Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Признаки делимости и равноостаточности → .02 Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Признаки делимости и равноостаточности

Остатки и делимость по модулю степеней двойки или пятёрки

Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Остатки и делимость по модулю 11

Остатки и делимость по модулю 7

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#93370Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее число $S,$ оканчивающееся на $2017$ и представимое в виде суммы трех последовательных натуральных чисел.

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Заметим, что число $S$ не может равняться $2017$ или $12017,$ так как эти числа не делятся на $3.$ Поэтому наименьшее возможное $S =22017.$ Такое бывает, когда среднее число равняется $22017 3 = 7339.$

Ответ:

$22017$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#93526Максимум баллов за задание: 7

Дима вычисляет с помощью калькулятора сумму ста чисел $20,17+ 20,17+ ....$ Однако порой по ошибке переносит десятичную запятую на одно место вправо или влево. Может ли получившаяся сумма быть ровно в два раза больше настоящей?

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Домножим все числа на $100.$ Тогда все числа будут целыми. Сдвиг запятой не меняет остаток при делении на $9.$ Но у чисел $2017⋅100$ и $2⋅2017⋅100$ разные остатки при делении на $9.$

Ответ:

Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#31498Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число $N,$ такое что число $99N$ состоит из одних троек.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва посмотрим, на что делится число 99N: на 9 и 11. Можем ли мы что-нибудь сказать про количество цифр?

Подсказка 2

В силу того, что число состоит только из троек, из признака делимости на 9 следует, что кол-во цифр делится на 3. А из признака делимости на 11 следует, что кол-во цифр должно делиться на 2. Тогда оно делится на 6. Какое тогда может быть минимальное подходящее число?

Подсказка 3

Нетрудно понять, что это 333333. Отсюда находится N.

Показать ответ и решение

Заметим, что число $99N$ делится на $9$ и на $11.$ Значит, количество цифр в нём должно делиться на $3$ и на $2$ (то есть и на $6$ ), так как если число троек нечётное, то сумма на чётных и нечётных местах будет отличаться на $3$ — не соответствует критерию делимости на 11. Отсюда $99N ≥333333$ и при этом $99N = 333333$ уже подходит, так что наименьшее $N = 3367.$

Ответ:

$3367$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#31507Максимум баллов за задание: 7

В числе $2∗0∗1 ∗6∗0∗2∗$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$ -значное число делилось на $45$ . Сколькими способами это можно сделать?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если число делится на 45, то оно делится на 9 и на 5. Что нужно для делимости на 5? А на 9?

Подсказка 2

Для делимости на 5 нужно, чтобы число оканчивалось на 0 или 5. Если нам по сути даны все остатки от деления на 9, то можем ли мы за одну цифру контролировать делимость на 9?

Подсказка 3

Да, можем, значит последняя цифра дает 2 способа, одна из оставшихся - один способ, а все остальные цифры могут быть любыми возможными. А дальше поможет правило умножения)

Показать ответ и решение

Заметим, что нам даны все остатки по модулю $9$ , поэтому достаточно поставить $0$ или $5$ на последнюю позицию — $2$ способа, а затем поставить любые цифры вместо ещё $4$ звёздочек (например, первых) — $4 9$ способов. Останется одна звёздочка, для которой найдётся ровно один остаток такой, что число будет кратно $9$ (обратный по сложению к остатку полученного числа без учёта этой звёздочки). В итоге число делится на $45$ , потому как делится на $5$ и $9$ , и каждое такое мы посчитали ровно один раз, откуда ответ $4 2⋅9$ .

Ответ:

$13122$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#35425Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На какие ещё числа должно делиться наше число? Вспомните известные вам признаки делимости и попробуйте предположить, с чем именно здесь удобно будет работать?

Подсказка 2

Логичнее всего поработать с делимостью на 9 и 11. Но для признака делимости на 11 нам нужна знакопеременная сумма цифр. Как же тут быть, если мы не знаем сколько всего этих цифр в нашем числе?

Подсказка 3

Давайте введём переменные для суммы цифр стоящих на чётных местах и для суммы на нечётных. Сделайте выводы об сумме и о модуле разности.

Подсказка 4

На этом этапе уже можно переходить к небольшому перебору! Только помните, что наши суммы состоят из чётных цифр, поэтому сами чётные.

Показать ответ и решение

Обозначим через $a$ и $b$ сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что $a +b$ кратно 9, а $|a− b|$ кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому $a+ b$ делится на 18, а $|a − b|$ — на 22. Также заметим, что $|a− b|≤ a+ b$ . Если $a +b= 18$ , то $|a − b|= 0$ . Но из этого следует, что $a= b= 9$ , чего не может быть в силу чётности $a$ и $b$ . Если $a+ b≥ 54$ , то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54. Пусть $a +b= 36$ . Тогда $|a − b|=22$ или $|a− b|= 0$ . В первом случае одно из чисел $a$ и $b$ равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае $a= b= 18$ . Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное. Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше $2+ 8⋅4< 36$ .

Ответ: 228888

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#77220Максимум баллов за задание: 7

Экстравагантный миллиардер Единицын решил тратить на поддержку образования каждый год одну и ту же сумму денег, равную $N$ рублей. При этом все цифры числа $N$ равны $1.$

а) В первый год к нему обратились $3$ университета, и он смог разделить эту сумму между ними поровну. Во второй год к нему обратилось уже $9$ университетов, и Единицын также смог разделить деньги между ними поровну. Какую сумму тратил миллиардер на поддержку образования каждый год?

б) Если предположить, что денег у Единицына неограниченно, то смог бы он выделить такую сумму $N,$ чтобы её можно было разделить поровну между $43$ университетами?

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Какой щедрый миллиардер! Что мы можем сказать про сумму, которую он ежегодно тратит на поддержку университетов, если её можно поровну поделить и на 3, и на 9?

Пункт а, подсказка 2

Верно, эта сумма делится на 9. Подумайте, когда число, состоящее из единиц, кратно девяти.

Пункт а, подсказка 3

Тут надо вспомнить признак делимости на девять: число кратно девяти, если сумма его цифр кратна девяти. А чему равна сумма цифр нашего числа?

Пункт а, подсказка 4

Число N состоит из одних единиц, следовательно, сумма его цифр равна количеству этих цифр!

Пункт б, подсказка 1

Сложно найти число, делящееся на 43, в бесконечной последовательности чисел 1, 11, 111, 1111... Не делить же каждое из них на 43 по очереди, и в целом рассмотрение каждого числа по отдельности ничего нам не даст. Попробуйте посмотреть на какие-нибудь пары этих чисел, некоторым образом связанные по модулю 43.

Пункт б, подсказка 2

Есть ли среди чисел, состоящих из одних единиц, те, что имеют одинаковый остаток по модулю 43?

Пункт б, подсказка 3

Есть! Ведь чисел бесконечно много, а вариантов для остатка всего 43. Тогда рассмотрим два числа из последовательности, имеющие одинаковые остатки при делении на 43. Подумайте, что можно сказать про разность таких чисел? Какой вид она имеет?

Пункт б, подсказка 4

Конечно, она делится на 43. Супер, мы нашли число, кратное 43. Но ведь оно не имеет нужный вид... А какой вид оно вообще имеет?

Пункт б, подсказка 5

На самом деле это число имеет вид 11..10..0. То есть является произведением какого-то числа Х из нашей последовательности и степени десятки. А делится ли Х на 43?

Показать ответ и решение

a) Заметим, что подходят только числа $N$ , содержащие $9k, k ∈ℕ$ единиц, чтобы была делимость на $3$ и $9$ . То есть подходят $109k−1 N = 9 , k∈ ℕ.$

б) Да, смог бы. Рассмотрим числа вида $1,11,111,....$ Их бесконечно много, поэтому остатки от деления на $43$ где-то повторятся. Тогда разность большего и меньшего этих двух чисел имеет вид $m d= 1...10...0= 1...1⋅10$ , и она делится на $43$ . И так как $43$ не делится на $10$ , то и $-d- 10m$ делится на $43$ и имеет вид $1 ...1.$

Ответ:

а) $109k−1, k ∈ℕ. 9$

б) да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#31833Максимум баллов за задание: 7

Натуральное $61$ -значное число $A$ записывается только цифрами $2$ , $3$ и $4$ . При этом двоек на $19$ больше, чем четверок. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$ .

Источники: ОММО-2014, номер 3, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, чему равен остаток от деления числа на 9.

Подсказка 2

При делении на 9 остаток равен остатку от деления суммы его цифр на 9. Тогда давайте найдем её.

Подсказка 3

Пускай двоек было x, тогда четверок было x - 19, а троек 61 - 2x + 19 = 80 - 2x. Теперь можно найти сумму цифр и остаток от деления на 9.

Показать ответ и решение

Пусть в числе $a$ двоек, $b$ троек, $a− 19$ четвёрок. Тогда всего цифр $2a +b− 19= 61 ⇐⇒ 2a+ b= 80$ . При делении на $9$ число даёт такой же остаток, какой даёт его сумма цифр, то есть

2⋅a+ 3⋅b+4 ⋅(a− 19)=6a+ 3b− 76 =3⋅80− 76= 164≡9 2

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#34659Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное число, кратное $495.$ Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на $495.$

Источники: Курчатов-2014, 10.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как здорово, что у нас существуют признаки делимости! К сожалению, человечество еще не придумало признака делимости на 495, но может быть, можно как-то решить этот вопрос?

Подсказка 2

Ага, смотрите-ка: если число делится на Х, то оно должно делиться на множители этого Х, а в нашем случае на множители 495! Например, на 5, 9 и 11! А что это значит..?

Подсказка 3

Смотрим, изменилась ли делимость на 5 (смотрим на последнюю цифру), на 9 (смотрим на сумму цифр), на 11 (смотрим на знакопеременную сумму цифр). Задача решена!

Показать доказательство

Первое решение.

После разложения на взаимнопростые множители $495= 9⋅5⋅11$ нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после вставки двух нулей) чисел.

$1$ ) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на $9.$

$2$ ) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на $11$ (или можно сказать, что суммы цифр на чётных и нечётных местах остались равны).

$3$ ) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на $5.$

Второе решение.

Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через $x$ (сразу заметим, что $x$ делится на $10$ , потому что у этого числа на конце нули), после — через $y.$

Тогда исходное число это $x +y,$ а новое число равно $100x+ y = (x+y)+ 99x.$

Из замеченной делимости на $10$ следует делимость числа $99x$ на $990= 495⋅2,$ а $x +y$ это исходное число, которое тоже делится на $495$ по условию.

В итоге и полученная сумма делится на $495.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#48589Максимум баллов за задание: 7

Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от $2$ до $2015.$ Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришла Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось $2014$ однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?

Источники: Ломоносов-2014, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хмм… В задаче фигурирует число и его сумма цифр… А что мы знаем про число и его сумму цифр?

Подсказка 2

Верно! Что они сравнимы по модулю 9. То есть если мы возьмем число, а потом заменим его, на его сумму цифр, то остаток mod 9 не поменяется. А если еще раз так сделаем? А еще? Что тогда в конечном итоге останется от изначального числа?

Подсказка 3

Да, останется остаток числа при делении на 9. Для всех чисел. Остается теперь правильно посчитать сумму остатков чисел от 2 до 2015 и задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

При взятии суммы цифр не меняется остаток при делении числа на $9$ . Поскольку все выписанные числа были положительными, то $0$ получиться не может и если число было кратно $9$ , то вместо него останется цифра $9$ . Поэтому остаётся посчитать количество остатков каждого вида.

Заметим, что $2016$ кратно $9$ , $2016 9 = 224$ , тогда если взять числа от $1$ , до $2016$ , то получится $224$ подряд набора вида ${1,2,...9}$ , сумма всех полученных чисел будет равна $45⋅224.$ Но мы не брали числа $1$ и $2016$ , потому нужно вычесть из суммы $10$ , откуда и получаем ответ $45⋅224− 10 =10070.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Число $a$ и сумма цифр числа $a$ при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд чисел: $2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,...,9,1$ , 2 , и так далее. Так как $2014 =9 ⋅223+ 7$ , то в этом ряду 223 раза встретится последовательность от 1 до 9 и будет ещё 7 цифр. Значит, ряд заканчивается цифрой 8, и искомая сумма чисел равна

(1+ 2+ ...+ 9)⋅224− 1− 9 =45⋅224− 10 =10070

Ответ:

$10070$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#31506Максимум баллов за задание: 7

Число $84605$ написали семь раз подряд, при этом получилось $35$ -значное число

84605846058460584605846058460584605.

Из этого $35$ -значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания $33$ -значное число делилось на $15$ . Сколькими способами это можно сделать?

Источники: Физтех-2013, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно, чтобы наше число делилось на 15. Значит чего необходимо и достаточно? Как этого добиться? Верно, нужно, чтобы число делилось на 3 и на 5.

Подсказка 2

Чтобы число делилось на 5 нужно, чтобы последняя цифра была либо 5 либо 0. Значит нельзя вычеркнуть две последние цифры одновременно. Делимость на 3 обеспечивается суммой цифр. Сумма цифр вполне понятна. Тогда на что лучше заменить каждую из цифр в числе?

Подсказка 3

Верно, на остаток по модулю 3. Тогда, чтобы число делилось на 3, нужно вычеркнуть либо 2 единицы, либо ноль и двойку. Осталось учесть, что один из вариантов нам не подходит (так как нельзя вычеркнуть последние две цифры одновременно), и посчитать количество вариантов по каждому случаю.

Показать ответ и решение

Для того, чтобы число делилось на $15,$ необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на $3$ и на $5$ . Для делимости на $5$ нужно, чтобы последняя цифра числа была $0$ или $5.$ Значит, полученное число будет делиться на $5,$ если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдём к делимости на $3$ .

Если в числе заменить все цифры $8$ и $5$ на $2$ , цифры $4$ на $1,$ а цифры $6$ на $0,$ то остаток от деления числа на $3$ не изменится (остаток от деления числа на $3$ равен остатку от деления суммы цифр этого числа на $3$ ). Нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа $X = 21002210022100221002210022100221002$ так, чтобы полученное число делилось на $3$ . Сумма цифр числа $X$ равна $35$ . Чтобы после вычёркивания сумма цифр делилась на $3$ , мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль.

а) Количество способов вычеркнуть две единицы равно $2 C7 = 21$

б) Количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно $C114⋅C114 =14⋅14= 196.$

Но в пункте (б) мы подсчитали способ, при котором вычеркнуты последние две цифры. Такого допускать нельзя, чтобы не нарушить делимость на $5$ . Этот способ нужно вычесть. Так что в итоге получаем $21+ 196− 1= 216$ способов.

Ответ:

$216$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#34656Максимум баллов за задание: 7

Найдите число $ab,$ если известно, что число

2◟011..◝◜.2011◞a2011b2◟011..◝.◜2011◞ 101раз 101 paз

делится на $99.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас спрашивают о делимости, значит, стоит подумать, а какие признаки или свойства делимости могут нам помочь.

Подсказка 2

99=9*11, значит, нужны свойства делимости на 9 и 11. Что нужно, чтобы их применить?

Подсказка 3

Нам нужны сумма цифр и знакочередующаяся сумма цифр. Можно разобраться с ними по очереди. Считать все это будет весьма неприятно, поэтому, может быть, можно сделать что-то, что максимально сократит вычисления?

Подсказка 4

Подумайте, может, какое-то действие будет повторяться сразу много раз, причем одинаково? Возможно, их можно как-то объединить между собой?

Подсказка 5

Если идти по порядку, нас много раз будет записано "2+0+1+1", значит, достаточно знать, сколько раз это будет сделано! Теперь все, что нам нужно — это подобрать такие a и b, при подстановке которых исходное число будет делиться на 9 и 11. Раз мы говорим о делимости, то, может, можно записать суммы как-то иначе?

Подсказка 6

Вспомним об арифметике остатков! Значит, можем найти, какой остаток будет давать сумма а и b при делении на 9.

Подсказка 7

Не забывайте, что а и b — это цифры, значит, какие значения может принимать их сумма?

Подсказка 8

Теперь сделаем все то же самое для 11, только на это раз с чередованием знаков — снова заметим некоторую закономерность и воспользуемся арифметикой остатков, но теперь сможем определить значение разности а и b.

Подсказка 9

Осталось перебрать варианты сочетания суммы и разности, не забыв, что вы ищете именно цифры.

Показать ответ и решение

Данное число должно делиться на $9,$ то есть иметь сумму цифр, кратную $9,$ и делиться на $11,$ то есть иметь знакочередующуюся сумму цифр, кратную $11.$

Сумма цифр числа равна

203⋅(2+ 0+1 +1)+ a+b ≡5⋅4+ a+ b≡ 2+ a+b (mod 9)

Значит, $a+ b≡7 (mod 9),$ то есть $a +b= 7$ или $a+ b=16,$ так как $a$ и $b$ — цифры.

Знакочередующаяся сумма равна

(2− 0+ 1− 1)+ (2 − 0+ 1− 1)+...+

+ (2 − 0+ 1− 1)+(a− 2+0 − 1+ 1− b)+ (2− 0 +1− 1)+...+(2− 0+ 1− 1)=

= 2⋅101+ (a− b− 2)+2⋅101≡ 2⋅2+(a− b− 2)+ 2⋅2≡ 6+ a− b (mod 11)

то есть $a− b≡ 5 (mod 11).$ Так как $a$ и $b$ — цифры, то $a− b=5$ или $a− b= −6.$ Из первого ограничения на $a$ и $b$ ( $a+ b= 7$ или $a+ b= 16$ ) мы знаем, что $a$ и $b$ или разной четности, или одной четности соответственно, а значит, $a− b= 5$ и $a+b =7$ или $a− b= −6$ и $a+ b= 16.$

Тогда

({ a+ b= 7 (a− b= 5

( {a+ b= 7 (2a= 12

( {a =6 (b =1

или

({a +b= 16 ( a − b= −6

( { a+b =16 ( 2a =10

( {a= 5 (b= 11

Но $b$ — цифра, значит, вторая система не имеет решений. Получили единственное решение: $a = 6,b= 1.$

Ответ:

$61$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#84801Максимум баллов за задание: 7

Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы полученное число было:

а) кратно 3; б) кратно 9. Рассмотрите все возможные случаи.

(a) 25*31 (b) 3*7231 (c) 74197583*134

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните признаки делимости на 3 и 9 :)

Подсказка 2

Обозначьте неизвестную цифру через x и рассмотрите сумму цифр чисел. Не забывайте, что x — цифра, а значит принимает значения от 1 до 9.

Показать ответ и решение

а) (a) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

2+ 5+ x+ 3+1 =11+ x

Ближайшее числа кратные 3 — 12, 15, 18. Следующее число — 21. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x= 1,4,7.$

(b) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

3+ x+7 +2+ 3+ 1= 16+x

Ближайшее числа кратные 3 — 18, 21, 24. Следующее число — 27. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x= 2,5,8.$

(c) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

7 +4+ 1+ 9+ 7+5+ 8+ 3+ x+ 1+3 +4= 52+ x

Ближайшее числа кратные 3 — 54, 57, 60. Следующее число — 63. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x= 2,5,8.$

б) (d) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

2+ 5+ x+ 3+1 =11+ x

Ближайшее число кратное 9 — 18. Следующее число — 27. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x =7.$

(e) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

3+ x+7 +2+ 3+ 1= 16+x

Ближайшее число кратное 9 — 18. Следующее число — 27. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x =2.$

(f) Обозначим за $x$ неизвестную цифру. Заметим, что $x$ больше или равен 0 и меньше 10. Посчитаем сумму всех цифр числа:

7 +4+ 1+ 9+ 7+5+ 8+ 3+ x+ 1+3 +4= 52+ x

Ближайшее число кратное 9 — 54. Следующее число — 63. Но тогда $x$ будет больше 9. Значит, $x =2.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#84802Максимум баллов за задание: 7

Крош написал на доске число 2023. Какое наименьшее количество раз подряд ему придется записать это число, чтобы получившееся число делилось на 9? Объясните, почему ваш ответ подойдет и почему меньше записать не получиться.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните признак делимости на 9 :)

Подсказка 2

Итак, пусть 2023 написали n раз. Значит, сумма цифр равна 7n и должна делиться на 9. Что можно сказать про n?

Показать ответ и решение

Сумма цифр числа 2023 равна: $2+ 0+ 2+3 =7.$ При этом 7 не делится на 9. По условию необходимое число должно быть получено из числа 2023 записанного несколько раз подряд. Тогда число 2023 было записано $n$ раз на доске. Сумма цифр полученного числа будет равна $n ⋅7.$ То есть $n$ должно быть кратно 9. Тогда $n= 9.$ Действительно, наименьшее число, которое делится и на 9, и на 7 — это 63. Крошу нужно записать число 2023 на доске 9 раз.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#84803Максимум баллов за задание: 7

Вася записал на доске равенство: $1⋅2⋅3+4 ⋅5 ⋅6 +...+ 97 ⋅98⋅99= 1199898988$ . Верно ли данное равенство?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, имеется некоторое равенство двух чисел. Не совсем понятно, как проверять его справедливость, потому что выражение слева вычислить проблематично. Зато можно попробовать найти какое-то противоречие с делимостью: одно число на что-то делится, а другое — нет.

Подсказка 2:

Чтобы выбрать удобное число для проверки на делимость, нужно внимательно посмотреть на левую часть. Там каждое слагаемое — произведение трёх последовательных чисел. Дак какое число берём?

Подсказка 3:

Попробуйте найти остатки чисел слева и справа при делении на 3.

Показать ответ и решение

Посмотрим на левую часть равенства и заметим, что в каждом слагаемом есть множитель, кратный 3. тогда и сумма этих слагаемых так же будет кратна 3. Не выполняя вычислений, посмотрим на правую часть равенства. Тогда и числот в правой части равенства тоже должно быть кратно 3. Проверим:

1+1 +9+ 9+ 8+ 9+8 +9+ 8+ 8= 70

Но 70 не делится на 3. Получается, 1199898988 не делится на 3 по признаку делимости. Значит, данное равенство неверно.

Ответ: Неверно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#84804Максимум баллов за задание: 7

Лосяш сказал, что любое натуральное число, которое в три раза больше суммы своих цифр, точно делится на 27. Прав ли он?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Речь идёт о делимости на степень тройки и сумме цифр. Значит, стоит поработать с признаком делимости на 3 и 9.

Подсказка 2

Пусть S — сумма цифр числа n. Значит, n = 3S. Таким образом, n кратно 3. А что можно сказать про S? Попробуйте развить эту мысль.

Показать ответ и решение

Обозначим сумму цифр исходного числа через $S.$ По условию сказано, что число больше в три раза суммы своих цифр — $n= 3⋅S.$ То есть $n$ делится на 3. Значит, по признаку делимости на 3, сумма цифр этого числа тоже делится на 3. Тогда $S$ можно представить как $3⋅k,$ получаем $n= 3⋅S = 9⋅k.$ Это означает, что исходное число делится на 9. Тогда и сумма цифр исходного числа делится на 9. Итак, $S$ делится на 9: $S = 9⋅m.$ Значит, $n = 3⋅S = 27⋅m$ — то есть делится на 27. Лосяш прав.