Геометрическая прогрессия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых 
членов прогрессии равна 
а сумма обратных величин этих
членов равна 
Найдите восьмой член прогрессии.
Источники:
Подсказка 1
В данной задаче самое главное и самое сложное это правильно записать то, что нам дано в условии. Давайте рассмотрим геометрическую прогрессию с первым членом b и знаменателем q. Вспомните формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для дальнейшего решения.
Подсказка 2
По формуле суммы геометрической прогрессии сумма первых 15 членов будет равна b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1). Заметьте, что сумма обратных величин довольно похожа на сумму обычных, подумайте, возможно, получится ее посчитать похожим образом.
Подсказка 3
Обратные величины так же являются геометрической прогрессией, только с первым членом равным 1/b и знаменателем равным 1/q. Как тогда можно записать наше изначальное условие?
Подсказка 4
По условию мы получаем систему из двух уравнений: b*(q¹⁵ - 1) / (q - 1) = 58 и (q⁻¹⁵ - 1) / b(q⁻¹ - 1) = 14,5. Для удобства работы умножим во втором уравнении числитель и знаменатель на -q¹⁵. Вспомните, что восьмой член прогрессии равен bq⁷. Как его можно найти с помощью полученных уравнений?
Пусть 
— первый член прогрессии, 
— знаменатель. Тогда по условию 
так как все числа положительны.
Заметим сразу, что исходная прогрессия не является постоянной(то есть 
), так как иначе каждый ее член был бы равен 
и
тогда сумма обратных величин была бы равна 
Запишем сумму первых 15 членов
Последовательность, составленная из обратных величин данной прогрессии также является геометрической прогрессией(со знаменателем
), поэтому
Преобразовав второе равенство, получаем систему
Поделив первое равенство на второе, получаем
Так как 
получаем значение восьмого члена прогрессии
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
