Геометрическая прогрессия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на 
больше, чем сумма всех членов
с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных
местах равна 
. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Источники:
Подсказка 1
В условии присутствуют утверждения о сумме нечетных и четных членов геометрической прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения и записать уравнения по условию. Подумаем, что же образуют нечетные и четные члены нашей прогрессии?
Подсказка 2
Пусть первый член прогрессии это b, второй равен bq, |q|<1. Тогда все нечетные члены прогрессии образуют новую прогрессию с первым членом b и знаменателем q², аналогично четные члены образуют прогрессию с первым членом bq и знаменателем q². Значит, мы можем просто посчитать их сумму и записать уравнение) А как быть с суммой квадратов членов прогрессии?
Подсказка 3
Они тоже образуют две прогрессии! Одна из них с первым членом b², другая - с первым членом b²q² и обе со знаменателем q⁴. Осталось лишь записать уравнения на разности получившихся сумм и решить их. Это можно сделать, например, если выразить b² через q двумя способами, приравнять их и найти q! Остаётся найти b :)
Пусть 
. Сумма всех нечётных членов равна 
, а сумма чётных 
, поскольку
каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем 
и также является бесконечно убывающей геометрической
прогрессией.
Аналогично, для квадратов знаменателем будет 
, а первыми членами 
и 
, то есть суммы равны 
и 
. Запишем
равенства из условия
Получим
Поскольку 
, то 
. Отсюда 
— единственное решение.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
