Уравнения в целых числах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные и
такие, что
и
является степенью двойки.
Подсказка 1:
Попробуйте разложить a^n + a - 2 на множители.
Подсказка 2:
Например, нетрудно заметить, что при a = 1 выражение обнуляется. Значит, оно делится на a - 1. Чему будет равна вторая скобка?
Подсказка 3:
Если произведение скобок равно степени двойки, то каждая из скобок - степень двойки.
Подсказка 4:
Попробуйте обозначить скобку a - 1 через 2^k и поищите остаток второй скобки при делении на 2^k. И не забудьте про условие.
Заметим, что поэтому само число
является степенью двойки. Пусть
Имеем следующее разложение:
Произведение является степенью двойки, значит, каждый множитель тоже степень двойки. Посмотрим на большую скобку по модулю
Каждое слагаемое внутри сравнимо с единицей, поэтому вся сумма сравнима с
что строго меньше, чем
— противоречие, так
как число в скобках не меньше чем
и при этом степень двойки.
Таких нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные числа такие, что
Могут ли оба числа и
быть точными квадратами?
Подсказка 1
Попытки найти требуемые x, y, z, t не увенчались успехом. Давайте докажем, что таких чисел не существует. Какие существуют способы доказывать, что некоторое число не является квадратом натурального?
Подсказка 2
Можно зажать данное число между двумя квадратами. Правда, пока неясно для какого из чисел данное условие необходимо проверять. Давайте пока попробуем преобразовать исходное уравнение. Следить сразу за 4 переменными трудно, часто большое количество равенств позволяет сократить количество рассматриваемых чисел с помощью замены. Какую замену можно сделать здесь?
Подсказка 3
Для начала давайте снизим количество рассматриваемых переменных до 3. Известна замена s = (x+y)/2, p = (x-y)/2 (без ограничений общности можно считать, что x хотя бы y). Докажите, что s и p являются целыми, сделайте аналогичную замену для чисел z и t и выразите xy-zt через новые переменные.
Подсказка 4
Пусть q = (z-t)/2, тогда имеем 2s = xy-zt = q^2 - p^2. Придумайте новую замену, которая позволит выразить исходные числа x, y, z, t через 2 данных числа.
Подсказка 5
Пусть k = (q-p)/2, l = (q+p)/2. Как выразить числа x, y, z, t только через k и l?
Подсказка 6
Имеем x = 2kl-k+l и подобные. Кажется, теперь мы полностью воспользовались данным равенством. Теперь необходимо определится с числом, которое будем зажимать между квадратами.
Подсказка 7
Скорее всего, нет проблемы в том, чтобы по отдельности числа xy и zt были квадратами. Но если каждое из них является квадратом, то и их произведение является квадратом. Как оно выражается через числа k и l?
Подсказка 8
Получим xyzt = (4k²l² - k² - l²)² - 4k²l². Каким квадратом можно оценить данное число сверху?
Подсказка 9
Числом D² = (4k²l² - k² - l²)². Осталось показать, что xyzt > (D-1)².
Предположим, что число нечётное. Тогда
и
имеют разную чётность, как и
и
Это означает, что оба числа
и
чётные, как и
— противоречие. Таким образом,
чётное, и число
является натуральным.
Заметим, что тогда числа
являются целыми (без ограничений общности, будем считать, что Имеем
так что и
имеют одинаковую чётность, и
Положим теперь ,
Тогда
и, следовательно,
Тогда и, более того,
так как иначе
Предположим теперь, что оба числа и
являются квадратами. Тогда
также является квадратом. С другой стороны,
имеем
Обозначим тогда
С другой стороны,
поскольку и
Таким образом,
и
не может быть полным квадратом — противоречие.
Не могут
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все простые для которых найдутся натуральные числа
и
такие, что
Подсказка 1
Раз p простое, мы хотим получить равенство, где будет какое-то произведение скобок, а с другой стороны p, при этом в условии есть точный квадрат 25, так что хочется поискать разность квадратов.
Подсказка 2
Мы предположили, что второе равенство надо брать с коэффициентом ±1, и найти ещё какой-то квадрат, видимо, с переменными. В силу симметрии он должен выглядеть как (ax+bx)².
Подсказка 3
Можно написать уравнение на x и выяснить, что для выделения полного квадрата нужно взять первое равенство с коэффициентом 17. Теперь у нас есть две скобки, в произведении дающие 17p, осталось дорешать задачу.
Заметим, что
Понятно, что первая скобка меньше второй. Если то
что невозможно. Если
и
то
— противоречие. Наконец, если
то
Для него подойдут
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все тройки натуральных чисел таких, что числа
являются факториалами некоторых натуральных чисел.
Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом
натурального числа
называется произведение всех натуральных
чисел от
до
включительно.
Источники:
Подсказка 1
Пожалуй, единственное, с чем удобно работать, когда в задаче фигурируют факториалы — это делимость на какие-то числа. Видимо, мы хотим понять, что если все три факториала не меньше n! при некотором n, то возникает какое-то противоречие с делимостью.
Подсказка 2
На самом деле, далеко ходить не нужно. Предположим, что все три факториала не меньше 3!. Что можно сказать про остатки при делении на 3 у a, b, c?
Кроме случая, когда хотя бы два из чисел равны
все числа
не меньше
и являются факториалами чисел,
не меньших
Рассмотрим остатки от деления чисел
от деления на
Заметим, что при
остаток от деления числа
на
равен
Несложно убедиться, что для чисел вида
такое возможно, только если остаток одного из чисел
равен
а другого
Следовательно, остатки от деления
на
могут равняться только
или
среди них есть равные, остаток от деления
произведения которых, увеличенный на
равен
а не
как требуется. Значит, среди чисел
хотя бы два равны
а
третье может быть любым вида
для некоторого натурального
и тогда числа вида
равны
Все тройки натуральных чисел, два из которых равны а третье равно
для произвольного натурального
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение в целых числах:
Источники:
Подсказка 1
Вид самого уравнения намекает на то, что можно попробовать выделить полные квадраты. Какие и как?
Подсказка 2
Попробуем перенести все в одну сторону и домножить на 2, после посмотреть, что получается (так легче будет заметить члены из полных квадратов).
Подсказка 3
Вообще, уже получили достаточно хороший вид, однако остаётся x² - 2x. Добавим 1 к обоим частям уравнения, чтобы получить полный квадрат. Теперь все слагаемые — полные квадраты, а справа — 1. Что нам это дает?
Подсказка 4
У нас остается не так много случаев из-за того, что эти квадраты — целые и неотрицательные. В частности, тогда одно из них равно 1, а другие два равны 0. Достаточно разобрать эти случаи, чтобы получить ответ!
Перенесем вправо и получим
Домножим на два и переставим слагаемые
Добавим к обеим частям и разделим оба квадрата на два слагаемых:
Выделим полные квадраты!
Так как и
— целые, каждое из слагамых в левой части является целым неотрицательным числом. Тогда их сумма может быть
равна
только если одно из слагамых равно
а два других равны
Разберем случаи, когда два слагаемых равны В случае
получаем
— подходит. Если
то
— тоже подходит. Наконец, при
получаем
оно тоже подходит.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары числел где
простое, а
целое и при этом
В ответе укажите значения
Если их
несколько, перечислите их в любом порядке через запятую.
Источники:
Подсказка 1
Хотим использовать малую теорему Ферма (МТФ). Посмотрим на левую часть: по какому модулю удобно рассматривать остаток?
Подсказка 2
Рассматриваем остаток по модулю 5 (тогда возникает требование, что p не равно 5), так как по МТФ p⁴ дает остаток 1 по модулю 5. Вся левая часть, получается, дает остаток 2 по модулю 5. Теперь посмотрим на правую часть. Сразу видно, что второе слагаемое дает остаток 0 по модулю 5 (так как имеет вид 5*q). Что тогда можно сказать о n²?
Подсказка 3
Получается, n² должно давать остаток 2 по модулю 5. Рассмотрим различные случаи остатков. Какой вывод можем сделать?
Подсказка 4
Да, n² не может давать остаток 2 по модулю 5. Тогда у нас остается единственное возможное значение p: p = 5. Тогда наше уравнение превращается в квадратное, которое легко решается!
Согласно малой теореме Ферма, если число
даёт остаток 1 при делении на 5. Число 211 также даёт остаток 1 при
делении на 5. И
делится на
Значит, если
мы получаем, что
даёт остаток 2 при делении на 5, что
невозможно.
Осталось разобрать случай В этом случае нам надо решить квадратное уравнение
Откуда получаем два решения: и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число Натуральное число
назовём удачным, если найдутся
последовательных натуральных
чисел, сумма которых равна сумме
следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел
нечётно.
Источники:
Подсказка 1:
Ясно, что m > n. Давайте для удобства обозначим m = n + k и будем считать количество таких k. Осталось записать условие на равенство сумм, пользуясь формулой суммы членов арифметической прогрессии.
Подсказка 2:
Пусть первой наименьшее число среди n чисел равно x. Тогда у вас должно получиться равенство, в котором участвуют x, k и n. Обратите внимание на чётность множителей.
Подсказка 3:
У вас должно было получиться равенство (2x + k - 1)k = 2n². Давайте заметим, что у 2n² нечётное количество нечётных делителей. А сколько значений х соответствует распределению делителей по скобочкам?
Решение 1. Ясно, что положим
где
— натуральное, и будем искать количество подходящих
то есть таких
для которых уравнение
имеет решение в натуральных Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:
Умножив на и приведя подобные слагаемые получаем:
Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении при этом левый сомножитель
больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель
числа
то, зная
найдём дополнительный
делитель
и далее из системы
однозначно находим натуральное
(равное
Итак, количество подходящих равно количеству нечётных делителей числа
которое, в свою очередь, равно количеству всех
делителей числа
где (нечётное)
получается из
делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение
Но
количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа
кроме
можно разбить на пары:
и только
делитель
остаётся без пары).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Решение 2.
Очевидно, где
натуральное. Запишем равенство из условия в виде
Отсюда:
Чтобы условие задачи выполнялось с данным необходимо и достаточно, чтобы
было целым неотрицательным.
Положим где
нечётное,
целое неотрицательное. Тогда
будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**)
целые
(б) если оба они полуцелые
Первый случай имеет место, когда
— нечётный делитель числа
то есть делитель числа
Количество
таких значений
нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает,
что
где — делитель числа
Между первым и вторым множеством значений
есть биекция: каждому
из первого множества
соответствует число
из второго множества, и обратно.
Пусть — пара из указанной биекции, причём
Тогда при
получится неотрицательное
а при
отрицательное.
Действительно, в силу
требуется проверить неравенство
Но что и требовалось. Поэтому подходящих значений
будет ровно
то есть нечётное
количество.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трёхзначное число состоит из цифр и обладает следующими свойствами:
цифра в разряде единиц равна последней цифре числа
цифра в разряде десятков равна последней цифре числа
цифра в разряде сотен равна последней цифре числа
Найдите все такие числа.
Источники:
Подсказка 1
Обратите внимание, что последняя цифра суммы а + b + с равна с. Это означает, что а + b должно быть кратно 10. Какие пары цифр а и от 1 до 9 дают в сумме 10?
Подсказка 2
Как можно переписать условие "ab + bc + са оканчивается на b"? Попробуйте выразить это через а, b и с, со старыми ограничениями. Какие новые ограничения на с это накладывает?
Подсказка 3
Финишная прямая! Рассмотрите два основных варианта: Если b = 5, то а = 5. Какие с подойдут? Если а = 1, то b = 9. Какое с даст abc, оканчивающееся на 1? Не забудьте проверить а = 6, b = 4.
Заметим, что можно, не умаляя общности, считать, что наше трёхзначное число — это именно так как числа
— симметричные выражения относительно
. Тогда по условию
равно последней цифре числа
но тогда
так как разряд единиц обнулился, то есть
где
так как
Но
значит,
откуда
, то есть
и
Аналогично, так как последняя цифра числа совпадает с
то
Перепишем иначе:
где Тогда
то есть При этом
значит, либо
, либо
(так мы
обеспечим делимость на
Разберём случаи:
- 1.
-
— противоречие.
- 2.
-
Если
то
оканчивается на
то есть
— противоречие. Значит
Заметим, что все эти числа подходят, так как
то заканчивается на
тоже заканчивается на
- 3.
-
Знаем, что последняя цифра числа
равна
то есть
заканчивается на
при этом
а наименьшее натуральное число, кратное
и оканчивающееся на
— это
То есть
— подходит.
- 4.
-
Знаем, что последняя цифра числа
равна
тогда
- 4.1.
-
— подходит.
- 4.2.
-
— подходит.
Итого, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки натуральных чисел являющиеся решением уравнения
Источники:
Подсказка 1
Обратите внимание, число 2^{xy} почти всегда значительно больше числа 2^{x + y}. Попробуйте формализовать эту идею.
Подсказка 2
Пусть x, y ≥ 6. Давайте зафиксируем y, выразим z через x и y. Осталось показать, что при больших х это выражение будет меньше 1, значит, решений не будет.
Подсказка 3
Доказывать стоит по индукции. Глобальная идея — показать, что знаменатель выражения увеличивается в большее количество раз, чем числитель при увеличении x.
Задача симметрична относительно и
Пусть
Тогда
или
чего не бывает. Значит,
Аналогично,
Пусть
Тогда
или
Тогда получаем решения при
при
при
При
по индукции покажем, что
то есть решений нет. База при
верна. Рассмотрим
следующие оценки числителя и знаменателя в переходе
и
то есть числитель увеличился
менее, чем вдвое, а знаменатель более, чем вдвое, значит,
уменьшилось. Теперь можно считать, что
Тогда
Пусть
Тогда
то есть равенства нет. Тогда и
Покажем, что при
Снова используем индукцию: пусть
Тогда при
получаем
Теперь
переход индукции:
что и требовалось. Оценим левую часть, используя полученное неравенство:
Далее то есть
Тогда в левой части
Пусть
Тогда
по прошлой оценке, то есть равенство возможно только при Теперь пусть
или
хотя бы
Тогда
и
что снова противоречит оценке правой части. Значит, Подставляя тройку
понимаем, что это не будет решением.
Итого, мы получили ответ из шести троек (учитывая то, что есть симметричные для
и
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары целых чисел удовлетворяющих уравнению
Заметим, что правая часть уравнения представляется в виде
Перенесём в левую часть. Тогда, пользуясь формулой разности квадратов, получаем:
Числа и
имеют одинаковую чётность (и одинаковый знак), поэтому одно из них
а другое
Разберём
эти случаи:
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
- 4.
-
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все такие пары целых чисел и
, что
Подсказка 1:
Давай заметим, что в правой части равенства почти полный квадрат. Не хватает 1. Давайте добавим её слева и справа.
Подсказка 2:
Также хотелось бы разложить на скобочки левую часть, притом желательно на взаимно простые. Если не получается угадать разложение, рассмотрите выражение слева как квадратный трёхчлен относительно (n-2)!.
Подсказка 3:
Итак, вы получили равенство ((n - 1)! - 1)((n - 2)! - 1) = (m - 1)². Являются ли скобки в левой части взаимно простыми?
Подсказка 4:
Для дальнейших продвижения необходимо вспомнить, что если произведение взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из них является квадратом. Кстати, почему это так?
Подсказка 5:
Теперь осталось показать, что при больших n какая-то из скобок не сможет быть большим квадратом. Учитывая особенности факториалов, стоит подумать про остатки. Например, при делении на 4 квадраты могут иметь далеко не все остатки.
Заметим, что
Пусть Заметим, что числа
и
взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся
на простое число
Тогда число
тоже делится на Тогда
делится на
а
не кратно
противоречие. Таким образом, произведение взаимно
простых чисел
и
—– точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако, число
при
даёт остаток 3 при делении на 4, поэтому оно точным квадратом быть не может. Остаётся разобрать случаи
При
получается
решений нет. При
мы получаем:
что даёт единственное решение
,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные числа, представимые в виде для некоторых натуральных
и
(здесь
— наименьшее
общее кратное чисел
и
).
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробует разделить числа по некоторым признакам и доказывать, что одно семейство представимо, а другое — нет.
Подсказка 2
Заметим, что 1 не представляется в таком виде. А как насчёт остальных нечётных чисел?
Подсказка 3
Вспомните, что нечётные натуральные числа — это числа вида 1+2k, где k — натуральное или 0.
Подсказка 4
[1,1] + [k,1] + [1,k] = 1 + 2k, следовательно, все нечётные числа, кроме 1, представимы. Какие еще множества можно выделить?
Подсказка 5
Давайте посмотрим на числа, имеющие нечётный делитель, больший 1.
Подсказка 6
А что значит "нечётный делитель, больший 1"? Какое это число?
Подсказка 7
Должен быть делитель вида 1+2k, где k — натуральное. Попробуйте подобрать такие числа, чтобы в сумме НОК-ов как раз получилось (2k+1).
Подсказка 8
Например, это можно сделать так: [2ˢ, 2ˢ] + [2ˢk, 2ˢ] + [2ˢ, 2ˢk] = 2ˢ(2k+1). То есть, все числа с нечётными делителями рассмотрены. Какие числа осталось рассмотреть?
Подсказка 9
Осталось рассмотреть степени двоек. Попробуйте придумать пример.
Подсказка 10
Вряд ли у Вас получилось. (: Давайте пойдем от противного: предположим, что 2ᵗ представимо. Может, выберем какое-то определенное t для удобства?
Подсказка 11
Выберем наименьшее t. Какими могут быть числа a, b и c?
Подсказка 12
Можно считать, что среди этих чисел есть нечётные, иначе мы бы могли сократить их на 2 и уменьшить минимальное t.
Подсказка 13
Пусть числа a, b — четные, а с — нечетное. Тогда a = 2ᵐa₁, b = 2ⁿb₁, где a₁ и b₁ — нечётные. Давайте попробуем оценить степени вхождения двойки в каждое из слагаемых представления.
Подсказка 14
Рассмотрите возможные отношения между m и n и получите противоречия с величиной t.
Заметим, что число 1 не может быть представлено в таком виде.
Докажем, что все нечетные числа, кроме единицы, представляются в таком виде:
Докажем, что все числа, имеющие нечетный делитель, больший единицы, представляются в таком виде:
Предположим, что степени двойки представляются в таком виде. Тогда число представимо. Выберем наименьшее такое
Без
ограничения общности можно считать, что среди чисел
и
есть нечетные, ведь иначе мы можем сократить все числа на
наименьшую степень вхождения двойки и уменьшить число
Тогда что среди чисел
и
должно быть ровно 1 нечетное и 2 четных. Будем считать, что
— нечетное,
где
— нечетные.
Если (случай
аналогичен), то степени вхождения двойки в числа
и
равны
и
соответственно.
Но тогда в сумму двойка входит в степени
поэтому сумма не может равняться степени двойки.
Значит,
Представимая степень двойки уменьшилась, следовательно, мы получили противоречие.
Все натуральные числа, кроме где
— целое неотрицательное число.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если — точный куб, то число
не может быть точным кубом.
Пусть — точный куб, тогда так как
— тоже точный куб, то
— куб натурального числа.
Тогда мы имеем два куба отличающихся на единицу, значит, больший из двух кубов равен 1, а меньший равен 0, в этом случае
что противоречит условию, значит, предположение было неверным, то есть
не может быть точным
кубом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа удовлетворяют соотношению
. Докажите, что
— составное число.
Из условия следует Предположим, что исходное выражение простое число, и преобразуем его:
Теперь заметим, что правая скобка всегда больше 1 из натуральности поэтому
Подставим полученное в равенство
из условия:
Раскроем скобки в
То есть
так что если
то равенства не будет, значит,
Аналогично
При
равенство тоже не выполняется,
значит, выражение из условия было составным числом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа таковы, что
Докажите, что
Первое решение. Выражение симметрично относительно так что можно считать
Тогда из натуральности получаем
и
Из таких неравенств на числитель и знаменатель первых двух дробей получаем, что должны
выполняться точные равенства. Значит,
и
но
между ними, так что
что и требовалось
доказать.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Пусть
Тогда имеем
Вычитая полученные равенства, получаем
Если то, сократив, получим равенство
С другой стороны, левая часть очевидно больше 0, а правая — меньше,
откуда получаем противоречие. Значит,
Аналогично получаем
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные и простые
такие, что
Подсказка 1:
Было бы здорово разложить левую часть на множители, ведь простое число имеет не слишком много делителей.
Подсказка 2:
Для разложения можно попробовать выделить полный квадрат и посмотреть, что получается. Либо же воспользоваться методом неопределённых коэффициентов.
Подсказка 3:
Если произведение двух чисел равно простому, то одно из них равно 1, а другое — этому простому числу.
Разложим на множители:
Левая скобка всегда хотя бы 1, так как она равна Правая, очевидно, всегда больше 1. Значит, если результат выражения
простое число, то
то есть
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
Источники:
Подсказка 1
Так как у входит в уравнение только в первой степени, давайте выразим у через х, что у нас получится? Как можно использовать тот факт, что х – целое число?
Подсказка 2
Выделим в полученной дроби целую часть и посмотрим на результат. В каких случаях полученное выражение будет целым?
Подсказка 3
Когда 2024/(2х + 1) – целое число! А сколько есть нечётных делителей у числа 2024 (не забудьте учесть отрицательные числа!)? Каждому такому делителю соответствует единственная пара чисел (х;у), так что количество нечётных делителей как раз и будет ответом к задачке)
Выразим
Разделим с остатком на
Тогда
Тогда является целым тогда и только тогда, когда 2024 делится на нечетное число
Знаем, что
Получаем,
что
может принимать значения делителей
а именно
Надо также учесть отрицательные числа, итого 8
значений.
решений
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки целых чисел такие, что:
- ,
- число не кратно 3 ,
- число является квадратом некоторого простого числа,
- выполняется равенство .
Подсказка 1
Во-первых, давайте поймем, что если (a - c)(b - c) = p^2, то у нас есть не так много возможных случаев, так как a - c и b - c - это делители p^2, а их у нас всего +-1,+-p,+-p^2. Значит, у нас всего 6 вариантов. А как можно, используя условие, еще сократить количество вариантов, которые надо перебрать?
Подсказка 2
Можно, используя условие a < b, сказать, что a - c < b - c => у нас есть два варианта: первая скобка равна 1, вторая p^2 или первая равна -p^2, а вторая -1. Хорошо, у нас получилась совокупность систем. Как нам её решить?
Подсказка 3
Во-первых, надо избавиться от c (ни к селу, ни к городу это с) и получить, что a - b = p^2 - 1. При этом, a - b (то есть, p^2 - 1) не кратно 3. Но любой ненулевой остаток квадрата числа дает 1 по модулю 3. Значит, p кратно 3. Что тогда можно сказать про a, b, c? Как меняется наша система?
Подсказка 4
Это значит, что p = 3, а значит, a - b = 8; a^2 + b = 1000. Остаётся решить квадратное уравнение на а, которое получается из этой системы, и найти все с, которые подходят.
Второе условие можно записать как
По условию это значит, что
Тогда
Следовательно, возможны следующие случаи
Из обеих совокупностей можно получить из которого можно получить, что
не делится на
Так как и
не делятся на
а среди последовательных
чисел обязательно найдется число, делящееся на
то
делится на 3. Но
— простое, значит,
Получаем следующую систему
Из последнего уравнения получаем, что
Теперь найдем
Тогда может равняться
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральное число имеет простой делитель
и другой делитель
связанный с
соотношением
.
Найти наименьшее возможное при этих условиях число
.
Источники:
Подсказка 1
Давайте раскроем скобки, приведём подобные и посмотрим на выражения слева и справа. Что можно сказать про p и q, исходя из того, что они делители числа n? Ведь слева у нас выражение без свободного коэффициента, зависящее от p и q, а справа n.
Подсказка 2
Верно, можно сказать, что 2p кратно q и q кратно p. Как можно сделать оценки на p и q?
Подсказка 3
Можно сказать, что q = kp. Но тогда 2p кратно kp. Равенства быть не может по условию, остаётся только вариант 2p^2 = n. Отсюда понятно, как искать min n: нужно найти min p при 2p^2 ≥ 2023.
Раскроем скобки:
Раз и
— это делители
то выражение в левой части должно делиться на
и
Следовательно, получаем
То есть тогда
откуда следует, что
или
Но так как
подходит только
Подставим:
Осталось перебрать чётные которые является удвоенным квадратом простого числа. Перебирая
получаем ответ
Проверка:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Простое и натуральные
и
удовлетворяют условиям
Найдите все такие тройки чисел
Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду Теперь давайте воспользуемся тем, что
правильным образом. Сделаем следующие преобразования:
При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда
нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда
и когда
Заметим, что
не подойдёт,
так как скобки у нас одной чётности. В первом случае
и тогда
Откуда натуральный корень только но тогда
Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя,
получаем, что
Откуда