Арифметическая прогрессия

Пусть первый член арифметической прогрессии, а —- ее разность. Тогда ее -й член равен , а -й равен

Из условия получаем, что

Если рассмотреть разность второго и первого уравнения, а также третьего и второго, то получим:

То есть . Отсюда, в частности, следует, что последовательность возрастает.

Пусть - наибольший член арифметической прогрессии, который находится левее интервала , т. е. . А - наименьший элемент арифметической прогрессии, который находится правее интервала (то есть - наименьший член, удовлетворяющий условию ).

Схожим образом определим - наименьший член арифметической прогрессии, который находится внутри интервала , а - наибольший элемент арифметической прогрессии, внутри

Так как на отрезке ровно на члена прогрессии больше, чем на , то количество членов прогрессии между и в точности равно количеству элементов между и . Тогда для некоторого натурального .

При этом , а . (потому что отрезок покрывает интервал , а покрывает ). Но тогда , а также

Из двух условий:

Получаем , то есть . Откуда

При этом мы знаем, что в прогрессии есть члены и . Тогда для некоторого целого . Подставляя найденные выше значения для , мы получим целое значение только в случае .

Далее перейдем к поиску . Из условия на сотый член прогрессии следует, что . А также мы знаем, что .

Будем теперь двигаться на влево от , из нашей прогрессии, пока не попадем в интервал . Тогда получаем, что в этом интервале находится только член прогрессии, равный , тогда .

Непосредственной подстановкой значений можно убедиться, что удовлетворяют условиям задачи.