Оценки в системах

Первое решение.

Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно записать квадраты длин векторов

Согласно условию, . Заметим, что скалярное произведение векторов и равно

что совпадает с , а значит, вектора коллинеарны, причём . Поэтому

Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым независим):

Равенство возможно только в двух случаях: или .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Умножим на 4 и 9 первое и второе равенство в системе соответственно и сложим их:

По неравенству о средних получаем, что

Тогда

Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом из неравенств выполняется равенство, то есть

Откуда получаем

Подставим полученные значения в третье уравнение:

Чтобы избавиться от иррациональности слева необходимо чтобы и были одного знака, а равенство превращается в тождество при Таким образом, получаем 2 решения: и

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим которое не меньше так как где В итоге имеем

Прибавим к последнему неравенству тогда получим

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше В итоге, получили, что левая часть не меньше а правая часть не больше Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы Подставим полученные значения и в первое уравнения системы для нахождения

Сделаем замену

Заметим, что Запишем систему

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

С учетом ограничений получаем следующие

Тогда сделаем обратную замену

Заметим, что

Тогда для каждого имеем откуда

Окончательно получим

Значит, для каждого выполнено

откуда

Отсюда несложно получаем, что тогда один из равен а все остальные равны

Сложим уравнения:

Осталось проверить решения, подставив их в первое уравнение, откуда получаем ответ.

Сложим уравнения:

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства и . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений и убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Выделим квадраты в первом уравнении

Подставляя во второе уравнение, получаем , откуда и получаем ответ

Система определена при

При замене первое уравнение системы равносильно

Вычитая единичку из обеих частей, получаем

Левая часть неположительна. Докажем, что правая часть неотрицательна, то есть

По знакам производной понимаем, что функция принимает наименьшее значение при , так что

Получили

так что должно достигаться равенство, откуда и . При этом условии выполняется первое уравнение системы.

Подстановкой во второе уравнение системы при получаем неверное равенство

поэтому эта пара не подходит. А вот пара подходит, так как равенство

верно.

Обозначим и сложим уравнения системы:

Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: Поэтому левая часть не меньше отсюда При каждое из слагаемых равно отсюда и При получается система:

Решая последнее уравнение, получаем, что

Система равносильна

Так как , то

В итоге получим систему

То есть откуда и получаем ответ.

Первое решение.

На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны . Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.

Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть , тогда посмотрим на первое уравнение

При этом для последнего уравнения

Итак, с одной стороны и (поскольку ). С другой стороны, , откуда (поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем

Второе решение.

ОДЗ: . Пусть, не умаляя общности,

К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:

Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие Отсюда

Докажем, что для нетривиального ( решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.

Сложим три уравнения исходной системы:

Нам подходит случай эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для для

Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: . Но тогда и третьей число оказывается меньше единицы:

Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: Но это противоречие

Остаётся случай, когда Но тогда Но из (*) (это было следствие системы после применения неравенства о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел. Из системы получаем