Тема Последовательности и прогрессии

Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103841

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма её первого и третьего членов равна $35,$ а сумма первых пяти членов в $49$ раз больше суммы их обратных величин.

Показать ответ и решение

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$ , а знаменатель как $r.$

По первому условию задачи

2 a+ ar =35

a(1+ r2)= 35

Еслм $r= 1,$ то сумма первых пяти членов равна $5a,$ сумма обратных равна $5a.$ По второму условию задачи $5a= 49⋅ 5a.$ Но тогда $a =±7$ и не выполнено условие $a(1+ r2)= 35.$

При $r⁄= 1$ сумма первых пяти членов вычисляется по формуле:

S5 =a +ar+ ar2+ar3+ ar4 =a(1+ r+r2+ r3+r4)= ar5− 1 r− 1

Сумма этих обратных величин:

1 -1 -1- -1- -1- 1( 1 1- 1- 1-) 1 -r5-− 1- a + ar + ar2 + ar3 + ar4 = a 1+ r + r2 + r3 + r4 = a ⋅r4(r− 1)

И тогда второе условие задачи записывается так:

5 ( 5 ) ar-−-1= 49⋅ 1 ⋅-r4-− 1- r− 1 a r(r− 1)

a2(r5− 1)=49⋅ r5−-1 r4

2 49 a = r4-

Подставляем в $2 (a(1+ r )=35):$

( 7 ) r2 (1+ r2)= 35

2 2 7(1+ r)= 35r

1+ r2 = 5r2

4r2− 1= 0

r= 12 или r= − 12

a(1+ (1)2)= 35 2

( ) a 1+ 1 = 35 4

a= 35⋅ 4 =28 5

Таким образом, первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1. 2$

Ответ:

первый член равен 28, а знаменатель может быть равен $± 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103842

Найдите отношение суммы первых $2n$ членов арифметической прогрессии к сумме следующих $2n$ её членов, если сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов, а разность $d$ прогрессии не равна нулю.

Показать ответ и решение

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a.$ Сумма первых $m$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

m Sm = 2-⋅(2a+ (m− 1)d)

По условию сумма первых $3n$ членов равна сумме следующих $n$ членов:

S3n =S4n− S3n

3n 4n 2⋅-2 (2a+(3n− 1)d)=-2 ⋅(2a+ (4n− 1)d)

6a +9nd− 3d= 4a +8nd− 2d

2a= d− nd

Тогда соответственно

2n S2n =-2 ⋅(2a+ (2n − 1)d) =n(d− nd+(2n− 1)d)= n⋅nd= n2d

Теперь найдем сумму следующих $2n$ членов, то есть членов с номерами от $2n+ 1$ до $4n$ . Сумма этих членов будет равна разности суммы первых $4n$ членов и суммы первых $2n$ членов:

S(2n)′ =S4n− S2n = 2n(2a+ (4n − 1)d)− n(2a+(2n− 1)d)= 2n⋅3nd− n ⋅nd= 5n2d

Так как по условию $d⁄= 0,$ то отношение суммы первых $2n$ членов к сумме следующих $2n$ членов:

2 R= -S2n-= -nd2-= 1 S(2n)′ 5n d 5

Ответ:

$1 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79596

Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых $15$ членов прогрессии равна $58,$ а сумма обратных величин этих членов равна $14,5.$ Найдите восьмой член прогрессии.

Источники: ОММО - 2024, задача 1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель. Тогда по условию $b, q > 0,$ так как все числа положительны.

Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть $q ⁄=1$ ), так как иначе каждый ее член был бы равен $58 15,$ и тогда сумма обратных величин была бы равна $225- 58 ⁄=14,5$

Запишем сумму первых 15 членов

q15− 1 b+bq+ bq2 +...+ bq14 = b-q−-1-= 58

Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем $1q$ ), поэтому

( ) ( ) 1 15− 1 1 + 1-+ 1-+ ...+ -1- = 1 1+ 1 +...+ -1- = 1 -q------= 14,5 b bq bq2 bq14 b q q14 b 1− 1 q

Преобразовав второе равенство, получаем систему

(|| b⋅ q15−-1= 58 { q −1 15 ||( 1⋅-q14-−-1-= 14,5 b q (q− 1)

Поделив первое равенство на второе, получаем

b2⋅q14 = 58- 14,5

b2⋅q14 = 4

Так как $b, q > 0$ получаем значение восьмого члена прогрессии

b⋅q7 = 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80755

Найдите все действительные значения $x,$ при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её четвёртый член равен $∘ 15x+6- (x−3)3,$ десятый член равен $x+ 4,$ а двенадцатый член равен $∘ ------------ (15x+ 6)(x− 3).$

Источники: Физтех - 2024, 11.1 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии это $q.$ Тогда запишем систему, исходя из условий задачи

(| ∘ 15x+-6- ||||{ bq3 = (x−-3)3 ||||| bq9 =x∘+4----------- ( bq11 = (15x+ 6)(x− 3)

Заметим, что $(bq9)4 =(bq11)3⋅(bq3).$ Запишем это равенство через $x$ :

∘------- (∘ (15x+-6)(x−-3))3⋅ 15x-+6-= (x +4)4 (x − 3)3

2 4 2 2 (15x+ 6) =(x+ 4) ⇔ (x − 7x+ 10)(x +23x+ 22)=0

Из последнего уравнения получаем следующую совокупность решений

⌊ x= −22— не подходит, так как bq9 и bq11 разных знаков || x= −1 || x= 2— не подходит под ОД З ⌈ x= 5

В итоге, получаем, что $x =− 1$ или $x =5$ .

Ответ:

${−1; 5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85353

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $40- 27$ , а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т.д.) равна $20- 27$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть у нас в прогрессии $k$ членов, а знаменатель равен $q.$ Заметим, что $q ⁄= 1,$ т.к. иначе прогрессия состояла из единиц, а сумма единиц не может быть нецелым числом. Тогда из первого условия получаем

2 k−1 40 1+ q+ q +...+ q = 27

k 1−-q-= 40 1− q 27

А из второго

1− q+q2− q3+...+(−1)k− 1⋅qk−1 = 20 27

1−-(−-q)k 20 1+q =27

Получаем систему

( |||{ 1-− qk = 40- 1− q 27 |||( 1-− (−q)k= 20 1+ q 27

Разберём два случая:

1. Пусть $k$ нечётно, тогда обозначим $k q =t$ и решим получившуюся систему

( 1−-t 40 ||{ 1− q = 27 || 1+-t 20 ( 1+ q = 27

( { 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1+ t)= 20(1+ q)

Сложим два равенства, получим

54 =60− 20q

q =-3 10

Тогда $t =− 1-, 27$ но $t= qk$ при этом $q > 0,$ получаем противоречие, значит, такого случая быть не может

2. Пусть $k$ чётно, тогда обозначим $qk = t$ и решим получившуюся систему

(|| 1−-t= 40 { 1− q 27 ||( 1−-t= 20 1+ q 27

({ 27(1− t)= 40(1− q) ( 27(1− t)= 20(1+ q)

Вычтем из второго равенства первое, получим

0 =− 20 +60q

q = 1 3

Тогда $( ) t =-1 = 1 4. 81 3$ При обратной замене $t=qk$ становиться понятно, что $k =4.$ Данное значение $q$ нам подходит.

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#87807

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,3(24)$ .

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

24∕1000 0,3(24)= 0,3+ 24∕1000+ 24∕100000+ ...= 0,3+ 1−-1∕100 =

=0,3+ 24-= 3-+ 8--= 99+8-= 107- 990 10 330 330 330

Второе решение.

Обозначим число $0,3(24)$ за $x.$ Тогда домножая число на $10$ и на $1000,$ получим:

1000x= 324,(24) -10x=-3,(24)----- 990x= 321

Из последнего равенства находим представление в виде обыкновенной дроби:

x= 321= 107 990 330

Ответ:

$107 330$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#87811

Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если ее сумма равна $3$ , а сумма квадратов её членов равна $4,5$ .

Показать доказательство

Пусть первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен $b , 1$ а знаменатель — $q.$ По условию сумма прогрессии равна $3,$ тогда по формуле суммы:

b1 1−-q = 3

Если рассмотреть квадраты элементов этой прогрессии, то они будут образовывать геометрическую прогрессию с первым членом $b21$ и знаменателем $q2.$ По условию сумма новой прогрессии равна $4.5.$ Тогда:

2 --b1-2 = 4.5 1− q

Решим систему:

({ -b1 =3, ( 1−qb21--- (1−q)(1+q) = 4.5

Подставим первое уравнение во второе:

{ b1-= 3, 1−qb1- 3 ⋅1+q = 4.5

Далее поделим первое уравнение на второе ( $b ⁄= 0) 1$

{ 1+q-= 2, 1−bq1-= 1.5 1+q

В итоге, из первого равенства получим $q = 1, 3$ а из второго $b1 = 1.5(1 +q)= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90372

Найдите сумму

[1] [2] [ 22] [23] [21000] 3 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3 .

Показать ответ и решение

Воспользуемся следующим фактом:

[x]= x− {x}

Преобразуем исходное выражение:

[1] [2] [22] [21000] 1 { 1} 2 { 2} 21000 {21000} 3 + 3 + 3 +...+ 3 = 3 − 3 + 3 − 3 + ...+ 3 − 3 =

(1 2 22 21000) ( {1} { 2} {22} {21000}) 3 + 3 +-3 +...+-3- − 3 + 3 + -3 +... --3-

Первую скобку можно посчитать как сумму геометрической прогрессии.

1+ 2+ 22+ ...+ 21000= 13-⋅(21001−-1)= 21001−-1 3 3 3 3 2 − 1 3

Во второй скобке мы имеем дело с дробной частью, соответственно, каждое из слагаемых будет равно или $1 3,$ или $2 3$ в зависимости от четности степени двойки. Тогда получаем:

{ 1} {2} {22} { 21000} 1 2 1 2 1 1 1501 3 + 3 + 3 + ... 3 = 3 +3 + 3 + 3 + ...+ 3 = 500+ 3 = 3

Итого:

1001 1001 2---− 1-− 1501= 2--−-1502 3 3 3

Ответ:

$21001-− 1502 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64354

Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем меньше последнего, но не более чем на $17,$ а сумма её членов со второго по последний не меньше $26.$ Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Пусть в прогрессии $n$ членов, $q$ — её знаменатель, а $b 1$ — первый член. По условию $0 <b qn− 1− b ≤ 17 1 1$ и

b1q(qn−1-− 1) --q- n−1 -q-- 26≤ q− 1 = q− 1 ⋅b1(q − 1)≤ q− 1 ⋅17

Таким образом,

26-≤ -q-- 17 q− 1

q ∈ (1;26] 9

В силу целочисленности знаменателя подходит только $q = 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#89775

Возрастающая геометрическая прогрессия $a ,a,a ,... 1 2 3$ удовлетворяет условиям $a − a =3 3 1$ , $a − a = 60 7 3$ . Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

{ a (q2− 1)= 3, a1(q6− q2)= 60 1

Второе уравнение равносильно

aq2(q2− 1)(q2+ 1) =60. 1

Учитывая первое уравнение, получаем $q4+ q2− 20= 0,$ то есть

(q2+ 5)(q2 − 4)= 0,

откуда $q2 = 4.$ Стало быть, $q =2,$ ибо $q = −2$ противоречит возрастанию прогрессии.

Подставляя $q = 2$ в любое из двух уравнений, получаем $a1 = 1.$ Стало быть, $an = 2n−1$ для любого $n ≥1,$ то есть искомая сумма равна

1+2 +22+ 23+...+26 = 27− 1=127.

Ответ:

$127$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31361

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия содержит член $b = 1∕8 n$ . Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед $b n$ , к сумме членов, стоящих после $bn$ , равно 14. Найдите $n$ , если сумма всей прогрессии равна $2$ .

Показать ответ и решение

Пусть $b$ — первый член, а $q$ — знаменатель, тогда

n−1 1 bn = bq = 8

, сумма до него

1− qn−1 b 1 b+ ⋅⋅⋅+bqn−2 = b-1−-q-= 1−-q − 8(1−-q),

а после него

bqn+ ⋅⋅⋅= b-qn-= ---q--, 1− q 8(1− q)

а также

-b-- 1− q = 2(∗),

тогда

2 −---1-- = -14q--=⇒ 16− 16q− 1= 14q =⇒ q = 1, 8(1− q) 8(1− q) 2

далее $b= 1$ из $(∗)$ , значит, $n= 4.$

Ответ:

$4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#39758

Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно $8.$ Найдите произведение второго и восьмого её членов.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

2 10 4 b⋅bq ⋅bq = 8 ⇐⇒ bq =2

Нам требуется найти $bq⋅bq7 = b2q8 = 22 = 4.$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#91385

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 93 , а сумма следующих 5 членов равна 2976. Найдите сумму первых 7 членов прогрессии.

Показать ответ и решение

Получаем систему ${ b1(1 +q+ ...+ q4) =93 b1q5(1+ q+ ...+q4)= 2976$

откуда $3(128−-1)- q = 2,b1 =3 ⇒ S7 = 2− 1 =381$ .

Ответ: 381

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91904

Найдите все пары $n,p$ , где $n$ — натуральное, а $p$ — простое, для которых верно

2021 3 1+n +...+n =p .

Показать ответ и решение

По формуле геометрической прогрессии

2021 n2022− 1 (n1011− 1) ( 2011 ) 1+ n+ ...+ n = -n-− 1-= --n−-1- n +1 = =(1+ n+ ...+ n1010)(n+ 1)(n1010− n1009 +...+ 1)= p3.

Заметим, что слева стоит произведение трех скобок, каждая из которых больше 1 при всех $n >1$ . Тогда каждая из скобок должна быть равна $p$ , но первая скобка больше второй - противоречие. Если же $n= 1$ , то $2022= p3$ , но данное уравнение не имеет решений.

Ответ: таких пар нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#99163

Сторона квадрата равна $2.$ Середины сторон этого квадрата соединили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с исходным, и т. д. Найти сумму периметров этих квадратов.

Источники: Газпром - 2021, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Длина стороны первого квадрата равна $2,$ его периметр равен $8.$ Длина стороны второго квадрата равна $√2-$ (по т. Пифагора), его периметр равен $√ - 4 2.$ Длина стороны третьего квадрата равна $1,$ его периметр равен $4.$ Длина стороны четвёртого квадрата равна $√2 2$ , его периметр равен $4√2- 2 .$ Длина стороны пятого квадрата равна $1 2$ , его периметр равен $4 2.$ И т. д. Получим последовательность:

√ - 4√2 4 8,4 2,4,-2-,2,...

Эта последовательность представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = 1√2,$ то есть $|q|< 1.$ Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна $S = b11−q.$ Так как $b1 = 8,q = 1√2,$ то

√- S = --8--= √8-2-. 1− 1√2 2− 1

Ответ:

$-8√2- √2-− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 205, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#103395

Дана возрастающая положительная геометрическая прогрессия $b. n$ Известно, что $b + b − b − b =9. 4 3 2 1$ Докажите, что $b5+ b6 ≥36.$

Источники: Бельчонок - 2020, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Показать доказательство

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда по условию

(3 2 ) b1q + q − q − 1 = 9,

что равносильно соотношению

--9-- b1(q+1)= q2− 1.

Нам же требуется доказать, что

9q4 b6+ b5 = b1q4(q+ 1)= q2− 1-≥36.

По условию задачи $b2 = b1q > b1,$ значит, $q > 1.$ Таким образом, достаточно проверить неравенство

q4 ≥4 (q2− 1),

которое можно записать в виде тривиального неравенства

(q2− 2)2 ≥0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#39761

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в $344$ раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

5 2 1−-q6 1− q3 b+ bq +...bq = 344(b+ bq+ bq) ⇐⇒ 1− q = 3441− q ⇐ ⇒

⇐⇒ (1− q3)(1+ q3)= 344(1− q3) ⇐ ⇒ q = 7

Здесь мы считаем $q ⁄=1,$ однако легко видеть, что при $q = 1$ условие не выполнено.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#39770

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на $2$ больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $36- 5$ . Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Источники: Физтех-2019, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq,|q|< 1 1 2$ . Сумма всех нечётных членов равна $-b1-= -b-- 1−q2 1−q2$ , а сумма чётных $-b2-= -bq- 1−q2 1−q2$ , поскольку каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем $2 q$ и также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Аналогично, для квадратов знаменателем будет $4 q$ , а первыми членами $2 b$ и $22 b q$ , то есть суммы равны $-b2-- 1− q4$ и $-b2q2 1−q4$ . Запишем равенства из условия