Арифметическая прогрессия
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же
цифру. (Например, числа 
и 
— однобокие, а число 
— нет). Существует ли возрастающая
арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых —
однобокое?
Источники:
Подсказка 1
Предположим, у нас есть арифметическая прогрессия с разностью d и первым членом a. Рассмотрим модуль m такой, что НОД(d, m) = 1. Что можно сказать о наборе остатков от деления любых m последовательных членов прогрессии на m?
Подсказка 2
Пусть p и q — два разных простых числа, оканчивающихся на разные ненулевые цифры. Ясно, что число, делящееся на p·q, не может быть однобоким. Если p·q ≤ 150, что тогда можно сказать о делимости разности d на p или q?
Подсказка 3
Для каждой такой пары (p, q) с p·q ≤ 150 разность d обязана делиться хотя бы на одно из чисел p или q. Какие пары маленьких простых чисел с произведением ≤ 150 можно найти?
Подсказка 4
Рассмотрим простые числа: 2, 5, 7, 11, 13. Любые два из них образуют пару с разными окончаниями и p·q ≤ 150. Значит, d должно делиться на все эти числа, кроме, возможно, одного. Чему равно минимальное произведение четырёх наибольших из них?
Теперь добавим пару (3, 19): 3·19 = 57 ≤ 150, окончания 3 и 9 разные. Как это влияет на оценку d? Сравните результат с 2025.
Пусть у нас есть возрастающая прогрессия с разностью 
из 
однобоких чисел. Разберёмся, что мешает числу 
быть слишком
маленьким.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Утверждение. Пусть 
взаимно просто с натуральным 
Тогда среди любых 
последовательных членов арифметической
прогрессии с разностью 
есть член, делящийся на 
Более того, числа
дают все 
различных остатков при делении на 
поскольку если остатки у чисел 
и 
для некоторых
совпали, то 
должно делиться на 
а значит, в силу взаимной простоты 
и 
должно
делиться на 
что неверно.)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Далее, пусть 
и 
— два простых числа, оканчивающиеся на разные цифры, причём такие, что 
назовем такую пару
вредной. Тогда если 
не делится ни на одно из чисел 
то, согласно утверждению, в нашей прогрессии есть член, делящийся на
что невозможно для однобокого числа.
Вывод: для каждой вредной пары простых чисел 
делится хотя бы на одно из них.
Теперь рассмотрим простые числа 
Любые два из них образуют вредную пару, значит, 
делится на все эти
числа, кроме, возможно, одного. Кроме того, 
и 
— тоже вредная пара, значит, 
делится хотя бы на одно из них.
Отсюда
противоречие.
не существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
