Арифметическая прогрессия

Первое решение.

Пусть первый член прогрессии равен , разность арифметической прогрессии равна . Сумма первых членов равна , то есть , откуда

C другой стороны

Значит, что . Также по условию , поэтому достаточно перебрать натуральные от до (при уже ). Делимость будет выполнена только при . Тогда

В итоге, член прогрессии равен:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть первый член прогрессии равен разность прогрессии равна Сумма первых четырнадцати членов равна то есть так что это целое число. То есть имеет вид где — целое число (само целое только в случае, если окажется, что кратно ).

К тому же из условия следует, что разность одиннадцатого и первого члена это целое число. Тогда точно делится на (так как не делится на ). Мы доказали, что число — целое (по сути это следует только из принадлежности и множеству целых чисел и факта, что числа и взаимнопросты).

Из натуральности числа следует, что откуда:

То есть Также заметим, что если , то значит, возможные значения это только или Если то — ненатуральное, противоречие. Если то откуда