Пусть у нас есть возрастающая прогрессия с разностью $d$ из $150$ однобоких чисел. Разберёмся, что мешает числу $d$ быть слишком маленьким.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Утверждение. Пусть $d$ взаимно просто с натуральным $m.$ Тогда среди любых $m$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $d$ есть член, делящийся на $m.$ Более того, числа

a,a +d,a+ 2d,...,a+ (m − 1)d

дают все $m$ различных остатков при делении на $m;$ поскольку если остатки у чисел $a+ ℓd$ и $a+ kd$ для некоторых $0 ≤k< ℓ< m$ совпали, то $ℓd− kd= (ℓ − k)d$ должно делиться на $m,$ а значит, в силу взаимной простоты $d$ и $m,$ $(ℓ − k)$ должно делиться на $m,$ что неверно.)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее, пусть $p$ и $q$ — два простых числа, оканчивающиеся на разные цифры, причём такие, что $pq ≤ 150;$ назовем такую пару вредной. Тогда если $d$ не делится ни на одно из чисел $p,$ $q,$ то, согласно утверждению, в нашей прогрессии есть член, делящийся на $pq,$ что невозможно для однобокого числа.

Вывод: для каждой вредной пары простых чисел $d$ делится хотя бы на одно из них.

Теперь рассмотрим простые числа $2,5,7,$ $11,13.$ Любые два из них образуют вредную пару, значит, $d$ делится на все эти числа, кроме, возможно, одного. Кроме того, $3$ и $19$ — тоже вредная пара, значит, $d$ делится хотя бы на одно из них. Отсюда

d≥ (2⋅5⋅7⋅11)⋅3= 2310 >2025,

противоречие.

Арифметическая прогрессия