсказка 2

Сложим уравнения системы и начнем преобразовывать так, чтобы становилось как можно больше скобок. Совсем необязательно, чтобы все разложилось на множители.

Подсказка 3

(x-2)(x-3)+(y-2)(y-3)=0. Попробуем исследовать функцию f(x)=(t-3)(t-2) и понять, в каких случаях достигается равенство.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

{ y2x− y2+ 6x− 6= yx2+y x2y− x2 +6y = xy2+x

Сложим эти 2 уравнения:

−x2− y2+ 6(x+y)− 12= x+ y

x2+y2− 5(x +y)+ 12= 0

(x2− 5x+ 6)+ (y2− 5y+ 6)= 0

(x− 2)(x− 3)+ (y− 2)(y− 3)= 0

Рассмотрим $f(t)= (t− 2)(t− 3)$ — это парабола с ветвями вверх, $f(t)≥ 0 при t∈ℤ.$ Тогда $f(x)+f(y)≥0,$ а равенство достигается только при

{ f(x) =0 f(y)= 0

То есть при

( [ ||||| x = 2 |{ x = 3 ||| [ |||( y = 2 y = 3

Остаётся только проверить найденные решения, подставив их в изначальную систему.

Ответ:

$(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#75003Максимум баллов за задание: 7

Подписью битового сообщения $(a,...,a ) 1 5$ является любой битовый набор $(x ,...,x ), 1 10$ при котором

$pict$

Здесь $⊕$ — стандартная операция сложения битов: $0⊕ 0= 1⊕ 1= 0,0⊕ 1= 1⊕ 0= 1.$

Найдите какую-нибудь подпись для сообщения $(0,1,0,0,0).$

Источники: Верченко-2022 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача только запугивает большим числом переменных, но это же обычная система уравнений, которые мы умеем решать. Так давайте подставим наше сообщение в левую часть условия.

Подсказка 2

Мы понимаем, что складывая одинаковые переменные они уничтожаются, поэтому полезно поскладывать уравнения в этой системе, тем самым, упростив её.

Подсказка 4

Сложите первые 3 уравнения, используя полученные знания, сложите 4-ое и 5-ое уравнения.

Подсказка 5

Теперь мы можем перейти к настоящей пугающей части, но не спешим расстраиваться, ведь нам нужно найти какой-нибудь набор иксов, а значит мы можем дополнительно навесить на него удобные нам ограничения, и если получится найти набор с доп. ограничениями, то задача решена. Какие бы ограничения нам тогда наложить?

Подсказка 6

Давайте перейдём от квадратичной системы к линейной, зафиксировав значения (x7,x8,x9,x10)=(1,1,0,0), и попробуем решить систему попроще.

Подсказка 7

Не забываем, что помимо действий с уравнениями мы можем делать действия внутри уравнения, давайте избавимся от 1, добавив их к обеим частям. Посмотрите на уравнения 2,4 и 1,3, дальше уже можно найти решение и радоваться победе!

Показать ответ и решение

Для начала, используя $(a,a ,a ,a,a )= (0,1,0,0,0), 1 2 3 4 5$ найдем $b,b,b,b ,b . 1 2 3 4 5$ Для этого решим систему:

( b ⊕ b ⊕b = 0 ||||| 3 4 5 |{ b2⊕ b4⊕b5 = 1 ||| b2⊕ b3⊕b5 = 0 |||( b1⊕ b2⊕b3 = 0 b1⊕ b3⊕b5 = 0

Сложив первые три уравнения и преобразовав их, получаем $b = 1. 5$ Подставим это значение в нашу систему:

(| b ⊕ b =1 ||||| b3⊕ b4=0 { b2⊕ b4=1 |||| b2⊕ b3⊕b = 0 ||( 1 2 3 b1⊕ b3 =1

Сложим четвертое и пятое уравнения и получим, что $b2 = 1.$ Тогда из второго уравнения следует, что $b4 = 1,$ а из третьего следует, что $b3 = 0.$ Тогда из пятого получаем $b1 =1.$

Итак, $(b,b ,b ,b,b)= (1,1,0,1,1). 1 2 3 4 5$ Теперь нужно найти набор какой-нибудь $(x ,x,x ,x ,x ,x ,x,x ,x,x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$

Для этого найдем любое решение системы:

(| x x ⊕ x x ⊕ x x ⊕x x ⊕ xx ⊕x x ⊕ xx ⊕ x x = 1 ||||| x1x9⊕ x21x0⊕x 3x 8⊕x4x9⊕ x5x9 ⊕ 6x 8x ⊕7x8x ⊕9x 10x = 1 { x1x8⊕ x29x ⊕ 3x 1x0⊕x4x8⊕ x5x10⊕x 6x10⊕ xx7⊕8x 8x 9⊕x = 0 |||| 1 9 210 3 8 4 7 58 6 8 7 8 8 9 10 ||( x1x7⊕ x2x10⊕ x3x10⊕ x4x7⊕x5x7⊕ x6x10⊕ x7x10⊕ x9x10 =1 x1x8⊕ x2x7 ⊕x3x7⊕ x4x9⊕ x5x9⊕x6x8⊕ x7x8 ⊕x8x10⊕x9 = 1

Решать квадратичную систему с десятью переменными сложно, поэтому попробуем ее как-нибудь упростить. Видно, что если убрать переменные $x ,x ,x ,x , 7 8 9 10$ то получится линейная система. Тогда зафиксируем значения этих переменных так, чтобы в новой системе не было противоречий, например, так: $(x7,x8,x9,x10)= (1,1,0,0).$ Тогда все слагаемые, в которых есть $x9$ или $x10$ пропадут.

После подстановки этих значений в систему получаем:

( ||||| x3⊕ x6 ⊕1= 1 |{ x1⊕ x4 ⊕1= 1 ||| x3⊕ x4 ⊕x5⊕ x6⊕ 1= 0 |||( x1⊕ x4 ⊕x5 = 1 x1⊕ x2 ⊕x3⊕ x6⊕ 1= 1

Далее во всех уравнениях, где есть слагаемое 1 в левой части, прибавим 1 к обеим частям. Тогда справа константа изменится на противоположную, а слева останутся только переменные.

( ||||| x3⊕ x6 = 0 |{ x1⊕ x4 = 0 ||| x3⊕ x4⊕ x5 ⊕x6 = 1 |||( x1⊕ x4⊕ x5 =1 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Из второго и четвертого уравнений следует, что $x = 1. 5$ Тогда из первого и третьего получаем, что $x = 0. 4$ Теперь подставим эти значения в систему:

( x ⊕ x = 0 ||||| 3 6 |{ x1 = 0 ||| x3⊕ x6 = 0 |||( x1 = 0 x1⊕ x2⊕ x3 ⊕x6 = 0

Итак, $x1 = 0.$ Тогда из первого и пятого получаем, что и $x2 =0.$ Осталось выбрать какие-нибудь значения для $x3x6,$ так как их система однозначно не задает. Пусть $x = x = 0. 3 6$

Получаем следующую подпись: $(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0).$

Ответ:

$(0,0,0,0,1,0,1,1,0,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#76576Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что

x(x+ 1)y =6,

3( 3 ) 3 x x +1 y = 126.

Какие значения может принимать выражение

x2(x2+ 1)y2?

Укажите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Источники: Турнир Ломоносова - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть система уравнений, казалось бы. И мы хотели бы ее решить. Однако, решать в лоб - долго и можно ошибиться. Нам нужно как-то составить из этой системы уравнение на x. При этом, y в нашей системе в одной форме(то есть, на него просто умножают все выражение в конце, на какую то степень). Как тогда можно составить уравнение, в котором есть только х?

Подсказка 2

Верно, возведем первое в куб. Тогда, у нас получится (xy)^3 * (x + 1)^3 = 6^3, (xy)^3 * (x^3 + 1) = 126. Поделим первое на второе и получим уравнение на х (квадратное, ведь x + 1 сократился, когда поделили). Значит, нашли корни. Осталось найти y и подставить в искомое выражение.

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в куб и поделим на второе:

-63- x3(x+-1)3y3 126 = x3(x3+1)y3

Отсюда при условии $x ⁄= 0,x⁄= −1,y ⁄= 0$ получаем

2 12-= -(x2-+1)-- 7 x − x+1

5x2− 26x+ 5= 0

Решая это квадратное уравнение, получаем $x= 5$ или $1 x = 5.$ Из первого равенства тогда $1 y = 5$ или $y = 25$ соответственно.

Подставляем получившиеся значения в требуемое выражение:

( ) ( ) (( ) ) 52⋅(52+ 1)⋅ 1 2 =26 и 1 2⋅ 1 2+ 1 ⋅252 =26 5 5 5

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#80591Максимум баллов за задание: 7

Найти $2x2+ 10y2 − 23z2,$ если

{ (x− y)(x+y)= z2, 4y2 = 5+7z2

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде ${ x2− y2− z2 =0 4y2− 7z2 =5$ и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

( 2 2 2) ( 2 2) 2 2 2 α x − y − z + β 4y − 7z =2x + 10y − 23z ⇐⇒ ⇐⇒ αx2 +(4β− α)y2− (7β +α)z2 = 2x2 +10y2− 23z2.

Запишем систему равенств для коэффициентов:

( |{ α= 2 { α = 2 |( 4β − α = 10, ⇔ β =3 7β +α = 23

Следовательно, $2 2 2 (2 2 2) ( 2 2) 2x + 10y − 23z = 2 x − y − z +3 4y − 7z = 2⋅0+ 3⋅5=15.$

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#80592Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ xy+ 3y2− x+4y− 7= 0 2xy+ y2− 2x − 2y+ 1= 0

Показать ответ и решение

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

2 2 −5y − 10y+ 15= 0⇔ y + 2y− 3 =0 ⇐⇒ y = 1,− 3

Если подставить $y = 1$ в первое уравнение, увидим, $x$ — любое, так как $0⋅x= 0.$

Если подставить $y = −3,$ получим $x= 2.$

Ответ:

$(2,− 3),(a,1),a∈R$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#90837Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| 2xy2+ 8zx2− 4yz2 =6xyz { 8xz2− 4yx2+ 2zy2 =6xyz |( 2xy− 4xz+2yz = 3

Показать ответ и решение

Вычитая из первого уравнения второе, получим

2 2 2 2 2 2 xy + 4x z− 2yz − 4xz +2x y− yz =0 (1)

Разложим левую часть этого уравнения на множители:

y2(x− z)+4xz(x − z)+ 2y (x2− z2)= 0 (x− z)[y(y +2z)+2x(y+ 2z)]= 0 (x− z)(y +2z)(y+ 2x)= 0

Заметим, что исходная система, равносильная системе, состоящей из ее первого и третьего уравнений и уравнения (1), равносильна также совокупности трех систем, получаемых присоединением к первому и третьему уравнениям соответственно уравнений

x= z (2) y = −2z (3) y =− 2x (4).

1) Подставляя из (2) $x= z$ в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

(2 2) x y − 5xy+4x = x(y − x)(y − 4x)= 0 4xy− 4x2 =4x(y− x) =3 (5)

Если $x= 0$ или $y =x$ , то из (5) следует, что $0= 3.$ Если $y = 4x$ , то из $(5)$ находим $x2 = 1,x= ±1. 4 2$ В этом случае система имеет два решения:

(1 1) ( 1 1) 2;2;2 и −2;−2;−2 .

2) Подставляя $y = −2z$ (см. (3)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

( ) z 2z2+ 5xz+2x2 = z(z +2x)(x+ 2z)=0 −4z(z +2x)= 3 (6)

Если $z = 0$ или $z+ 2x= 0$ , то из (6) следует, что $0= 3.$ Если $x =−2z$ , то из (6) находим $z2 = 14,z =± 12.$ В этом случае система имеет решения:

( ) ( ) 1;1;− 1 и −1;−1;1 . 2 2

3) Подставляя $y = −2x$ (см. (4)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

x(2x2+ 5xz+ 2z2)= x(x +2z)(z+ 2x)= 0 −4x(x +2z)= 3 (7)

Если $x= 0$ или $x +2z = 0$ , то из (7) следует, что $0 =3.$ Если $z =−2x$ , то из (7) находим $x2 = 1,x= ±1 4 2$ . В этом случае система имеет два решения $(1;−1;−1) 2$ и $(− 1;1;1) 2$ .

Ответ:

$(1;−1;−1),(− 1;1;1),(1;2;1),(− 1;−2;− 1) 2 2 2 2 2 2$ , $(1;1;− 1),(−1;− 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91675Максимум баллов за задание: 7

Найдите действительные решения системы уравнений

{ x2− 4x− 2y − 1 =0 y2− 2x+ 6y +14= 0

Показать ответ и решение

Сложив уравнения системы, получим

2 2 (x− 3)+ (y+2) = 0

откуда может быть только

x= 3, y = −2

Пара чисел $x= 3,y = −2$ , как показывает проверка, действительно является решением системы.

Ответ:

$(3;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#94089Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| 2x− 3y+-1 =6, |{ xy1 ||( 3z− 6x+ xz1 = 2, 6y− 2z+ yz = 3.

Источники: ПВГ - 2021, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда не очень понятно, что тут можно сделать... Однако оказывается, что здесь очень хорошо подобраны коэффициенты — попробуйте правые части уравнений домножить на разность соответствующих слагаемых в левой и сложить!

Подсказка 2

Ага, получился 0! А давайте тогда попробуем сделать с дробями то же самое, что получится? А значит, к какому следствию из системы хорошо бы перейти?

Показать ответ и решение

Умножив первое уравнение на $(2x− 3y)$ , второе — на $(3z− 6x)$ , третье — на $(6y− 2z)$ и сложив, получаем уравнение-следствие:

2 2 2 2x−-3y- 3z− 6x 6y-− 2z (2x− 3y)+ (3z − 6x) +(6y− 2z) + xy + xz + yz = 6(2x − 3y)+ 2(3z− 6x)+ 3(6y− 2z)

(2x − 3y)2+(3z− 6x)2+ (6y− 2z)2 = 0

2x= 3y = z

Подстановка $2x =3y =z$ в систему приводит к ответу: $1 1 x= 2,y = 3,z = 1$ и $1 1 x= −2,y = − 3,z = −1.$

Ответ:

$(1,1,1) ,(− 1,− 1,− 1) 2 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#77810Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ 12x2+ 4xy+ 3y2+ 16x= −6 4x2 − 12xy+ y2 +12x− 10y =− 7

Источники: ОММО - 2020, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что уравнения представляют из себя многочлены степени 2 от двух переменных и не понимаем, что с ними делать. Самое простое и приятное - попытаться выделить полные квадраты. Нам дана система, поэтому можно пробовать комбинировать 2 уравнения, как нам удобно.

Подсказка 2

Подсказка, если не догадались, как скомбинировать уравнения: нужно сложить первое*(3) и второе! И дальше уже магия выделений квадратов, у вас все получится!

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение, умноженное на $3$ , и второе. Получим,

2 2 40x +10y + 60x − 10y = −25

после деления на $10$ и преобразований, получаем: $4(x+ 3)2+(y− 1)2 = 0. 4 2$ Сумма двух квадратов может равняться нулю только в случае, когда каждый из этих квадратов равен нулю. Поэтому, ничего кроме $x= − 3,y = 1 4 2$ не может являться решением нашей системы.

Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят:

{ 12⋅(− 3)2+4 ⋅(− 3)⋅ 1+ 3⋅(1)2+ 16⋅(− 3)= −6 4⋅(− 34)2− 12 ⋅(− 43)⋅2(1) +122⋅(− 3)− 104⋅ 1= −7 4 4 2 4 2

Ответ:

$x =− 3,y = 1 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#102367Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ y2+ xy = 15; x2+ xy = 10.

Источники: ШВБ - 2020, 8 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, в обоих уравнениях слева есть общий множитель. Что можно с этим сделать?

Подсказка 2

Да, можно выразить/поделить одно уравнение на второе и аналогичные действия. Тогда получим соотношение между x и y, а значит, подставив его в одно из уравнений, получим квадратное и решим его, не забудем посчитать и вторую переменную!

Показать ответ и решение

{ y(y+ x) =15 x(x+ y) =10

Разделим первое уравнение системы на второе:

y 3 x = 2

3 y = 2x

Подставим в уравнение:

3 x2+ 2x⋅x= 10

[ x =− 2 x= 2

⌊ { | y = −3 ||| { x= −2 ⌈ y = 3 x = 2

Ответ:

$(−2;−3),(2;3)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#102527Максимум баллов за задание: 7

Восемь чисел $a,a ,a ,a 1 2 3 4$ и $b,b,b,b 1 2 3 4$ удовлетворяют соотношениям

(| a b + ab = 1 |||{ 1 1 2 3 | a1b2+ a2b4 = 0 |||( a3b1+ a4b3 = 0 a3b2+ a4b4 = 1

Известно, что $a2b3 = 7$ . Найдите $a4b4$ .

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

a₄b₄мы сможем выразить через a₂b₃. Но что делать дальше?...через какое произведение хочется выразить a₂b₃?

Подсказка 2

Попробуйте доказать, что a₂b₃ = a₃b₂.

Подсказка 3

Давайте скомбинируем уравнения с помощью коэффициентов, чтобы выразить b₂ и b₃ через a₂ и a₃ ;)

Показать ответ и решение

Докажем, что $ab = a b 23 32$ . Умножим уравнение (a) исходной системы

(| ab + ab = 1 а |||{ 1 1 23 | a1b2+ a2b4 = 0 б |||( a3b1+ a4b3 = 0 в a3b2+ a4b4 = 1 г

на $b2$ и вычтем из него уравнение (б), умноженное на $b1$ . В результате получим

a2⋅Δ = b2.

Здесь $Δ = b2b3− b1b4$ . Аналогично, из (в) и (г) находим, что

a ⋅Δ = b. 3 3

Заметим, что $Δ ⁄=0$ , так как в противном случае из (3) следовало бы, что $b3 = 0$ , а значит и $a2b3 =0$ , что противоречит условию задачи. Остается выразить $a2$ и $a3$ из (2) и (3) и подставить полученные выражения в (1). Справедливость соотношения (1) будет тем самым доказана. Далее из уравнения (г) и равенства (1), следует, что $a4b4 =$ $1 − a3b2 = 1− a2b3 = −6$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Система уравнений в задаче — это покомпонентная запись матричного равенства:

( 1 0 ) ( a1 a2 ) ( b1 b2 ) A ⋅B = 0 1 , где A = a3 a4 и B= b3 b4 .

Хорошо известно, что если произведение двух матриц равно единичной, то такие матрицы коммутируют, а значит система уравнений в задаче останется справедливой, если в ней все $ai$ заменить на $bi$ и наоборот. Из этого наблюдения равенство (1) следует немедленно.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#31173Максимум баллов за задание: 7

Решите в действительных числах систему уравнений

(| x+ y+ 2− 4xy = 0; { y+ z+2 − 4yz = 0; |( z+ x+ 2− 4zx= 0.

Источники: ОММО-2017, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Везде одинаковая структура прям, всё симметрично, в этот момент должно появиться желание вычесть одно из другого. Что именно? Да всё подряд!

Подсказка 2

Да, после попарного вычитания (т. е. из (1) вычли (2), из (2) - (3) и тд) получаем произведения, равные нулю. Может ли, например, 1-4z равняться нулю? Почему?

Показать ответ и решение

Попарно вычтем уравнения друг из друга, получим:

(| x+ y− 4xy− y− z+ 4yz =0 (| (x − z)(1− 4y)= 0 { y+ z− 4yz− z− x+ 4zx =0 ⇐⇒ { (y − x)(1 − 4z)= 0 |( |( z+ x− 4zx− x− y+ 4xy =0 (z − y)(1− 4x)= 0

Пусть любая из переменных равна $1∕4$ — выберем $x$ в силу симметрии, тогда из первого уравнения системы $1∕4+ y+ 2− y = 0$ - неверно, то есть все переменные не равны $1∕4$ , откуда сразу же $x =y =z$ , снова подставим в первое уравнение системы (пользуемся симметрией) и получим $2x2− x− 1= 0=⇒ x= 1±3 =− 1,1 4 2$ , откуда и получим ответ.

Ответ:

$(−1∕2,− 1∕2,−1∕2),(1,1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#31181Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

(| 1 + 1--= − 2-; |{ x1 y+1z- 125 ||( y1 +-x+1z = −31; z +x+y = −4.

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Домножим на знаменатели, учитывая все ограничения, и сложим три уравнения, упростив итоговое.

Подсказка 2

Мы смогли выразить три попарных произведения через x+y+z и какой-то коэффициент. Учитывая ограничения, мы на сумму переменных запросто можем поделить, а значит выразить две каких-то буковки через третью и найти её :)

Показать ответ и решение

Домножив каждое уравнение на произведение знаменателей, получим систему

( −7,5(x+ y+ z)= xy+ xz |{ |( −1,5(x+ y+ z)= xy+ yz −4(x +y+ z)= xz+yz

Сложив почленно все три уравнения и разделив полученное равенство пополам, получаем равенство

xy+ xz+ yz =− 6,5(x+ y+z)

Вычитая из него каждое из уравнений последней системы, находим, что

(|{ − 2,5(x+ y+z)= xy (x+ y+ z)=yz |( − 5(x+ y+ z)=xz

Разделив первое уравнение на второе (это возможно, так как из ОДЗ исходной системы следует, что $xyz ⁄=0$ ), получаем, что $x =− 2,5z$ , а разделив первое на третье - что $y = 0,5z$ . Тогда второе уравнение принимает вид $− z = 0,5z2$ , откуда $z =−2,x= 5,y = −1$ .