Тема Последовательности и прогрессии

Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#124050Максимум баллов за задание: 7

Во время собеседования при приеме на работу в разных IT-компаниях любят задавать разные тестовые нестандартные задачи для проверки творческих способностей кандидата на работу. Одна из таких популярных тестовых задач следующая (см. рисунок):

$PIC$

Точки $A$ и $B$ двигаются на встречу друг-другу (обычно говорят о двух «путниках») со скоростями $a$ и $b$ соответственно, а между ними все время «летает» со скоростью $v (v >a$ и $v >b)$ еще одна точка (обычно говорят о «мухе», которая летает с носа одного путника на нос другого путника без задержек на носу ни одного из путников). Начальное расстояние между точками $A$ и $B$ равно $S.$ Вопрос: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи?

Так вот, в этой задаче вам сначала надо ответить на вопрос, сформулированный в тестовой задаче: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи? Далее, вам надо ответить на следующий вопрос (и доказать ответ!): конечное или бесконечное число полетов между точкам-путниками совершит точка-муха от момента начала движения до момента встречи точек-путников?

И, наконец, вам надо ответить на еще один вопрос. Пусть в начальный момент точка-муха находилась в точке $A.$ Какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B?$ А какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $B$ до $A?$

Источники: Иннополис - 2020, 11.5 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Вопрос 1, подсказка 1

Сначала можно вычислить время, которое будет летать точка-муха, а потом уже найти расстояние.

Вопрос 2, подсказка 1

Предположим, что точка-муха совершила конечное число полетов, тогда мы либо докажем это, либо получим противоречие.

Вопрос 2, подсказка 2

Попробуйте рассмотреть последний полет точки-мухи.

Вопрос 2, подсказка 3

Пусть последний полет был от точки А. Какие будут скорости у точки А и у точки-мухи?

Вопрос 2, подсказка 4

У точки-мухи будет скорость v, у точки А — a. Какая из этих точек прилетит раньше в точку встречи точек-путников?

Вопрос 2, подсказка 5

Сравните скорости a и v, опираясь на условие, и проведите аналогичные рассуждения в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки B.

Вопрос 3, подсказка 1

Давайте попробуем составить формулы расстояний перелетов в общем виде. Для этого можно посчитать расстояния в конкретных ситуациях.

Вопрос 3, подсказка 2

В некоторый момент времени точка-муха находится в точке А, пусть в этот момент расстояние между A и B равно p₀. Через какое время точка-муха окажется в точке B?

Вопрос 3, подсказка 3

t₁ = p₀ / (v + b). Какое расстояние при этом пролетит точка-муха?

Вопрос 3, подсказка 4

w₁ = t₁v = p₀v / (v + b). Чему будет равно расстояние между точками A и B после полета?

Вопрос 3, подсказка 5

p₁ = p₀ - t₁(a + b) = p₀ ⋅ (v - a) / (v + b). Через какое время точка-муха вновь окажется в точке А?

Вопрос 3, подсказка 6

t₂ = p₁ / (v + a) = p₀ ⋅ (v - a) / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние она пролетит от B к A?

Вопрос 3, подсказка 7

w₂ = t₂v = p₀ ⋅ (v - a) ⋅ v / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние между точками A и B после этого?

Вопрос 3, подсказка 8

p₂ = p₁ - t₂(a + b) = p₀ ⋅ (v - a)(v - b) / ((v + a)(v + b)). Посмотрите на полученные результаты и попробуйте записать в общем виде формулы для расстояний между точками A и B до и после k-го перелета.

Вопрос 3, подсказка 9

Теперь вспомним, что мы хотим найти. Запишите формулы для расстояний, которые будет пролетать точка-муха.

Вопрос 3, подсказка 10

Рассмотрим случай, когда точка-муха летит от A к B. Заметьте, что расстояния, которые будет пролетать точка-муха, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Вопрос 3, подсказка 11

Ее суммой и будет суммарное расстоние, которое пролетит точка-муха от A до B. Чтобы найти суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха от B к A, для начала посчитайте общее расстояние, которое пролетит точка-муха.

Показать ответ и решение

Первый вопрос.

Общее время движения точек-путников

S t= a+-b,

поэтому расстояние, которое пролетит точка-муха за это время

l= vt= aS+vb

Второй вопрос.

Давайте предположим, что точка-муха совершит некоторое конечное число полетов между точками-путниками. Тогда либо мы докажем это, либо прийдем к противоречию и получим, что полетов было бесконечное количество.

Рассмотрим последний полет точки-мухи между точками-путниками. Если это был полет от точки $A,$ движущейся направо со скоростью $a,$ то, так как это был последний полет, точка-муха тоже летит направо со скоростью $v$ и прилетает в точку встречи точек-путников не раньше точки $A,$ то есть скорость точки-мухи $v,$ которая не больше скорости $a.$

Получаем противоречие с тем, что $v > a.$ Аналогично получаем противоречие в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки $B.$ Следовательно, предположение о конечном числе полетов неверно.

Третий вопрос.

Пусть в некоторый момент времени точка-муха находится в точке $A$ и в это время расстояние между точками $A$ и $B$ равно $p0 >0.$ Тогда точка-муха окажется в точке $B$ спустя время

-p0- t1 = v+ b,

при этом точка-муха пролетит расстояние

w1 =t1v = p0v v+ b

в направлении от $A$ к $B,$ а расстояние между точками $A$ и $B$ после полета будет равно

p1 = p0− t1(a+b)= p0− p0(a+-b)= p0(v−-a)= p0⋅ v−-a v+ b v +b v+ b

Точка-муха вновь окажется в точке $A$ спустя время

-p1- -p0(v-− a)- t2 = v+ a = (v+ a)(v+ b)

Она пролетит в направлении от $B$ к $A$

w2 =t2v =-p0(v−-a)v- (v +a)(v +b)

После этого расстояние между точками $A$ и $B$ будет равно

p0(v−-a) p0(v−-a)(a+-b)- p0(v−-a)(v−-b)- (v−-a)(v−-b) p2 =p1− t2(a+ b)= v+ b − (v+ a)(v+ b) = (v+ a)(v+ b) =p0⋅(v+ a)(v+ b)

Следовательно, для любого $k≥ 1$ мы имеем: расстояние между точками $A$ и $B$ после $k- ого$ перелета

от $A$ до $B$ равно
$( ) S ⋅ v− a-⋅ (v−-a)(v− b) k−1 v+b (v+ a)(v+b)$
от $B$ до $A$ равно
$( ) S⋅ (v−-a)(v−-b) k (v+ a)(v+ b)$

Теперь заметим, что для любого $k ≥ 1$ расстояние между точками перед $k-ым$ перелетом

от $A$ до $B$ равно
$((v− a)(v− b))k−1 S⋅ (v+-a)(v+-b)$
от $B$ до $A$ равно
$v− a ((v−-a)(v− b))k−1 S ⋅v− b ⋅ (v+ a)(v+b)$

Тогда для любого $k≥ 1$ расстояние, которое пролетит точка-муха в $k-ый$ раз,

от $A$ до $B$ равно
$( )k− 1 W2k−1 = S⋅-v-⋅ (v−-a)(v−-b) v+ b (v+ a)(v+ b)$
от $B$ до $A$ равно
$( )k−1 W2k = S ⋅-v-⋅ v−-a⋅ (v−-a)(v−-b) v+b v+ a (v+ a)(v+ b)$

$W2k−1$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом

-v-- S ⋅v+ b

и знаменателем

(v− a)(v− b) (v+-a)(v+-b)

Сумма прогрессии равна

S⋅--v- ⋅----1------= S(v-+a)- v +b 1− (v(v−+aa)()(vv−+b)b)- 2(a +b)

Это и есть суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B.$

Так как общее расстояние, которое пролетит точка-муха, равно

-Sv-, a +b

то, следовательно, суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $B$ к $A,$ равно

-Sv-− S(v+-a)= S(v-− a)- a+ b 2(a+ b) 2(a +b)

Ответ:

1) $-Sv-; a +b$ 2) Бесконечное; 3) $S(v-− a) 2(a +b)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#39761Максимум баллов за задание: 7

Сумма шести первых членов геометрической прогрессии, состоящей из положительных чисел, в $344$ раза больше суммы трех ее первых членов. Найдите знаменатель прогрессии.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим первый член прогрессии b, а знаменатель q. Тогда что хорошего можно увидеть, когда мы запишем равенство на суммы из условия?

Подсказка 2

Верно, и слева, и справа есть b, на которое можно сократить и получить уравнение относительно одной переменной. Теперь применим формулу для суммы геометрической прогрессии. У нас получается там 6 степень... Как можно упростить себе жизнь, вспомнив, что это q^3 в квадрате?

Подсказка 3

Ага, мы можем разложить скобку слева по формуле разности квадратов! Теперь мы можем сократить общую часть и легко найти q.

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq. 1 2$ Тогда условие можно переписать в виде

5 2 1−-q6 1− q3 b+ bq +...bq = 344(b+ bq+ bq) ⇐⇒ 1− q = 3441− q ⇐ ⇒

⇐⇒ (1− q3)(1+ q3)= 344(1− q3) ⇐ ⇒ q = 7

Здесь мы считаем $q ⁄=1,$ однако легко видеть, что при $q = 1$ условие не выполнено.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#39770Максимум баллов за задание: 7

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на $2$ больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $36- 5$ . Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Источники: Физтех-2019, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии присутствуют утверждения о сумме нечетных и четных членов геометрической прогрессии, поэтому имеет смысл ввести буквенные обозначения и записать уравнения по условию. Подумаем, что же образуют нечетные и четные члены нашей прогрессии?

Подсказка 2

Пусть первый член прогрессии это b, второй равен bq, |q|<1. Тогда все нечетные члены прогрессии образуют новую прогрессию с первым членом b и знаменателем q², аналогично четные члены образуют прогрессию с первым членом bq и знаменателем q². Значит, мы можем просто посчитать их сумму и записать уравнение) А как быть с суммой квадратов членов прогрессии?

Подсказка 3

Они тоже образуют две прогрессии! Одна из них с первым членом b², другая - с первым членом b²q² и обе со знаменателем q⁴. Осталось лишь записать уравнения на разности получившихся сумм и решить их. Это можно сделать, например, если выразить b² через q двумя способами, приравнять их и найти q! Остаётся найти b :)

Показать ответ и решение

Пусть $b = b,b = bq,|q|< 1 1 2$ . Сумма всех нечётных членов равна $-b1-= -b-- 1−q2 1−q2$ , а сумма чётных $-b2-= -bq- 1−q2 1−q2$ , поскольку каждая сумма задаётся первым членом и знаменателем $2 q$ и также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Аналогично, для квадратов знаменателем будет $4 q$ , а первыми членами $2 b$ и $22 b q$ , то есть суммы равны $-b2-- 1− q4$ и $-b2q2 1−q4$ . Запишем равенства из условия

({ -b-- -bq- 1−q22 − 1−b2qq22 = 2 ( 1−bq4 − 1−q4 = 356

( b(1−q) { (1−q2)(1+q)2-=2 ( (1b−q(12−)(q1+)q2) = 356

{ b2 = 4(1+q)2 b2 = 365 (1+q2)

Получим

2 36 2 4(1+ 2q+q )= 5 (1 +q )

2 16q − 40q+ 16= 0

1 q = 2 или 2

Поскольку $|q|< 1$ , то $1 q = 2$ . Отсюда $1 b= 2(1+ 2)=3$ — единственное решение.

Ответ:

$3;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#79925Максимум баллов за задание: 7

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно $48 7 ,$ а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно $144 17$ .

Источники: Физтех 2019, 3.3 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним формулу для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. А что мы можем сказать про последовательность квадратов, кубов и четвёртых степеней этой прогрессии?

Подсказка 2

Это тоже геометрические прогрессии с первым членом b₁², b₁³ и b₁⁴ и знаменателем q², q³ и q⁴! Давайте теперь составим систему уравнений и, решив её, найдем ответ.

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b 1$ и знаменателем $q$ равна $b1(1−qn). 1−q$ Для бесконечно убывающей пеометрической прогрессии $|q|< 1,$ поэтому при $n,$ стремящемся к бесконечности, $n q$ стремится к нулю, а сумма членов стремится к $b1- 1−q.$ Кубы членов данной прогрессии ${bn}$ также образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3 b1$ и знаменателем $3 q$ , четвёртые степени членов - прогрессию с первым членом $4 b1$ и знаменателем $4 q$ , a квадраты - прогрессию с первым ч.леном $2 b1$ и знаменателем $2 q$ . Суммы этих членов равны соответственно $b3 b4 11−q3,1−1q4$ и $b2 1−1q2$ Из условия получаем систему уравнений

( b3 ( b2 { 11−q3-: b11−q = 478, ⇔ { 1+q1+q2 = 487 ( 1b41−q4-:1b21−q2-= 14147- ( 1b+21q2 = 11447

Делим почленно первое уравнение на второе и получаем $2 11++qq+q2 = 1271 ⇔ 4q2− 17q+ 4= 0,$ откуда $q =4$ или $q = 14.$ Так как прогрессия является бесконечно убывающей, $|q|<1,$ и подходит только значение $q = 14.$ Тогда $b21 = 11447-(1+ q2)= 9$ и $b1 = ±3.$

Ответ:

$b = ±3,q = 1 1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90861Максимум баллов за задание: 7

Сравните числа

( 2017 2016 )2018 ( 2018 2017 2017 10 + 10 +⋅⋅⋅+ 10+ 1 и 10 + 10 +⋅⋅⋅+10+ 1)

Показать ответ и решение

( )2018 (102018− 1)2018 102017+102016+ ⋅⋅⋅+ 10 +1 = ----9---

( ) (102018+102017+ ⋅⋅⋅+ 10 +1)2017 = 102019−-1 2017 9

Значит, нам нужно сравнить $2018 2018 (10 − 1)$ и $2019 2017 9(10 − 1)$ . Вынесем из первого числа $20182 10$ и применим неравенство Бернулли:

2 1 2 2018 2 (102018− 1)2018 = 102018(1− 102018)2018 ≥102018 (1− 102018)> 9⋅102018 −1 =

( 2019 )2017 = 9⋅102017⋅2019 > 9(102019− 1)2017 > 10-−-1 9

Ответ:

$(102017+ 102016 +⋅⋅⋅+ 10+ 1)2018 >(102018+ 102017+ ⋅⋅⋅+ 10+1)2017$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#87800Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если её второй член равен 3, а сумма первых трёх её членов равна 13.

Источники: ПВГ 2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть первый член — b, знаменатель — q. Выпишите условие в данных терминах.

Подсказка 2

Получим 2 возможных значения для b. А каким может быть q?

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии равен $b,$ а знаменатель равен $q.$ Тогда по условию $bq =3$ и $b+ bq+bq2 = 13.$ Отсюда $q = b 3$ и

2 9 b+ bq+ bq =b +3+ b =13

b2 − 10b+9 =0

Получается, либо $b= 1$ , либо $b= 9.$ Но если $b= 1,$ то $3 q = b = 3> 1,$ что противоречит тому, что прогрессия убывающая.Значит, $b= 9,$ а $1 q =3.$ Итак, сумма прогрессии равна

b 2 S = 1−-q = 9:3 = 13,5

Ответ:

$13,5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#31346Максимум баллов за задание: 7

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна $93,$ а сумма следующих пяти членов равна $2976.$ Найдите сумму первых семи членов прогрессии.

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем условие через a и d. Тогда можно заметить, что сумма из первого условия и сумма из второго условия отличаются в d⁵. И в 32 раза. Значит, что d⁵ = 32!

Подсказка 2

Теперь, зная d, мы можем найти а!

Показать ответ и решение

Пусть первый член последовательности равен $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

2 3 4 q5−-1 b+ bq+bq + bq + bq =b q− 1 = 93

5 bq5+ bq6+ bq7 +bq8+ bq9 = bq5q-−-1= 2976 q− 1

Первая и вторая сумма отличаются ровно в $q5$ раз. Значит, $q5 =32 ⇔ q = 2.$ Тогда

b+ bq +bq2+bq3+ bq4 = bq5−-1= 31b =93 q − 1

b=3

Значит, сумма первых семи членов прогрессии равна

93+3 ⋅25+ 3⋅26 = 381

Ответ:

$381$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#87804Максимум баллов за задание: 7

Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $2016 819 ⋅6$ . Найдите знаменатель прогрессии.

Показать ответ и решение

Имеем геометрическую прогрессию $b ,b q,b q2,...,bqn−1,... 1 1 1 1$ причем $b qn−1 ∈ℕ 1$ для любого номера $n∈ ℕ$ . Таким образом, $b 1$ и $q$ являются натуральными числами. По условню $2016 b3 +b5+ b7 =819⋅6$ , или

2 4 6 2016 2018 2( 2 4) 2016 2018 b1q+ b1q +b1q =2 ⋅3 ⋅7⋅13, b1q 1+ q+ q = 2 ⋅3 ⋅7⋅13

Натуральное число $1 +q2+ q4$ при любом $q ∈ℕ$ есть нечетное число, следовательно, $1+ q2+ q4 = 3k⋅7l⋅13m$ , где $k ∈{0,1,...,2018}$ , a $l,m ∈ {0,1}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Если $k = 0$ , то $2 4 l m 1+q + q = 7⋅13 ,l∈{0,1}$ .

а) При $l= 0$ получаем уравнение $2 4 m q +q = 13$ , которое не имеет натуральных решений (дискриминант $m D =1 +4⋅13$ равен 5 при $m = 0$ , и равен 53 при $m = 1$ .

б) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение $2 4 q + q − 7 =0$ , которое не имеет натуральных решений ( $D =29$ ).

в) При $l= 1$ и $m =1$ получаем уравнение:

q2+q4− 90= 0⇒ q2 = 9⇒ q = 3.

При этом $2016 b1 = 6$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Если $k = 1$ , то $2 4 l m 1+q + q = 3⋅7⋅13$ , где $l,m ∈ {0,1}$ .

a) При $l= 0$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 2 =0⇒ q2 =1 ⇒ q = 1.

При этом $2016 b1 = 6 ⋅3⋅91$ .

б) При $l= 0$ и $m =1$ получаем уравнение $2 4 q + q − 38= 0$ , которое не имеет натуральных решений $(D =153)$ .

в) При $l= 1$ и $m =0$ получаем уравнение:

q2+ q4− 20= 0⇒ q2 = 4⇒ q = 2

При этом $b1 = 22014⋅32017⋅13$ .

г) При $l= 1$ и $m= 1$ получаем уравнение:

q2+ q4 − 272= 0⇒ q2 = 16⇒ q = 4

При этом $2012 2017 b1 = 2 ⋅3$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Если $k ∈{2,...,2018}$ , а $l,m ∈ {0,1}$ , то $2 4 k l m 1+q + q = 3 ⋅7⋅13$ . Для полученного биквадратного уравнения

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

вычислим дискриминант:

( ) ( ) D =1 − 4 1− 3k⋅7l⋅13m =3 4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1 .

Поскольку при $k ∈{2,...,2018}$ и $l,m∈ {0,1}$ , число $4 ⋅3k−1⋅7l⋅13m$ делится на 3 , то $4⋅3k−1⋅7l⋅13m − 1$ не делится на 3, и $√-- D$ является иррациональным числом. Следовательно, уравнение

q2+q4+ 1− 3k⋅7l⋅13m =0

натуральных корней не имеет.

Ответ: Знаменатель может быть равен 1, 2, 3 или 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#88269Максимум баллов за задание: 7

Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 6, а сумма первых пяти членов равна $93 16$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $a$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель. Тогда формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и суммы первых пяти ее членов примут вид соответственно

a a(1− q5) S =1-− q; S5 =-1-− q-

Получим систему уравнений

( { 1a−q =6 ( a(11−−q5q)= 9136

Подставим во второе уравнение вместо $1a−q$ число 6:

6(1− q5)= 93 16

5 -93- 31 1− q = 6⋅16 = 32

q5 = 1- 32

q = 1 2

a= 6(1− q)=3

Ответ:

$a =3,q = 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#73702Максимум баллов за задание: 7

Геометрическая прогрессия состоит из $37$ натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты. Докажите, что $19$ -й член прогрессии является $18$ -й степенью натурального числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, что все члены нашей прогрессии – натуральные числа, что в этом случае мы можем сказать о знаменателе прогрессии (обозначим его q)? Какому множеству чисел принадлежит q?

Подсказка 2

Хочется сказать, что q – тоже натуральное число, но не забывайте о том, что при умножении натурального числа на рациональное тоже может получиться натуральное число, так что в общем случае q = p/r, где p и r – взаимно простые натуральные числа (ясно, что q > 0, иначе не все члены прогрессии были бы натуральными, так что р и r обязательно должны быть одного знака, без ограничений общности будем считать их положительными)

Подсказка 3

Теперь посмотрим на первый (b₁) и последний (b₃₇) члены нашей прогрессии, пользуясь фактом об их взаимной простоте, можем ли мы сказать, чему равен b₁?

Подсказка 4

Так как b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ – натуральное число, а р и r взаимно просты, очевидно, что b₁ должно делиться на r³⁶, то есть b₁ = kr³⁶, а чему может быть равно k?

Подсказка 5

У нас получилось, что b₃₇ = b₁p³⁶/r³⁶ = kp³⁶, но тогда b₃₇ и b₁ имеют общий делитель k, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо положить k = 1, теперь мы можем записать 19 член нашей прогрессии через р и r и получить желаемое!

Показать доказательство

Пусть наша прогрессия $b ,b ,...b , 1 2 37$ а знаменатель $q.$ Так как $b ,b 1 2$ — натуральные числа, значит, $q$ — рациональное число, пусть $p q = r,$ где $(p,r)= 1$ и $p,r ∈ℕ.$ По условию первый и $37$ члены взаимно просты. Значит,

36 36 b1 (b1,b37)= (b1,b1q )=(b1,p r36)= 1

Так как $b1$ — натуральное, а $(p,r) =1,$ то $b r136 ∈ ℕ.$ Если $36 b1 ⁄= r ,$ то $36 b (b1,p r136)⁄= 1,$ следовательно $36 b1 =r .$ Теперь ясно, что $b19 = b1q18 = (pr)18$ — получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#87802Максимум баллов за задание: 7

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b ,b,b,... 1 2 3$ равна 60 , сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1200. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b1$ , а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся формулой суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как же записывается сумма самой прогрессии b₁, b₂, b₃,...?

Подсказка 2

Верно! b₁/(1-q) = 60, где q — знаменатель прогрессии. Что же делать с суммой квадратов этой прогрессии. Чем является эта последовательность?

Подсказка 3

Верно! Тоже бесконечной убывающей геометрической прогрессией с первым членом b₁², и знаменателем q². Тогда её сумма = b₁/(1-q²) = 1200. Теперь подумаем, как можно записать искомую сумму...

Подсказка 4

Верно! Снова с помощью той же формулы. Мы хотим найти b₁/(1+q). Как же это сделать?

Подсказка 5

С помощью полученных до этого равенств. Также не забывайте, что x²-1 = (x-1)(x+1). Успехов!

Показать ответ и решение

Из формул суммы геометричекой прогресии известно

-b1-- 1− q = 60 -b21-- 1− q2 =1200

Разделив второе уравнение на первое получим $1b1+q = 20$ , что является ответом.

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#92333Максимум баллов за задание: 7

В периодической десятичной дроби $0,242424...$ первую цифру после запятой заменили на $4$ . Во сколько раз полученное число больше исходного?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть исходное число это x, конечное — y. Чему же равно выражение y-x?...

Подсказка 2

Очевидно, что y = x + 0.2. Хотим найти отношения y/x, то есть (x+0.2)/х. Для того, чтоб найти эту дробь, необходимо знать x. Как же его найти?

Подсказка 3

Поскольку период длины 2, кажется что число x и х*10² не особо то отличаются...

Подсказка 4

Точно! Докажите, что 99x = 24, отсюда найдите x, и дальше дело за малым.

Показать ответ и решение

Пусть $0,242424...= x.$ Тогда изменённое число равно $0,442424...=x +0,2.$ Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти $x.$ Приведём два способа.

Способ 1. Запишем дробь через период, а затем умножим на 100:

0,(24)= x

24,(24)=100x

Вычтем из второго равенства первое:

24= 99x

x= -8 33

Способ 2. $x =0,242424...$ равен сумме

( ) 24-+ 242 +-243 + ...= 24-⋅ 1+-1-+ -12-+... 100 100 100 100 100 100

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

x= 24-⋅---1--= -8 100 1− -1- 33 100

Чтобы узнать во сколько новое число больше исходного, разделим одно на второе:

-8 + 1 33--5-= 5⋅8+-33= 73 8- 5⋅8 40 33

Ответ:

$73 40$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#64353Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов, взятых через один, начиная со второго, равна $2,$ а сумма её членов, взятых через один, начиная с третьего, равна $1.$

Источники: ПВГ-2011, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, у нас с вами сложное условие, давайте записывать его в виде равенств. Запишите условия через b и q. Тогда первое условие говорит, что bq/(1-q²) = 2

Подсказка 2

А второе условие - bq²/(1-q²) = 1, соедините эти два равенства и найдите q!

Показать ответ и решение

Пусть это прогрессия $b =b,b = bq,b =bq2,.... 1 2 3$ Тогда из первого условия получаем

3 5 2 4 --1-- bq+ bq + bq +...=bq⋅(1+q + q +...)= bq⋅1− q2 = 2

Аналогично из второго условия

bq2+ bq4+ ...= bq2 ⋅-1-2-=1 = 1⋅2= 1⋅bq⋅--1-2 =⇒ q = 1 1− q 2 2 1− q 2

b= 2(1−-q2)= 4⋅ 3 =3, q 4

в итоге получаем

2 --b- b+bq+ bq + ...= 1− q = 6.

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#71666Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию $3$ от этих чисел равна $10.$ Найдите эти числа, если

log3b1⋅log3b5 =3

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?

Подсказка 2

Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?

Подсказка 3

Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то $q > 0$ . Тогда члены прогрессии: $2 3 4 b1, qb1, qb1, qb1, q b1$

По условию

2 3 4 log3b1+ log3qb1+log3q b1+log3qb1+ log3qb1 = 10

5 10 log3b1 ⋅q = 10

2 9- b1q =9 =⇒ b1 = q2

Подставляя во второе условие получаем

9 9 log3q2 ⋅log3q4⋅q2 =3

log3-92 ⋅log3 9q2 = 3 q

(2− log q2)⋅(2+ log q2)= 3 3 3

log2q2 = 1 3

q2 = 3±1

И так как

q >0,

то

q = 3±0.5; b1 = 9 q2

Легко видеть, что прогрессии

1.5 2 2.5 3 3, 3 , 3 , 3 , 3

3 2.5 2 1.5 3 , 3 , 3 , 3 , 3

удовлетворяют условию про сумму логарифмов и условию на первый и пятый члены.

В ответ можно записать найденные числа, они одинаковые для обеих подходящих прогрессий.

Ответ:

$3, 31.5, 32, 32.5, 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#31394Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительной бесконечно убывающей геометрической прогрессии в $4$ раза больше её второго члена. Во сколько раз второй член меньше первого?

Источники: Вступительные на факультет почвоведения МГУ, 2007 год

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первый член прогрессии за b. Тогда наше условие переписывается так: b/(1− q) = 4bq. Теперь вспомним, что прогрессия непостоянна, (то есть не убывает), как это можно использовать теперь?

Подсказка 2

Верно, делим на b! И домножаем на 1-q для удобства. Попробуйте разложить получившееся уравнение на множители.

Показать ответ и решение

Пусть $b 1$ и $q$ — первый член и знаменатель прогрессии соответственно, тогда по условию имеем:

b1 1−-q = 4b1q

Так как $b1 ⁄= 0,$ то на $b1$ можно поделить:

-1--= 4q 1− q

(2q− 1)2 =0

Таким образом, $q = 12,$ то есть второй член в $2$ раза меньше первого.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#64440Максимум баллов за задание: 7

Какие значения может принимать выражение

logb11b50(b1b2...b60),

где $b ,b,... 1 2$ — геометрическая прогрессия?

Источники: Ломоносов-2007

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Работать с индексами b-шек так себе идея. А вот со степенями знаменателя геометрической прогрессии звучит приятно. Итак, перепишем условие если b₁ — первый член, а q — знаменатель.

Подсказка 2:

Преобразуем это выражение и получим: log_{b²q⁵⁹}((b²q⁵⁹)³⁰). Восстановите остальные части решения самостоятельно. Успехов!

Показать ответ и решение

Пусть $b = b⋅qk−1 k$ . Тогда получается

60 60⋅59 2 5930 logb2q59(b q 2 )=logb2q59(bq ) = 30

Отсюда выражение на ОДЗ может быть равно только $30.$

Ответ: 30