Тема . Последовательности и прогрессии

Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела последовательности и прогрессии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103841

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна 35,  а сумма первых пяти членов в 49  раз больше суммы их обратных величин.

Показать ответ и решение

Обозначим первый член геометрической прогрессии как a  , а знаменатель как r.

По первому условию задачи

    2
a+ ar =35

a(1+ r2)= 35

Еслм r= 1,  то сумма первых пяти членов равна 5a,  сумма обратных равна 5a.  По второму условию задачи 5a= 49⋅ 5a.  Но тогда a =±7  и не выполнено условие a(1+ r2)= 35.

При r⁄= 1  сумма первых пяти членов вычисляется по формуле:

S5 =a +ar+ ar2+ar3+ ar4 =a(1+ r+r2+ r3+r4)= ar5− 1
                                            r− 1

Сумма этих обратных величин:

1  -1  -1-  -1-  -1-  1(    1  1-  1-  1-)  1  -r5-− 1-
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 = a 1+ r + r2 + r3 + r4 = a ⋅r4(r− 1)

И тогда второе условие задачи записывается так:

  5        (     5   )
ar-−-1= 49⋅ 1 ⋅-r4-− 1-
  r− 1      a  r(r− 1)

a2(r5− 1)=49⋅ r5−-1
              r4

2   49
a = r4-

Подставляем в       2
(a(1+ r )=35):

( 7 )
  r2 (1+ r2)= 35

     2     2
7(1+ r)= 35r

1+ r2 = 5r2

4r2− 1= 0

r= 12 или r= − 12

a(1+ (1)2)= 35
      2

 (    )
a 1+ 1  = 35
     4

a= 35⋅ 4 =28
      5

Таким образом, первый член равен 28, а знаменатель может быть равен ± 1.
 2

Ответ:

первый член равен 28, а знаменатель может быть равен ± 1
  2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!