Тема Последовательности и прогрессии

Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.

Подсказка 2

По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.

Подсказка 3

Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?

Подсказка 4

По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам даны какие это конкретно члены прогрессии, то давайте просто запишем чему они равны через знаменатель прогрессии и первый член. При этом, хотелось бы в таком случае получить равенство на х, ведь тогда мы получим уравнение на 1 переменную, а не на 3. Какое равенство можно написать, используя 4, 10 и 12 член геометрической прогрессии?

Подсказка 2

К примеру, можно написать вот такое равенство: (bq^9)^4 = (bq^11)^3*(bq^3). Значит, получили уравнение на х, так как и 4, и 10, и 12 член выражены только через х. Осталось преобразовать уравнение к виду (15x + 6)^2 = (x + 4)^4 , разложить на сумму квадратов и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85353

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $40- 27$ , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т.д.) равна $20- 27$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть у нас в прогрессии $k$ членов, а знаменатель равен $q.$ Заметим, что $q ⁄= 1,$ т.к. иначе прогрессия состояла из единиц, а сумма единиц не может быть нецелым числом. Тогда из первого условия получаем

2 k−1 40 1+ q+ q +...+ q = 27

k 1−-q-= 40 1− q 27

А из второго

1− q+q2− q3+...+(−1)k− 1⋅qk−1 = 20 27

1−-(−-q)k 20 1+q =27

Получаем систему

( |||{ 1-− qk = 40- 1− q 27 |||( 1-− (−q)k= 20 1+ q 27

Разберём два случая:

1. Пусть $k$ нечётно, тогда обозначим $k q =t$ и решим получившуюся систему

( 1−-t 40 ||{ 1− q = 27 || 1+-t 20 ( 1+ q = 27

( { 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1+ t)= 20(1+ q)

Сложим два равенства, получим

54 =60− 20q

q =-3 10

Тогда $t =− 1-, 27$ но $t= qk$ при этом $q > 0,$ получаем противоречие, значит, такого случая быть не может

2. Пусть $k$ чётно, тогда обозначим $qk = t$ и решим получившуюся систему

(|| 1−-t= 40 { 1− q 27 ||( 1−-t= 20 1+ q 27

({ 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1− t)= 20(1+ q)

Вычтем из второго равенства первое, получим

0 =− 20 +60q

q = 1 3

Тогда $( ) t =-1 = 1 4. 81 3$ При обратной замене $t=qk$ становиться понятно, что $k =4.$ Данное значение $q$ нам подходит.

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#87807

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,3(24)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте как-то попробуем избавиться от периодичности. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем получить два числа, которые легко получаются из исходного и при этом их разность не будет периодичной.

Подсказка 3

Домножим наше число на 1000 и на 10. Что получим?

Подсказка 4

Будут два числа с одинаковым периодом! То есть их разность легко считается.

Подсказка 5

Мы пришли к уравнению 990x = 321, где x — исходное число.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

24∕1000 0,3(24)= 0,3+ 24∕1000+ 24∕100000+ ...= 0,3+ 1−-1∕100 =

=0,3+ 24-= 3-+ 8--= 99+8-= 107- 990 10 330 330 330

Второе решение.

Обозначим число $0,3(24)$ за $x.$ Тогда домножая число на $10$ и на $1000,$ получим:

1000x= 324,(24) -10x=-3,(24)----- 990x= 321

Из последнего равенства находим представление в виде обыкновенной дроби:

x= 321= 107 990 330

Ответ:

$107 330$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#87811

Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна $3$ , а сумма квадратов её членов равна $4,5$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены и сумма бесконечной геометрической прогрессии выражаются через две величины. Вспомним, какие это две величины и попробуем выразить через них то, что нам дано в задаче.

Подсказка 2

Итак, первое условие дает нам одно уравнение на b₁ (первый член) и q (знаменатель), а второе уравнение — второе условие на них же, ведь знаменатель и первый член для прогрессии из квадратов выражаются через b₁ и q. Останется решить систему из двух уравнений и получить b₁ и q!

Подсказка 3

Для решения системы можно исключить из одного из уравнения b1, найти q, а дальше подстановкой найти b1, уже зная q.

Показать доказательство

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b , 1$ а знаменатель — $q.$ По условию сумма прогрессии равна $3,$ тогда по формуле суммы:

b1 1−-q = 3

Если рассмотреть квадраты элементов этой прогрессии, то они будут образовывать геометрическую прогрессию с первым членом $b21$ и знаменателем $q2.$ По условию сумма новой прогрессии равна $4.5.$ Тогда:

2 --b1-2 = 4.5 1− q

Решим систему:

({ -b1 =3, ( 1−qb21--- (1−q)(1+q) = 4.5

Подставим первое уравнение во второе:

{ b1-= 3, 1−qb1- 3 ⋅1+q = 4.5

Далее поделим первое уравнение на второе ( $b ⁄= 0) 1$

{ 1+q-= 2, 1−bq1-= 1.5 1+q

В итоге, из первого равенства получим $q = 1, 3$ а из второго $b1 = 1.5(1 +q)= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90372

Найдите сумму

[1] [2] [ 22] [23] [21000] 3 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что [x] = x - {x}, чтобы разложить каждое слагаемое в сумме и суммировать все, что не является дробной частью с помощью суммы геометрической прогрессии, обозначим эту сумму за S

Подсказка 2

У нас получилось S - {1/3} - {2/3} - {2^2/3} - ... - {2^1000/3}, что можно сказать про каждое из дробных частей?

Подсказка 3

Верно, что они равны либо 1/3, либо 2/3, в зависимости от четности степени двойки. Далее посчитать все аккуратно и вычесть не составляет труда.

Показать ответ и решение

Воспользуемся следующим фактом:

[x]= x− {x}

Преобразуем исходное выражение:

[1] [2] [22] [21000] 1 { 1} 2 { 2} 21000 {21000} 3 + 3 + 3 +...+ 3 = 3 − 3 + 3 − 3 + ...+ 3 − 3 =

(1 2 22 21000) ( {1} { 2} {22} {21000}) 3 + 3 +-3 +...+-3- − 3 + 3 + -3 +... --3-

Первую скобку можно посчитать как сумму геометрической прогрессии.

1+ 2+ 22+ ...+ 21000= 13-⋅(21001−-1)= 21001−-1 3 3 3 3 2 − 1 3

Во второй скобке мы имеем дело с дробной частью, соответственно, каждое из слагаемых будет равно или $1 3,$ или $2 3$ в зависимости от четности степени двойки. Тогда получаем:

{ 1} {2} {22} { 21000} 1 2 1 2 1 1 1501 3 + 3 + 3 + ... 3 = 3 +3 + 3 + 3 + ...+ 3 = 500+ 3 = 3

Итого:

1001 1001 2---− 1-− 1501= 2--−-1502 3 3 3

Ответ:

$21001-− 1502 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#64354

Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем меньше последнего, но не более чем на $17,$ а сумма её членов со второго по последний не меньше $26.$ Найдите знаменатель прогрессии.

Подсказки к задаче

Подсказка

Условие задачи можно переписать как 0 < bq_(n-1) − b ≤ 17. Запишите условие о том, что сумма не меньше 26, а потом попробуйте применить то, что мы получили в прошлом предложении. Найдите, как это может помочь нам с оценкой!

Показать ответ и решение

Пусть в прогрессии $n$ членов, $q$ — её знаменатель, а $b 1$ — первый член. По условию $0 <b qn− 1− b ≤ 17 1 1$ и

b1q(qn−1-− 1) --q- n−1 -q-- 26≤ q− 1 = q− 1 ⋅b1(q − 1)≤ q− 1 ⋅17

Таким образом,

26-≤ -q-- 17 q− 1

q ∈ (1;26] 9

В силу целочисленности знаменателя подходит только $q = 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89775

Возрастающая геометрическая прогрессия $a ,a,a ,... 1 2 3$ удовлетворяет условиям $a − a =3 3 1$ , $a − a = 60 7 3$ . Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть q — знаменатель прогрессии. Выразите а₃ и а₇ через а₁ и q, а затем запишите через а₁ и q данные в условии уравнения.

Подсказка 2

Второе уравнение можно аккуратно разложить на множители, не возникает ли при этом явного сходства каких-то множителей с первым уравнением? Подставьте эти множители во второе уравнение!

Подсказка 3

Если всё сделано верно, то у вас получится биквадратное уравнение относительно q, решите его! Все ли полученные решения удовлетворяют условию о возрастании прогрессии?

Подсказка 4

Теперь, когда установлены а₁ и q, мы можем записать сумму!

Показать ответ и решение

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

{ a (q2− 1)= 3, a1(q6− q2)= 60 1

Второе уравнение равносильно

aq2(q2− 1)(q2+ 1) =60. 1

Учитывая первое уравнение, получаем $q4+ q2− 20= 0,$ то есть

(q2+ 5)(q2 − 4)= 0,

откуда $q2 = 4.$ Стало быть, $q =2,$ ибо $q = −2$ противоречит возрастанию прогрессии.

Подставляя $q = 2$ в любое из двух уравнений, получаем $a1 = 1.$ Стало быть, $an = 2n−1$ для любого $n ≥1,$ то есть искомая сумма равна

1+2 +22+ 23+...+26 = 27− 1=127.

Ответ:

$127$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31361

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия содержит член $b = 1∕8 n$ . Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед $b n$ , к сумме членов, стоящих после $bn$ , равно 14. Найдите $n$ , если сумма всей прогрессии равна $2$ .

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член, а $q$ — знаменатель, тогда

n−1 1 bn = bq = 8

, сумма до него

1− qn−1 b 1 b+ ⋅⋅⋅+bqn−2 = b-1−-q-= 1−-q − 8(1−-q),

а после него

bqn+ ⋅⋅⋅= b-qn-= ---q--, 1− q 8(1− q)

а также

-b-- 1− q = 2(∗),

тогда

2 −---1-- = -14q--=⇒ 16− 16q− 1= 14q =⇒ q = 1, 8(1− q) 8(1− q) 2

далее $b= 1$ из $(∗)$ , значит, $n= 4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#39758

Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно $8.$ Найдите произведение второго и восьмого её членов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас есть известная прогрессия, то в первую очередь давайте её удобно обозначим. В данном случае через первый член b и знаменатель q прогрессии. Тогда как перепишется условие задачи?

Подсказка 2

Верно, у нас получится произведение b и q в различных степенях. Неизвестных две, а уравнение одно. Хм... Значит, найти каждое неизвестное и потом выразить, не получится. А давайте запишем, что нам требуется найти. В чём схожесть того что надо найти и условия задачи?

Подсказка 3

Точно, видим, что и там, и там возводится в степень bq^4. Тогда нам надо найти только это значение, что делается из первого уравнения.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

2 10 4 b⋅bq ⋅bq = 8 ⇐⇒ bq =2

Нам требуется найти $bq⋅bq7 = b2q8 = 22 = 4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#91385

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 93 , а сумма следующих 5 членов равна 2976. Найдите сумму первых 7 членов прогрессии.

Показать ответ и решение

Получаем систему ${ b1(1 +q+ ...+ q4) =93 b1q5(1+ q+ ...+q4)= 2976$

откуда $3(128−-1)- q = 2,b1 =3 ⇒ S7 = 2− 1 =381$ .

Ответ: 381

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#91904

Найдите все пары $n,p$ , где $n$ — натуральное, а $p$ — простое, для которых верно

2021 3 1+n +...+n =p .

Показать ответ и решение

По формуле геометрической прогрессии

2021 n2022− 1 (n1011− 1) ( 2011 ) 1+ n+ ...+ n = -n-− 1-= --n−-1- n +1 = =(1+ n+ ...+ n1010)(n+ 1)(n1010− n1009 +...+ 1)= p3.

Заметим, что слева стоит произведение трех скобок, каждая из которых больше 1 при всех $n >1$ . Тогда каждая из скобок должна быть равна $p$ , но первая скобка больше второй - противоречие. Если же $n= 1$ , то $2022= p3$ , но данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких пар нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Источники: Газпром - 2021, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы понять, а какие значения вообще принимают периметры таких квадратов. Давайте переберём первые несколько значений и попробуем найти закономерность.

Подсказка 2

Сторона каждого следующего квадрата в √2 раз меньше стороны предыдущего, следовательно, у периметров такое же отношение. Такая последовательность напоминает какую-то прогрессию. Подумайте, как найти её сумму!

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите все условия (их тут много, следим аккуратно за вычислениями!). Тогда a*(d^(3000) - 1)/(d-1) = S. Запишем теперь сумму членов с номерами, делящимися на 3. Это ведь тоже геометрическая прогрессия! С множителем d^3 и начальным членом ad^2.

Подсказка 2

Действительно, сумма прогрессии с номерами, кратными трем, записывается как: G = ad^2*(d^(3000) - 1)/(d^3-1). Тогда если увеличить все члены в 50 раз, то сумма увеличится в 10! Это значит, что 10S = S + 49G, так как 50G + все остальные члены, это то же самое, что 49G + S!

Подказка 3

Попробуйте теперь подставить формулы для S и G в предыдущее уравнение и найти из этого d!

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#39761

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в $344$ раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим первый член прогрессии b, а знаменатель q. Тогда что хорошего можно увидеть, когда мы запишем равенство на суммы из условия?

Подсказка 2

Верно, и слева, и справа есть b, на которое можно сократить и получить уравнение относительно одной переменной. Теперь применим формулу для суммы геометрической прогрессии. У нас получается там 6 степень... Как можно упростить себе жизнь, вспомнив, что это q^3 в квадрате?

Подсказка 3

Ага, мы можем разложить скобку слева по формуле разности квадратов! Теперь мы можем сократить общую часть и легко найти q.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

5 2 1−-q6 1− q3 b+ bq +...bq = 344(b+ bq+ bq) ⇐⇒ 1− q = 3441− q ⇐ ⇒

⇐⇒ (1− q3)(1+ q3)= 344(1− q3) ⇐ ⇒ q = 7

Здесь мы считаем $q ⁄=1,$ однако легко видеть, что при $q = 1$ условие не выполнено.

Ответ:

$7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#39770

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на $2$ больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $36- 5$ . Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Источники: Физтех-2019, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме нечетных и четных членов геометрической прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения и записать уравнения по условию. Подумаем, что же образуют нечетные и четные члены нашей прогрессии?

Подсказка 2

Пусть первый член прогрессии это b, второй равен bq, |q|<1. Тогда все нечетные члены прогрессии образуют новую прогрессию с первым членом b и знаменателем q², аналогично четные члены образуют прогрессию с первым членом bq и знаменателем q². Значит, мы можем просто посчитать их сумму и записать уравнение) А как быть с суммой квадратов членов прогрессии?

Подсказка 3

Они тоже образуют две прогрессии! Одна из них с первым членом b², другая - с первым членом b²q² и обе со знаменателем q⁴. Осталось лишь записать уравнения на разности получившихся сумм и решить их. Это можно сделать, например, если выразить b² через q двумя способами, приравнять их и найти q! Остаётся найти b :)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq,|q|< 1 1 2$ . Сумма всех нечётных членов равна $-b1-= -b-- 1−q2 1−q2$ , а сумма чётных $-b2-= -bq- 1−q2 1−q2$ , поскольку каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем $2 q$ и также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Аналогично, для квадратов знаменателем будет $4 q$ , а первыми членами $2 b$ и $22 b q$ , то есть суммы равны $-b2-- 1− q4$ и $-b2q2 1−q4$ . Запишем равенства из условия

({ -b-- -bq- 1−q22 − 1−b2qq22 = 2 ( 1−bq4 − 1−q4 = 356

( b(1−q) { (1−q2)(1+q)2-=2 ( (1b−q(12−)(q1+)q2) = 356

{ b2 = 4(1+q)2 b2 = 365 (1+q2)

Получим

2 36 2 4(1+ 2q+q )= 5 (1 +q )

2 16q − 40q+ 16= 0

1 q = 2 или 2

Поскольку $|q|< 1$ , то $1 q = 2$ . Отсюда $1 b= 2(1+ 2)=3$ — единственное решение.

Ответ:

$3;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#79925

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $48 7 ,$ а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $144 17$ .

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b 1$ и знаменателем $q$ равна $b1(1−qn). 1−q$ Для бесконечно убывающей пеометрической прогрессии $|q|< 1,$ поэтому при $n,$ стремящемся к бесконечности, $n q$ стремится к нулю, а сумма членов стремится к $b1- 1−q.$ Кубы членов данной прогрессии ${bn}$ также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3 b1$ и знаменателем $3 q$ , четвёртые степени членов - прогрессию с первым членом $4 b1$ и знаменателем $4 q$ , a квадраты - прогрессию с первым ч.леном $2 b1$ и знаменателем $2 q$ . Суммы этих членов равны соответственно $b3 b4 11−q3,1−1q4$ и $b2 1−1q2$ Из условия получаем систему уравнений

( b3 ( b2 { 11−q3-: b11−q = 478, ⇔ { 1+q1+q2 = 487 ( 1b41−q4-:1b21−q2-= 14147- ( 1b+21q2 = 11447

Делим почленно первое уравнение на второе и получаем $2 11++qq+q2 = 1271 ⇔ 4q2− 17q+ 4= 0,$ откуда $q =4$ или $q = 14.$ Так как прогрессия является бесконечно убывающей, $|q|<1,$ и подходит только значение $q = 14.$ Тогда $b21 = 11447-(1+ q2)= 9$ и $b1 = ±3.$

Ответ:

$b = ±3,q = 1 1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90861

Сравните числа

( 2017 2016 )2018 ( 2018 2017 2017 10 + 10 +⋅⋅⋅+ 10+ 1 и 10 + 10 +⋅⋅⋅+10+ 1)

Показать ответ и решение

( )2018 (102018− 1)2018 102017+102016+ ⋅⋅⋅+ 10 +1 = ----9---

( ) (102018+102017+ ⋅⋅⋅+ 10 +1)2017 = 102019−-1 2017 9

Значит, нам нужно сравнить $2018 2018 (10 − 1)$ и $2019 2017 9(10 − 1)$ . Вынесем из первого числа $20182 10$ и применим неравенство Бернулли:

2 1 2 2018 2 (102018− 1)2018 = 102018(1− 102018)2018 ≥102018 (1− 102018)> 9⋅102018 −1 =

( 2019 )2017 = 9⋅102017⋅2019 > 9(102019− 1)2017 > 10-−-1 9

Ответ:

$(102017+ 102016 +⋅⋅⋅+ 10+ 1)2018 >(102018+ 102017+ ⋅⋅⋅+ 10+1)2017$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#87800

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии равен $b,$ а знаменатель равен $q.$ Тогда по условию $bq =3$ и $b+ bq+bq2 = 13.$ Отсюда $q = b 3$ и

2 9 b+ bq+ bq =b +3+ b =13

b2 − 10b+9 =0

Получается, либо $b= 1$ , либо $b= 9.$ Но если $b= 1,$ то $3 q = b = 3> 1,$ что противоречит тому, что прогрессия убывающая.Значит, $b= 9,$ а $1 q =3.$ Итак, сумма прогрессии равна

b 2 S = 1−-q = 9:3 = 13,5

Ответ:

$13,5$

Предыдущий раздел

Следующий раздел