Тема Последовательности и прогрессии

Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103841

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна $35,$ а сумма первых пяти членов в $49$ раз больше суммы их обратных величин.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель как r. Как можно записать условие задачи при помощи уравнений? Будьте аккуратны, не всегда можно по формуле считать сумму членов прогрессии, поэтому придётся разобрать случаи ;)

Подсказка 2

И сумма обратных величин, и сами величины образуют геометрическую прогрессию! Тогда, решая уравнение, полученные из второго условия, сможем связать r⁴ и a² ;) Давайте попробуем воспользоваться этим в первом условии.

Подсказка 3

a² * r⁴ = 49. Теперь можно выразить a через r и подставить в первое условие. Сможем получить r, после чего задача уничтожится ;)

Показать ответ и решение

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$ , а знаменатель как $r.$

По первому условию задачи

2 a+ ar =35

a(1+ r2)= 35

Еслм $r= 1,$ то сумма первых пяти членов равна $5a,$ сумма обратных равна $5a.$ По второму условию задачи $5a= 49⋅ 5a.$ Но тогда $a =±7$ и не выполнено условие $a(1+ r2)= 35.$

При $r⁄= 1$ сумма первых пяти членов вычисляется по формуле:

S5 =a +ar+ ar2+ar3+ ar4 =a(1+ r+r2+ r3+r4)= ar5− 1 r− 1

Сумма этих обратных величин:

1 -1 -1- -1- -1- 1( 1 1- 1- 1-) 1 -r5-− 1- a + ar + ar2 + ar3 + ar4 = a 1+ r + r2 + r3 + r4 = a ⋅r4(r− 1)

И тогда второе условие задачи записывается так:

5 ( 5 ) ar-−-1= 49⋅ 1 ⋅-r4-− 1- r− 1 a r(r− 1)

a2(r5− 1)=49⋅ r5−-1 r4

2 49 a = r4-

Подставляем в $2 (a(1+ r )=35):$

( 7 ) r2 (1+ r2)= 35

2 2 7(1+ r)= 35r

1+ r2 = 5r2

4r2− 1= 0

r= 12 или r= − 12

a(1+ (1)2)= 35 2

( ) a 1+ 1 = 35 4

a= 35⋅ 4 =28 5

Таким образом, первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1. 2$

Ответ:

первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103842

Найдите отношение суммы первых $2n$ членов арифметической прогрессии к сумме следующих $2n$ её членов, если сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов, а разность $d$ прогрессии не равна нулю.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как a и попробуем записать уравнения из условия. Для этого нам понадобится формула суммы членов арифметической прогрессии. Как выразится a через d (разность прогрессии) и n?

Подсказка 2

2a = d - nd. Как тогда выглядит сумма первых 2n членов и последующих?

Подсказка 3

Сумму первых 2n членов несложно посчитать по формуле, а сумма следующих 2n членов с первыми 2n членами дает сумму первых 4n членов! Теперь можно найти отношение явно :)

Показать ответ и решение

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a.$ Сумма первых $m$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

m Sm = 2-⋅(2a+ (m− 1)d)

По условию сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов:

S3n =S4n− S3n

3n 4n 2⋅-2 (2a+(3n− 1)d)=-2 ⋅(2a+ (4n− 1)d)

6a +9nd− 3d= 4a +8nd− 2d

2a= d− nd

Тогда соответственно

2n S2n =-2 ⋅(2a+ (2n − 1)d) =n(d− nd+(2n− 1)d)= n⋅nd= n2d

Теперь найдем сумму следующих $2n$ членов, то есть членов с номерами от $2n+ 1$ до $4n$ . Сумма этих членов будет равна разности суммы первых $4n$ членов и суммы первых $2n$ членов:

S(2n)′ =S4n− S2n = 2n(2a+ (4n − 1)d)− n(2a+(2n− 1)d)= 2n⋅3nd− n ⋅nd= 5n2d

Так как по условию $d⁄= 0,$ то отношение суммы первых $2n$ членов к сумме следующих $2n$ членов:

2 R= -S2n-= -nd2-= 1 S(2n)′ 5n d 5

Ответ:

$1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125184

Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями сторона нижнего основания равна 2048 и.е., сторона верхней площадки равна 486 и.е. (и.е. инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую — склон для этого слишком крут — а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен $∘ 45.$ Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом $∘ 45$ к поверхности земли.

Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути 5 сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось 5 отрезков). Какой высоты (в и.е.) был храм?

Источники: Ломоносов - 2025, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть сторона нижнего основания пирамиды равна a, сторона верхнего — b, угол спуска равен α, число пройденных граней равно n. Попробуйте ввести и выразить неизвестные. Что мы хотим найти?

Подсказка 2

Нас интересует высота храма. Обозначим ее за H. Через какой угол ее можно выразить?

Подсказка 3

Обозначим угол наклона боковой стороны пирамиды к земле через β. Выразите H через tg(β).

Подсказка 4

H = (a - b) ⋅ tg(β) / 2. Далее будем считать, что первооткрыватель поднимался, а не спускался. Что можно сказать о линиях, по которым двигался первооткрыватель?

Подсказка 5

Из подобия, первооткрыватель будет проходить по каждой грани меньшее расстояние. Будем считать, что переход по следующей грани будет равен некоторому q, умноженному на длину перехода по предыдущей грани. Какие подобные фигуры мы получим на гранях?

Подсказка 6

У нас получатся подобные трапеции с основаниями a и aq, aq и aq², aq² и aq³ и т.д.. У последней трапеции верхнее основание будет равно b, выразите q.

Подсказка 7

Так как b = aqⁿ, то q = (b / a)¹ᐟⁿ. Обозначьте высоту, на которую первооткрыватель поднялся по первой трапеции, за h. Выразите через эту величины H.

Подсказка 8

H = h + qh + ... + qⁿ⁻¹h. Найдите сумму геометрической прогрессии.

Подсказка 9

Она будет равна (h(a-b)) / (a(1-q)). Заметим, что в этом выражении нам известно все, кроме h. Введем обозначения: ребро, с которого начался подъем — AB, путь начат из A, первый отрезок пути соединяет точки A и P на боковом ребре. Из точки P проведем в плоскости ABP прямую, параллельную AB, она пересечет другое боковое ребро в точке P₁. Получим трапецию с основаниями a и aq. Попробуйте сделать некоторые построения и выразить h.

Подсказка 10

Ортогонально спроецируем точку P на основание пирамиды, получим точку R, тогда PR = h. Попробуйте выразить h через некоторый треугольник.

Подсказка 11

От точки R в плоскости основания проведите перпендикуляр к AB, пусть у нас получится точка L на AB.

Подсказка 12

Заметим, что ∠RBA = 45°, так как R падает на диагональ квадрата, являющегося основанием пирамиды. Что из этого следует?

Подсказка 13

Тогда LB = LR. Выразите h через LR.

Подсказка 14

LR = h / tg(β). Что еще можно заметить в треугольнике ALR?

Подсказка 15

AR = h / tg(α), AL = a - h / tg(β). А еще этот треугольник - прямоугольный. Запишите для него теорему Пифагора.

Подсказка 16

Можно решить квадратное уравнение относительно 1/h.

Подсказка 17

1/h = (1 / (a⋅tg(β))) ⋅ (1 + 1/tg(α) ⋅ √(tg²(β) - tg²(α))). Можем ли мы воспользоваться одним из свойств трапеции?

Подсказка 18

LB = 1/2 ⋅ (AB - PP₁). Подставьте известные нам величины.

Подсказка 19

В итоге получим, что 1/h = 2 / (a ⋅ (1 - q) ⋅ tg(β)). Но мы ведь и до этого получали 1/h.

Подсказка 20

Тогда 1/h = (1 / (a⋅tg(β))) ⋅ (1 + 1/tg(α) ⋅ √(tg²(β) - tg²(α))) = 2 / (a ⋅ (1 - q) ⋅ tg(β)) = 1/h.

Подсказка 21

Так как H = h(a-b) / (a(1-q)), h = a⋅(1-q)⋅tg(β)/2, и мы нашли tg(β), можем выразить H и подставить значения из условия задачи.

Показать ответ и решение

Пусть сторона нижнего основания пирамиды равна $a,$ сторона верхнего равна $b,$ угол спуска равен $α,$ а число пройденных граней равно $n.$

$PIC$

Будем считать, что первооткрыватель поднимался. Обозначим (пока неизвестные нам) величины — высоту постройки через $H,$ угол наклона боковой стороны пирамиды к земле через $β.$ Тогда

2H tg(β)= a− b

H = a− b-tg(β) 2

Посмотрим на пирамиду в проекции сверху.

$PIC$

Заметим, что рисунки на гранях подобны друг другу — поднимаясь, первооткрыватель будет проходить по каждой грани все меньшее расстояние, при том переход по следующей грани будет равен некоторому $q,$ умноженному на длину перехода по предыдущей грани.

У нас есть трапеции с основаниями $a$ и $qa,$ $qa$ и $q2a,$ $q2a$ и $q3a,$ и так далее. У последней трапеции верхнее основание будет равно $b,$ следовательно,

n∘-b b= qna;q = a

Обозначим высоту, на которую первооткрыватель поднялся по первой трапеции, за $h.$ Тогда из подобия следует, что за второй переход он добавит к высоте $qh,$ за третий — $q2h,$ и так далее. Тогда

1− qn 1 − b h(a− b) H = h+qh +q2h+ ...+ qn−1h= h-1−-q =h-1−a q-= a(1− q)

Нам известны все величины, кроме $h.$

Обозначим на пирамиде некоторые точки. Ребро основания, с которого начат подъем — это $AB,$ путь начат из $A.$ Первый отрезок пути соединяет точки $A$ и $P$ на боковом ребре.

Из точки $P$ проведем в плоскости $ABP$ прямую, параллельно $AB,$ она пересечет другое боковое ребро в точке $P1.$ Получится трапеция $ABPP1$ с основаниями $AB = a,$ $PP1 = qa.$ Точку $P$ ортогонально спроецируем на основание пирамиды — получим точку $R,$ $PR =h.$ От точки $R$ в плоскости основания пирамиды проведем перпендикуляр к $AB,$ он пересечет $AB$ в точке $L.$

Тогда угол $RBA$ равен $45∘,$ так как R падает на диагональ квадрата, являющегося основанием пирамиды. $RL= LB,$ а

LR = -h-- tg(β)

Кроме того,

h h AR = tg(α);AL= a− tg(β)

Треугольник $ALR$ прямоугольный, поэтому

( h )2 ( h )2 ( h )2 tg(α) = tg(β) + a− tg(β)

Решим квадратное уравнение относительно $1h.$

( )2 ( ) a2 1 − -2a--⋅ 1+ 2tg22(α-)− tg22(β) =0 h tg(β) h tg (β)⋅tg(α)

Положительным решением будет

1 --1--( --1-∘ -2------2--) h = atg(β) 1+ tg(α) tg (β)− tg (α)

По свойствам трапеции

1 LB =2 (AB − PP1),

то есть

a(1− q)=2hctg(β)

h= a(1− q)tg(β) 2

1= -----2---- h a(1− q)tg(β)

Тогда

2 1 ( 1 ∘--2-----2--) a(1−-q)tg(β) = atg(β) 1+ tg(α) tg(β)− tg (α)

∘------------ -2--= 1+ -1-- tg2(β)− tg2(α) 1− q tg(α)

∘ 2(1+-q2) tg(β) =tg(α) (1−-q)2-

Вспомним, что

H = h(a−-b) a(1− q)

Так как

a(1 − q) h= --2---tg(β),

можем подставить $tg(β).$ Получим

√- ∘ ------- H = -2(a− b) 1-+q2-tg(α), 2 (1 − q)2

где

∘-b q = n a

По условию, $a =2048,$ $b= 486,$ $n= 5,$ $α =45∘.$ В итоге $H = 3905√2.$

Ответ:

$3905√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85353

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $40- 27$ , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т.д.) равна $20- 27$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть у нас в прогрессии $k$ членов, а знаменатель равен $q.$ Заметим, что $q ⁄= 1,$ т.к. иначе прогрессия состояла из единиц, а сумма единиц не может быть нецелым числом. Тогда из первого условия получаем

2 k−1 40 1+ q+ q +...+ q = 27

k 1−-q-= 40 1− q 27

А из второго

1− q+q2− q3+...+(−1)k− 1⋅qk−1 = 20 27

1−-(−-q)k 20 1+q =27

Получаем систему

( |||{ 1-− qk = 40- 1− q 27 |||( 1-− (−q)k= 20 1+ q 27

Разберём два случая:

1. Пусть $k$ нечётно, тогда обозначим $k q =t$ и решим получившуюся систему

( 1−-t 40 ||{ 1− q = 27 || 1+-t 20 ( 1+ q = 27

( { 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1+ t)= 20(1+ q)

Сложим два равенства, получим

54 =60− 20q

q =-3 10

Тогда $t =− 1-, 27$ но $t= qk$ при этом $q > 0,$ получаем противоречие, значит, такого случая быть не может

2. Пусть $k$ чётно, тогда обозначим $qk = t$ и решим получившуюся систему

(|| 1−-t= 40 { 1− q 27 ||( 1−-t= 20 1+ q 27

({ 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1− t)= 20(1+ q)

Вычтем из второго равенства первое, получим

0 =− 20 +60q

q = 1 3

Тогда $( ) t =-1 = 1 4. 81 3$ При обратной замене $t=qk$ становиться понятно, что $k =4.$ Данное значение $q$ нам подходит.

Ответ:

$1 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#87807

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,3(24)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте как-то попробуем избавиться от периодичности. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем получить два числа, которые легко получаются из исходного и при этом их разность не будет периодичной.

Подсказка 3

Домножим наше число на 1000 и на 10. Что получим?

Подсказка 4

Будут два числа с одинаковым периодом! То есть их разность легко считается.

Подсказка 5

Мы пришли к уравнению 990x = 321, где x — исходное число.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

24∕1000 0,3(24)= 0,3+ 24∕1000+ 24∕100000+ ...= 0,3+ 1−-1∕100 =

=0,3+ 24-= 3-+ 8--= 99+8-= 107- 990 10 330 330 330

Второе решение.

Обозначим число $0,3(24)$ за $x.$ Тогда домножая число на $10$ и на $1000,$ получим:

1000x= 324,(24) -10x=-3,(24)----- 990x= 321

Из последнего равенства находим представление в виде обыкновенной дроби:

x= 321= 107 990 330

Ответ:

$107 330$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#87811

Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна $3$ , а сумма квадратов её членов равна $4,5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены и сумма бесконечной геометрической прогрессии выражаются через две величины. Вспомним, какие это две величины и попробуем выразить через них то, что нам дано в задаче.

Подсказка 2

Итак, первое условие дает нам одно уравнение на b₁ (первый член) и q (знаменатель), а второе уравнение — второе условие на них же, ведь знаменатель и первый член для прогрессии из квадратов выражаются через b₁ и q. Останется решить систему из двух уравнений и получить b₁ и q!

Подсказка 3

Для решения системы можно исключить из одного из уравнения b1, найти q, а дальше подстановкой найти b1, уже зная q.

Показать доказательство

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b , 1$ а знаменатель — $q.$ По условию сумма прогрессии равна $3,$ тогда по формуле суммы:

b1 1−-q = 3

Если рассмотреть квадраты элементов этой прогрессии, то они будут образовывать геометрическую прогрессию с первым членом $b21$ и знаменателем $q2.$ По условию сумма новой прогрессии равна $4.5.$ Тогда:

2 --b1-2 = 4.5 1− q

Решим систему:

({ -b1 =3, ( 1−qb21--- (1−q)(1+q) = 4.5

Подставим первое уравнение во второе:

{ b1-= 3, 1−qb1- 3 ⋅1+q = 4.5

Далее поделим первое уравнение на второе ( $b ⁄= 0) 1$

{ 1+q-= 2, 1−bq1-= 1.5 1+q

В итоге, из первого равенства получим $q = 1, 3$ а из второго $b1 = 1.5(1 +q)= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90372

Найдите сумму

[1] [2] [ 22] [23] [21000] 3 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что [x] = x - {x}, чтобы разложить каждое слагаемое в сумме и суммировать все, что не является дробной частью с помощью суммы геометрической прогрессии, обозначим эту сумму за S

Подсказка 2

У нас получилось S - {1/3} - {2/3} - {2^2/3} - ... - {2^1000/3}, что можно сказать про каждое из дробных частей?

Подсказка 3

Верно, что они равны либо 1/3, либо 2/3, в зависимости от четности степени двойки. Далее посчитать все аккуратно и вычесть не составляет труда.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следующим фактом:

[x]= x− {x}

Преобразуем исходное выражение:

[1] [2] [22] [21000] 1 { 1} 2 { 2} 21000 {21000} 3 + 3 + 3 +...+ 3 = 3 − 3 + 3 − 3 + ...+ 3 − 3 =

(1 2 22 21000) ( {1} { 2} {22} {21000}) 3 + 3 +-3 +...+-3- − 3 + 3 + -3 +... --3-

Первую скобку можно посчитать как сумму геометрической прогрессии.

1+ 2+ 22+ ...+ 21000= 13-⋅(21001−-1)= 21001−-1 3 3 3 3 2 − 1 3

Во второй скобке мы имеем дело с дробной частью, соответственно, каждое из слагаемых будет равно или $1 3,$ или $2 3$ в зависимости от четности степени двойки. Тогда получаем:

{ 1} {2} {22} { 21000} 1 2 1 2 1 1 1501 3 + 3 + 3 + ... 3 = 3 +3 + 3 + 3 + ...+ 3 = 500+ 3 = 3

Итого:

1001 1001 2---− 1-− 1501= 2--−-1502 3 3 3

Ответ:

$21001-− 1502 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64354

Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем меньше последнего, но не более чем на $17,$ а сумма её членов со второго по последний не меньше $26.$ Найдите знаменатель прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка

Условие задачи можно переписать как 0 < bq_(n-1) − b ≤ 17. Запишите условие о том, что сумма не меньше 26, а потом попробуйте применить то, что мы получили в прошлом предложении. Найдите, как это может помочь нам с оценкой!

Показать ответ и решение

Пусть в прогрессии $n$ членов, $q$ — её знаменатель, а $b 1$ — первый член. По условию $0 <b qn− 1− b ≤ 17 1 1$ и

b1q(qn−1-− 1) --q- n−1 -q-- 26≤ q− 1 = q− 1 ⋅b1(q − 1)≤ q− 1 ⋅17

Таким образом,

26-≤ -q-- 17 q− 1

q ∈ (1;26] 9

В силу целочисленности знаменателя подходит только $q = 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89775

Возрастающая геометрическая прогрессия $a ,a,a ,... 1 2 3$ удовлетворяет условиям $a − a =3 3 1$ , $a − a = 60 7 3$ . Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть q — знаменатель прогрессии. Выразите а₃ и а₇ через а₁ и q, а затем запишите через а₁ и q данные в условии уравнения.

Подсказка 2

Второе уравнение можно аккуратно разложить на множители, не возникает ли при этом явного сходства каких-то множителей с первым уравнением? Подставьте эти множители во второе уравнение!

Подсказка 3

Если всё сделано верно, то у вас получится биквадратное уравнение относительно q, решите его! Все ли полученные решения удовлетворяют условию о возрастании прогрессии?

Подсказка 4

Теперь, когда установлены а₁ и q, мы можем записать сумму!

Показать ответ и решение

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

{ a (q2− 1)= 3, a1(q6− q2)= 60 1

Второе уравнение равносильно

aq2(q2− 1)(q2+ 1) =60. 1

Учитывая первое уравнение, получаем $q4+ q2− 20= 0,$ то есть

(q2+ 5)(q2 − 4)= 0,

откуда $q2 = 4.$ Стало быть, $q =2,$ ибо $q = −2$ противоречит возрастанию прогрессии.

Подставляя $q = 2$ в любое из двух уравнений, получаем $a1 = 1.$ Стало быть, $an = 2n−1$ для любого $n ≥1,$ то есть искомая сумма равна

1+2 +22+ 23+...+26 = 27− 1=127.

Ответ:

$127$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31361

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия содержит член $b = 1∕8 n$ . Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед $b n$ , к сумме членов, стоящих после $bn$ , равно 14. Найдите $n$ , если сумма всей прогрессии равна $2$ .

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член, а $q$ — знаменатель, тогда

n−1 1 bn = bq = 8

, сумма до него

1− qn−1 b 1 b+ ⋅⋅⋅+bqn−2 = b-1−-q-= 1−-q − 8(1−-q),

а после него

bqn+ ⋅⋅⋅= b-qn-= ---q--, 1− q 8(1− q)

а также

-b-- 1− q = 2(∗),

тогда

2 −---1-- = -14q--=⇒ 16− 16q− 1= 14q =⇒ q = 1, 8(1− q) 8(1− q) 2

далее $b= 1$ из $(∗)$ , значит, $n= 4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#39758

Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно $8.$ Найдите произведение второго и восьмого её членов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас есть известная прогрессия, то в первую очередь давайте её удобно обозначим. В данном случае через первый член b и знаменатель q прогрессии. Тогда как перепишется условие задачи?

Подсказка 2

Верно, у нас получится произведение b и q в различных степенях. Неизвестных две, а уравнение одно. Хм... Значит, найти каждое неизвестное и потом выразить, не получится. А давайте запишем, что нам требуется найти. В чём схожесть того что надо найти и условия задачи?

Подсказка 3

Точно, видим, что и там, и там возводится в степень bq^4. Тогда нам надо найти только это значение, что делается из первого уравнения.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

2 10 4 b⋅bq ⋅bq = 8 ⇐⇒ bq =2

Нам требуется найти $bq⋅bq7 = b2q8 = 22 = 4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91385

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 93 , а сумма следующих 5 членов равна 2976. Найдите сумму первых 7 членов прогрессии.

Показать ответ и решение

Получаем систему ${ b1(1 +q+ ...+ q4) =93 b1q5(1+ q+ ...+q4)= 2976$

откуда $3(128−-1)- q = 2,b1 =3 ⇒ S7 = 2− 1 =381$ .

Ответ: 381

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91904

Найдите все пары $n,p$ , где $n$ — натуральное, а $p$ — простое, для которых верно

2021 3 1+n +...+n =p .

Показать ответ и решение

По формуле геометрической прогрессии

2021 n2022− 1 (n1011− 1) ( 2011 ) 1+ n+ ...+ n = -n-− 1-= --n−-1- n +1 = =(1+ n+ ...+ n1010)(n+ 1)(n1010− n1009 +...+ 1)= p3.

Заметим, что слева стоит произведение трех скобок, каждая из которых больше 1 при всех $n >1$ . Тогда каждая из скобок должна быть равна $p$ , но первая скобка больше второй - противоречие. Если же $n= 1$ , то $2022= p3$ , но данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких пар нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Источники: Газпром - 2021, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы понять, а какие значения вообще принимают периметры таких квадратов. Давайте переберём первые несколько значений и попробуем найти закономерность.

Подсказка 2

Сторона каждого следующего квадрата в √2 раз меньше стороны предыдущего, следовательно, у периметров такое же отношение. Такая последовательность напоминает какую-то прогрессию. Подумайте, как найти её сумму!

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите все условия (их тут много, следим аккуратно за вычислениями!). Тогда a*(d^(3000) - 1)/(d-1) = S. Запишем теперь сумму членов с номерами, делящимися на 3. Это ведь тоже геометрическая прогрессия! С множителем d^3 и начальным членом ad^2.

Подсказка 2

Действительно, сумма прогрессии с номерами, кратными трем, записывается как: G = ad^2*(d^(3000) - 1)/(d^3-1). Тогда если увеличить все члены в 50 раз, то сумма увеличится в 10! Это значит, что 10S = S + 49G, так как 50G + все остальные члены, это то же самое, что 49G + S!

Подказка 3

Попробуйте теперь подставить формулы для S и G в предыдущее уравнение и найти из этого d!

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#103395

Дана возрастающая положительная геометрическая прогрессия $b. n$ Известно, что $b + b − b − b =9. 4 3 2 1$ Докажите, что $b5+ b6 ≥36.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз уж нам дана геометрическая прогрессия, давайте выразим первые её члены через q (знаменатель прогрессии) и b₁. Как тогда будет выглядеть равенство из условия?

Подсказка 2

В левой части равенства из условия можно вынести b₁, тогда в скобках можно воспользоваться суммой геометрической прогрессии! А что нам нужно доказать? Давайте запишем так же при помощи q и b₁.

Подсказка 3

То, выражение, которое нам нужно оценить, в q⁴ раз больше суммы из условия! Получается, мы можем перейти к неравенству для q ;)

Показать доказательство

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

(3 2 ) b1q + q − q − 1 = 9,

что равносильно соотношению

--9-- b1(q+1)= q2− 1.

Нам же требуется доказать, что

9q4 b6+ b5 = b1q4(q+ 1)= q2− 1-≥36.

По условию задачи $b2 = b1q > b1,$ значит, $q > 1.$ Таким образом, достаточно проверить неравенство

q4 ≥4 (q2− 1),

которое можно записать в виде тривиального неравенства

(q2− 2)2 ≥0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124050

Во время собеседования при приеме на работу в разных IT-компаниях любят задавать разные тестовые нестандартные задачи для проверки творческих способностей кандидата на работу. Одна из таких популярных тестовых задач следующая (см. рисунок):

$PIC$

Точки $A$ и $B$ двигаются на встречу друг-другу (обычно говорят о двух «путниках») со скоростями $a$ и $b$ соответственно, а между ними все время «летает» со скоростью $v (v >a$ и $v >b)$ еще одна точка (обычно говорят о «мухе», которая летает с носа одного путника на нос другого путника без задержек на носу ни одного из путников). Начальное расстояние между точками $A$ и $B$ равно $S.$ Вопрос: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи?

Так вот, в этой задаче вам сначала надо ответить на вопрос, сформулированный в тестовой задаче: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи? Далее, вам надо ответить на следующий вопрос (и доказать ответ!): конечное или бесконечное число полетов между точкам-путниками совершит точка-муха от момента начала движения до момента встречи точек-путников?

И, наконец, вам надо ответить на еще один вопрос. Пусть в начальный момент точка-муха находилась в точке $A.$ Какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B?$ А какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $B$ до $A?$

Источники: Иннополис - 2020, 11.5 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Вопрос 1, подсказка 1

Сначала можно вычислить время, которое будет летать точка-муха, а потом уже найти расстояние.

Вопрос 2, подсказка 1

Предположим, что точка-муха совершила конечное число полетов, тогда мы либо докажем это, либо получим противоречие.

Вопрос 2, подсказка 2

Попробуйте рассмотреть последний полет точки-мухи.

Вопрос 2, подсказка 3

Пусть последний полет был от точки А. Какие будут скорости у точки А и у точки-мухи?

Вопрос 2, подсказка 4

У точки-мухи будет скорость v, у точки А — a. Какая из этих точек прилетит раньше в точку встречи точек-путников?

Вопрос 2, подсказка 5

Сравните скорости a и v, опираясь на условие, и проведите аналогичные рассуждения в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки B.

Вопрос 3, подсказка 1

Давайте попробуем составить формулы расстояний перелетов в общем виде. Для этого можно посчитать расстояния в конкретных ситуациях.

Вопрос 3, подсказка 2

В некоторый момент времени точка-муха находится в точке А, пусть в этот момент расстояние между A и B равно p₀. Через какое время точка-муха окажется в точке B?

Вопрос 3, подсказка 3

t₁ = p₀ / (v + b). Какое расстояние при этом пролетит точка-муха?

Вопрос 3, подсказка 4

w₁ = t₁v = p₀v / (v + b). Чему будет равно расстояние между точками A и B после полета?

Вопрос 3, подсказка 5

p₁ = p₀ - t₁(a + b) = p₀ ⋅ (v - a) / (v + b). Через какое время точка-муха вновь окажется в точке А?

Вопрос 3, подсказка 6

t₂ = p₁ / (v + a) = p₀ ⋅ (v - a) / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние она пролетит от B к A?

Вопрос 3, подсказка 7

w₂ = t₂v = p₀ ⋅ (v - a) ⋅ v / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние между точками A и B после этого?

Вопрос 3, подсказка 8

p₂ = p₁ - t₂(a + b) = p₀ ⋅ (v - a)(v - b) / ((v + a)(v + b)). Посмотрите на полученные результаты и попробуйте записать в общем виде формулы для расстояний между точками A и B до и после k-го перелета.

Вопрос 3, подсказка 9

Теперь вспомним, что мы хотим найти. Запишите формулы для расстояний, которые будет пролетать точка-муха.

Вопрос 3, подсказка 10

Рассмотрим случай, когда точка-муха летит от A к B. Заметьте, что расстояния, которые будет пролетать точка-муха, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Вопрос 3, подсказка 11

Ее суммой и будет суммарное расстоние, которое пролетит точка-муха от A до B. Чтобы найти суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха от B к A, для начала посчитайте общее расстояние, которое пролетит точка-муха.

Показать ответ и решение

Первый вопрос.

Общее время движения точек-путников

S t= a+-b,

поэтому расстояние, которое пролетит точка-муха за это время

l= vt= aS+vb

Второй вопрос.

Давайте предположим, что точка-муха совершит некоторое конечное число полетов между точками-путниками. Тогда либо мы докажем это, либо прийдем к противоречию и получим, что полетов было бесконечное количество.

Рассмотрим последний полет точки-мухи между точками-путниками. Если это был полет от точки $A,$ движущейся направо со скоростью $a,$ то, так как это был последний полет, точка-муха тоже летит направо со скоростью $v$ и прилетает в точку встречи точек-путников не раньше точки $A,$ то есть скорость точки-мухи $v,$ которая не больше скорости $a.$

Получаем противоречие с тем, что $v > a.$ Аналогично получаем противоречие в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки $B.$ Следовательно, предположение о конечном числе полетов неверно.

Третий вопрос.

Пусть в некоторый момент времени точка-муха находится в точке $A$ и в это время расстояние между точками $A$ и $B$ равно $p0 >0.$ Тогда точка-муха окажется в точке $B$ спустя время

-p0- t1 = v+ b,

при этом точка-муха пролетит расстояние

w1 =t1v = p0v v+ b

в направлении от $A$ к $B,$ а расстояние между точками $A$ и $B$ после полета будет равно

p1 = p0− t1(a+b)= p0− p0(a+-b)= p0(v−-a)= p0⋅ v−-a v+ b v +b v+ b

Точка-муха вновь окажется в точке $A$ спустя время

-p1- -p0(v-− a)- t2 = v+ a = (v+ a)(v+ b)

Она пролетит в направлении от $B$ к $A$

w2 =t2v =-p0(v−-a)v- (v +a)(v +b)

После этого расстояние между точками $A$ и $B$ будет равно

p0(v−-a) p0(v−-a)(a+-b)- p0(v−-a)(v−-b)- (v−-a)(v−-b) p2 =p1− t2(a+ b)= v+ b − (v+ a)(v+ b) = (v+ a)(v+ b) =p0⋅(v+ a)(v+ b)

Следовательно, для любого $k≥ 1$ мы имеем: расстояние между точками $A$ и $B$ после $k- ого$ перелета

от $A$ до $B$ равно
$( ) S ⋅ v− a-⋅ (v−-a)(v− b) k−1 v+b (v+ a)(v+b)$
от $B$ до $A$ равно
$( ) S⋅ (v−-a)(v−-b) k (v+ a)(v+ b)$

Теперь заметим, что для любого $k ≥ 1$ расстояние между точками перед $k-ым$ перелетом

от $A$ до $B$ равно
$((v− a)(v− b))k−1 S⋅ (v+-a)(v+-b)$
от $B$ до $A$ равно
$v− a ((v−-a)(v− b))k−1 S ⋅v− b ⋅ (v+ a)(v+b)$

Тогда для любого $k≥ 1$ расстояние, которое пролетит точка-муха в $k-ый$ раз,

от $A$ до $B$ равно
$( )k− 1 W2k−1 = S⋅-v-⋅ (v−-a)(v−-b) v+ b (v+ a)(v+ b)$
от $B$ до $A$ равно
$( )k−1 W2k = S ⋅-v-⋅ v−-a⋅ (v−-a)(v−-b) v+b v+ a (v+ a)(v+ b)$