Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах → .05 Линейные диофантовы уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#102755

Решите в целых числах уравнение:

(a) $4x+ 5y = 1;$

(b) $5x− 9y = 24.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Перед нами диофантово уравнение, поэтому мы можем найти лишь одно решение, а остальные записать через него. Давайте подставим какие-то маленькие значения x и y.

Подсказка 2, пункт а

x = -1, y = 1 является решением! Осталось вспомнить, как же выражаются другие решения через него ;)

Подсказка 3, пункт а

x = -1 - 5t, y = 1 + 4t, где t -- целое.

Подсказка 1, пункт б

Давайте подбирать y небольшим, прибавлять к 9y 24 и смотреть, не делится ли число на 5.

Подсказка 2, пункт б

x = 12, y = 4 является решением! Тогда, аналогично пункту a, можно остальные решения выразить через текущее!

Показать ответ и решение

(a) Найдём частное решение уравнения. Пусть $(x;y)= (−1;1).$ Проверим, подставив в уравнение:

4⋅(−1)+ 5⋅1= 1 =⇒ 1 =1 =⇒ (− 1;1)— является реш ением.

Тогда общим решением уравнения будет:

{ x= −1− 5t y =1 +4t , t∈ ℤ

(b) Найдём частное решение уравнения. Пусть $(x;y)= (12;4).$ Проверим, подставив в уравнение:

5 ⋅12− 9⋅4= 24 =⇒ 24= 24 =⇒ (12;4)— является реш ением.

Тогда общим решением уравнения будет:

{ x= 12+ 9t y =4 +5t , t∈ℤ

Ответ:

(a) $(−1 − 5t;1+ 2t),t∈ℤ;$

(b) $(12+ 9t;4+ 5t),t∈ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116004

Среди всех обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую, чем $3 4.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем поискать дроби, которые отличаются от 3/4 на дробь, вид которой мы знаем. Причем нам хочется, чтобы это отличие было как можно меньше.

Подсказка 2

Найдите дробь, которая отличается от 3/4 на 1/k, где k — целое. Что можно сказать про k?

Подсказка 3

Итак, мы знаем, что числитель и знаменатель искомой дроби выражаются через k. Может ли такая дробь быть несократимой, если мы минимизируем k?

Подсказка 4

Хотелось бы сделать дробь сократимой! Тогда нужно аккуратно найти НОД числителя и знаменателя ;)

Показать ответ и решение

Требуется найти такую дробь $a, b$ при которой

a 3 4a−-3b b − 4 = 4b

достигает минимума. Поэтому хотим максимизировать двузначное число $b.$ Заметим, что если $b≥50,$ то минимум $4a−3b -4b-$ достигается при

4a− 3b= 1

Так как в ином случаи, если возьмём дробь с неединичным числителем, то мы можем сравнить её с дробью с единичным числителем, домножив числитель и знаменатель дроби с единичным числителем и сравнив только знаменатели получившихся дробей. Но знаменатель заведомо будет больше у дроби, получившейся из дроби с единичным числителем, засчёт большего числа разрядов в числе, ибо $b≥ 50.$

Решаем уравнение $4a− 3b= 1.$ Так как $4a−1- a−1 b= 3 =a+ 3$ — целое, то $a= 1+ 3k,$ где $k$ — произвольное целое число. Поэтому $b= 1+ 4k.$

Максимальным $k,$ при котором $a$ и $b$ двузначные, будет $k =24.$ Поэтому $b= 97$ и $a =73,$ то есть искомая дробь: $a 73 -b = 97.$

Ответ:

$73 97$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#115887

Перед чемпионатом мира по футболу тренер сборной России решил провести три тренировочных матча (каждый продолжительностью $90$ минут) с участием семи игроков, чтобы оценить их навыки. В любой момент времени во время матча на поле находится ровно один из них. Суммарное время (измеряемое в минутах), проведённое на поле каждым из четырёх первых игроков, должно быть кратно $7,$ а для каждого из трех оставшихся — кратно $13.$ Количество замен игроков во время каждого матча не ограничено. Сколько существует возможных распределений игрового времени между игроками при заданных условиях?