Геометрическая прогрессия

Подсказка 1

Пусть сторона нижнего основания пирамиды равна a, сторона верхнего — b, угол спуска равен α, число пройденных граней равно n. Попробуйте ввести и выразить неизвестные. Что мы хотим найти?

Подсказка 2

Нас интересует высота храма. Обозначим ее за H. Через какой угол ее можно выразить?

Подсказка 3

Обозначим угол наклона боковой стороны пирамиды к земле через β. Выразите H через tg(β).

Подсказка 4

H = (a - b) ⋅ tg(β) / 2. Далее будем считать, что первооткрыватель поднимался, а не спускался. Что можно сказать о линиях, по которым двигался первооткрыватель?

Подсказка 5

Из подобия, первооткрыватель будет проходить по каждой грани меньшее расстояние. Будем считать, что переход по следующей грани будет равен некоторому q, умноженному на длину перехода по предыдущей грани. Какие подобные фигуры мы получим на гранях?

Подсказка 6

У нас получатся подобные трапеции с основаниями a и aq, aq и aq², aq² и aq³ и т.д.. У последней трапеции верхнее основание будет равно b, выразите q.

Подсказка 7

Так как b = aqⁿ, то q = (b / a)¹ᐟⁿ. Обозначьте высоту, на которую первооткрыватель поднялся по первой трапеции, за h. Выразите через эту величины H.

Подсказка 8

H = h + qh + ... + qⁿ⁻¹h. Найдите сумму геометрической прогрессии.

Подсказка 9

Она будет равна (h(a-b)) / (a(1-q)). Заметим, что в этом выражении нам известно все, кроме h. Введем обозначения: ребро, с которого начался подъем — AB, путь начат из A, первый отрезок пути соединяет точки A и P на боковом ребре. Из точки P проведем в плоскости ABP прямую, параллельную AB, она пересечет другое боковое ребро в точке P₁. Получим трапецию с основаниями a и aq. Попробуйте сделать некоторые построения и выразить h.

Подсказка 10

Ортогонально спроецируем точку P на основание пирамиды, получим точку R, тогда PR = h. Попробуйте выразить h через некоторый треугольник.

Подсказка 11

От точки R в плоскости основания проведите перпендикуляр к AB, пусть у нас получится точка L на AB.

Подсказка 12

Заметим, что ∠RBA = 45°, так как R падает на диагональ квадрата, являющегося основанием пирамиды. Что из этого следует?

Подсказка 13

Тогда LB = LR. Выразите h через LR.

Подсказка 14

LR = h / tg(β). Что еще можно заметить в треугольнике ALR?

Подсказка 15

AR = h / tg(α), AL = a - h / tg(β). А еще этот треугольник - прямоугольный. Запишите для него теорему Пифагора.

Подсказка 16

Можно решить квадратное уравнение относительно 1/h.

Подсказка 17

1/h = (1 / (a⋅tg(β))) ⋅ (1 + 1/tg(α) ⋅ √(tg²(β) - tg²(α))). Можем ли мы воспользоваться одним из свойств трапеции?

Подсказка 18

LB = 1/2 ⋅ (AB - PP₁). Подставьте известные нам величины.

Подсказка 19

В итоге получим, что 1/h = 2 / (a ⋅ (1 - q) ⋅ tg(β)). Но мы ведь и до этого получали 1/h.

Подсказка 20

Тогда 1/h = (1 / (a⋅tg(β))) ⋅ (1 + 1/tg(α) ⋅ √(tg²(β) - tg²(α))) = 2 / (a ⋅ (1 - q) ⋅ tg(β)) = 1/h.

Подсказка 21

Так как H = h(a-b) / (a(1-q)), h = a⋅(1-q)⋅tg(β)/2, и мы нашли tg(β), можем выразить H и подставить значения из условия задачи.