Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80772

Найдите все тройки целых чисел $(a;b;c)$ такие, что:

- $a< b$ ,

- число $b− a$ не кратно 3 ,

- число $(a− c)(b− c)$ является квадратом некоторого простого числа,

- выполняется равенство $2 a + b= 1000$ .

Источники: Физтех - 2024, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте поймем, что если (a - c)(b - c) = p^2, то у нас есть не так много возможных случаев, так как a - c и b - c - это делители p^2, а их у нас всего +-1,+-p,+-p^2. Значит, у нас всего 6 вариантов. А как можно, используя условие, еще сократить количество вариантов, которые надо перебрать?

Подсказка 2

Можно, используя условие a < b, сказать, что a - c < b - c => у нас есть два варианта: первая скобка равна 1, вторая p^2 или первая равна -p^2, а вторая -1. Хорошо, у нас получилась совокупность систем. Как нам её решить?

Подсказка 3

Во-первых, надо избавиться от c (ни к селу, ни к городу это с) и получить, что a - b = p^2 - 1. При этом, a - b (то есть, p^2 - 1) не кратно 3. Но любой ненулевой остаток квадрата числа дает 1 по модулю 3. Значит, p кратно 3. Что тогда можно сказать про a, b, c? Как меняется наша система?

Подсказка 4

Это значит, что p = 3, а значит, a - b = 8; a^2 + b = 1000. Остаётся решить квадратное уравнение на а, которое получается из этой системы, и найти все с, которые подходят.

Показать ответ и решение

Второе условие можно записать как

2 (a − c)(b− c)=p , где p — простое число

По условию $a< b,$ это значит, что $a − c< b− c.$ Тогда

2 2 2 (a− c)(b− c)= p = 1⋅p =(−p )(−1)

Следовательно, возможны следующие случаи

{ a − c= 1 { a− c= −p2 b− c= p2 или b− c= −1

Из обеих совокупностей можно получить $b− a =p2− 1,$ из которого можно получить, что $p2 − 1$ не делится на $3.$

Так как $p+ 1$ и $p− 1$ не делятся на $3,$ а среди последовательных $3$ чисел обязательно найдется число, делящееся на $3,$ то $p$ делится на 3. Но $p$ — простое, значит, $p= 3.$

Получаем следующую систему

{ b− a= 8 2 a2+b =1000 =⇒ a +a− 992= 0

Из последнего уравнения получаем, что

{ a= 31 =⇒ b= 39 a= −32 =⇒ b =− 24

Теперь найдем $c$

[ c= a− 1 c= a+ p2 = a+ 9

Тогда $c$ может равняться

⌊ || c= 30 || c= 40 ⌈ c= −23 c= −33

Ответ:

$(31, 39, 30), (−32, −24, −33), (31, 39, 40),(−32, −24, −23)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83308

Натуральное число $n ≥2023$ имеет простой делитель $p >2$ и другой делитель $q,$ связанный с $p$ соотношением $(p− 1)(q+ 2)=n − 2$ . Найти наименьшее возможное при этих условиях число $n$ .

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки, приведём подобные и посмотрим на выражения слева и справа. Что можно сказать про p и q, исходя из того, что они делители числа n? Ведь слева у нас выражение без свободного коэффициента, зависящее от p и q, а справа n.

Подсказка 2

Верно, можно сказать, что 2p кратно q и q кратно p. Как можно сделать оценки на p и q?

Подсказка 3

Можно сказать, что q = kp. Но тогда 2p кратно kp. Равенства быть не может по условию, остаётся только вариант 2p^2 = n. Отсюда понятно, как искать min n: нужно найти min p при 2p^2 ≥ 2023.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

(p− 1)(q +2)= n− 2 =⇒ pq− q+ 2p − 2 =n − 2

pq− q+2p= n

Раз $p$ и $q$ — это делители $n,$ то выражение в левой части должно делиться на $p$ и $q.$ Следовательно, получаем

(|{ .. q. p |( 2p ... q

То есть $q = kp,$ тогда $2p ... kp,$ откуда следует, что $k =1$ или $k= 2.$ Но так как $q ⁄= p,$ подходит только $q = 2p.$ Подставим:

2 2p − 2p+ 2p= n

2p2 =n

Осталось перебрать чётные $n,$ которые является удвоенным квадратом простого числа. Перебирая $n ≥2023,$ получаем ответ $2⋅372 = 2738.$

Проверка:

(37− 1)(2 ⋅37+ 2)= 2⋅372− 2

(37− 1)(37+ 1)= 372− 1

Ответ: 2738

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85441

Простое $p$ и натуральные $x$ и $y$ удовлетворяют условиям

2x2−-1- 2 p = 7 =2y − 1

Найдите все такие тройки чисел $p,x,y.$

Показать ответ и решение

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду $x2 = 6y2− 3.$ Теперь давайте воспользуемся тем, что $p= 2y2− 1$ правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

2 2 2 x − y = 6y − 3

(x− y)(x+ y)= 3p

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как $x+y$ положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда $x − y =1,x+ y = 3p$ и когда $x− y = 3,x +y =p.$ Заметим, что $p= 2$ не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае $x= y+ 1$ и тогда

(y+1)2 = 7y2 − 3

3y2− y − 2= 0

Откуда натуральный корень только $y = 1,$ но тогда $p= 1.$ Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что $y =2.$ Откуда $p= 7,x= 5.$

Ответ:

$p =7,x= 5,y =2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85449

Найдите все такие натуральные $n,$ что $2n3 +n +3$ делится на $2n2 + n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем рассмотреть данное выражение по модулю числа, на которое нужно доказать делимость. Многоэтажная степень не очень приятна. Можно ли как-нибудь ее заменить?

Подсказка 2

Можно! Для этого заметим, что 2 в степени n³ можно заменить на (-n) в степени n по нашему модулю. Теперь у нас появился вопрос о том, как раскрыть (-1) в степени n. Для этого попробуем понять, какова четность n.

Подсказка 3

Конечно, n нечетно! Тогда (-1) в степени n равна -1. Тогда по условию получается, что (n в степени n) - n - 3 является нулем по нужному модулю. Кажется, что этот модуль при достаточно больших n сильно превосходит получившееся выражение. Попробуем это доказать!

Подсказка 4

Заметим, что 2 в степени n строго больше n. Из этого легко получается, что наш модуль всегда строго превосходит число, делимость которого мы исследуем. Кажется, что тогда ответ состоит в том, что подходящих n не существует, но это еще не так! Ведь мы должны доказать, что наш модуль превосходит исследуемое на делимость число по абсолютной величине! А при каких n это число отрицательно?

Показать ответ и решение

Чётным $n$ быть не может, иначе получается, что нечётное число делится на чётное.

По условию $n3 ( n2)n n 2 +n +3 = 2 + n+ 3≡ (− n) +n+ 3≡ 0$ по модулю $n2 2 + n.$

Значит, $nn− n− 3≡ 0$ по модулю $2 2n + n.$

При $n >1$ по индукции легко доказать, что $2n > n,$ откуда $2 2n > nn$ и

2 2n + n> nn+ n> |nn − n − 3|> 0,

поэтому делимость $. (nn− n− 3).. (2n2 + n)$ невозможна.

$n= 1$ же подходит.

Ответ:

$n =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85484

Докажите, что если при $n∈ ℕ$ число $2+ 2√12n2+-1$ целое, то оно точный квадрат.

Источники: ММО - 2024, второй день, 11.3 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на выражение. Если наше выражение целое при любых натуральных n, то оно четное. Обозначим его за 2k.

Подсказка 2

Что можно сказать про k после возведения в квадрат полученного уравнения на n и k?

Подсказка 3

Что k — чётное, то есть k = 2m. Получили, что произведение взаимно простых равно квадрату числа. А часто ли такое происходит?

Подсказка 4

Нужно разобрать 2 случая, один из которых не подойдет из-за остатков по модулю 3

Показать доказательство

Если число $2+ 2√12n2+1-$ целое при $n∈ ℕ$ , то оно чётное. Обозначим $2 +2√12n2+-1=$ $2k,k ∈ℕ$ . Тогда $√12n2+-1= k− 1$ . Возводя это равенство в квадрат, получаем

2 2 12n = k − 2k

Число $k$ чётное: $k= 2m$ , где $m ∈ ℕ$ .

Тогда

2 2 12n = 4m − 4m

3n2 =(m − 1)m

Поскольку числа $m$ и $m − 1$ взаимно просты, следует рассмотреть два случая:

1) $m− 1= u2,m = 3v2$ , где $u,v ∈ ℕ,u⋅v = n$ ;

2) $m− 1= 3u2,m = v2$ , где $u,v ∈ ℕ,u⋅v = n$ .

В первом случае имеем $3v2− 1= u2$ , то есть $u2$ даёт остаток 2 при делении на 3 . Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.

Во втором случае получаем $2+ 2√12n2+-1= 4m =(2v)2$ - точный квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85847

Пусть $a$ — натуральное число. Оказалось, что для всех $n$ существует натуральное $d ⁄=1,$ что $d ≡1 (mod n)$ и $n2a − 1$ делится на $d.$ Докажите, что $a$ — точный квадрат.

Показать доказательство

Предположим противное. Зафиксируем $n$ и представим $d$ в виде $nk+1.$ Тогда при некотором целом $b$ выполнено $2 n a− 1= (nk +1)⋅b.$ Посмотрим на это равенство по модулю $n.$ Левая часть сравнима с $− 1,$ первый множитель правой части — с $1,$ значит, $b$ сравнимо с $− 1,$ то есть представимо в виде $nt− 1.$

Тогда равенство переписывается как

2 n a− 1= (nk+ 1)(nt− 1)

Раскрывая скобки и сокращая на $n ⁄=0,$ имеем

na= nkt+(t− k)

Значит, $t− k$ делится на $n,$ при этом $k⁄= t,$ иначе $a= kt= k2.$ Но тогда $k$ или $t$ не меньше $n$ и при достаточно большом $n$ равенство $na= nkt+ t− k$ невозможно.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#86096

Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, для которых

3 27ab+(1− a+ b) = 0

Источники: Бельчонок - 2024, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?

Подсказка 2

Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?

Подсказка 3

Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).

Подсказка 4

Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.

Показать ответ и решение

Во-первых, покажем, что $a$ и $b$ взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число $p$ , а значит и $a− b− 1$ делится на $p$ , но это не так.

Во-вторых, покажем, что $a$ и $b$ — точные кубы. Число $27ab$ — куб, $27$ — куб, значит и $ab$ — куб. Если некоторое простое число входит в $ab$ в степени $3α$ , то оно либо входит в этой же степени в $a$ , а в $b$ — в нулевой, либо наоборот, так как $(a,b)= 1$ . Таким образом, $a$ и $b$ — кубы, ведь все простые множители входят в них в $3$ степени.

Пусть $3 3 a= a1,b= b1$ , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

3a1b1 = a31 − b31− 1

Зафиксируем $a1$ и сравним с ней $b1$ . Ясно, что $b1 ≤a1− 1$ , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

3 3 b1+ 3a1b1 = a1− 1

Нетрудно видеть, что

3 3 3 b1+ 3a1b1 ≤ (a1− 1)+ 3a1(a1− 1)=a1− 1

То есть равенство возможно лишь когда $b1 = a1− 1$ , откуда $b= b31,a= (b1 +1)3$ . Притом эта пара является решением при любом натуральном $b1$ .

Ответ:

$a =(k+ 1)3,b= k3,k∈ ℕ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#86101

Найдите множество всех целых значений суммы

x y 3 y + 3 + x,

где $x$ и $y$ — произвольные натуральные числа.

Источники: Бельчонок - 2024, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть сумма из условия равна m, где m - натуральное число (так как х и у натуральные). Для удобства домножим получившееся равенство на 3ху и получим уравнение в натуральных числах. Всё последующее решение задачи — это просто аккуратное рассмотрение делимостей. Например, на что может делиться х?

Подсказка 2

В выражении много троек, проверьте, делится ли х на 3. Это можно сделать от противного.

Подсказка 3

Действительно, х делится на 3, значит можно сделать замену: пусть х = 3z, где z - натуральное число. Подставьте это в равенство и посмотрите какие ещё переменные могут делиться на 3.

Подсказка 4

Верно, либо у, либо z делится на 3. Рассмотрите оба случая и в каждом из них сделайте замену. Тут так же нужно будет подумать, на что могут делиться переменные, и как они относятся друг к другу: может какие-то из переменных делятся на другие?

Показать ответ и решение

Пусть $x + y+ 3= m y 3 x$ — натуральное число. Тогда

2 2 3x + yx+ 9y = 3mxy

Если $x$ не делится на $3$ , то $y$ делится на $3$ . Но в таком случае все члены равенства, кроме $3x2$ , делятся на $9$ , а $3x2$ делится только на $3$ , что невозможно. Значит, $x$ делится на $3$ , то есть $x= 3z$ для некоторого натурального числа $z$ . Имеем

2 2 9z +y z+ 3y = 3myz,

откуда $y$ делится на $3$ или $z$ делится на $3$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $y = 3w$ . Тогда

z2 +w2z+ w =mwz,

откуда $w$ делится на $z$ . Но в таком случае $w$ делится и на $z2$ , то есть $w= z2u$ для некоторого натурального $u$ . Теперь имеем $1+ z3u2 +u =mzu$ , откуда $u =1$ . Ясно, что число $z2+ 2z$ будет целым только при $z ∈ {1,2}$ , при этом $m ∈ {3,5}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $z =3w$ . Тогда $27w2+ y2w+ y = 3myw$ . Как и выше, отсюда следует, что $y$ делится на $w2$ ,то есть $y = w2u$ для некоторого натурального $u$ . Теперь имеем $27+ w3u2+ u= 3mwu$ , откуда $u$ делит $27$ , то есть $u∈{1,3,9,27}$ . При $u= 3,u= 9,u =27$ получаем невозможные равенства

3 3 2 2 3 + w 3 +3 =3 mw

33+w334+ 32 = 33mw

2⋅33 +w336 = 34mw

соответственно. При $u =1$ число $28+w3 m= --3w--$ , откуда $w$ — делитель $28$ , при этом

28+w3 ≡ w3+ 1≡ 0 (mod 3),

то есть $w ≡ −1 (mod 3)$ . Следовательно, $w ∈{2,14}$ , и тогда $m ∈ {6,66}$ .

Ответ:

$3,5,6,66$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86465

Найдите все пары целых чисел $m$ и $n$ , для которых выполнено равенство

2 2 8m − 2m = 2n +n +21

Показать ответ и решение

Разложим на множители:

2 2 8m − 2m − 2n − n= 21

2(2m +n)(2m − n)− (2m+ n)= 21

(2m +n)(4m − 2n − 1)= 21

Обозначим $k =2m + n,$ тогда $4m − 2n − 1= 21k .$ Так как числа целые, то $k$ — делитель $21.$

Тогда $4m + 2n= 2k$ ; $4m − 2n = 2k1+1$ , значит,

m = 2k2+-k+21;n= 2k2−-k−-21 8k 4k

Подставим в формулы все делители числа 21: это $21,7,3,1,−1,−3,−7,−21.$ Одновременно $m$ и $n$ являются целыми при $k= 1$ и $k =− 7.$ При этих $k$ получаем ответы $(3;−5),(−2;−3).$

Ответ:

$(m =− 2,n =− 3),(m = 3,n= −5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#87412

Решите уравнение в целых числах

2 2 n m + k = 2024 + 33

Источники: СПБГУ - 2024, 11.4 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тот факт, что у нас есть слагаемое, которое мало на что делится, говорит о том, что его, в теории, можно использовать при доказательстве в смысле рассмотрения делимости на его множители. Давайте, к тому же, заметим, что 2024 кратно 11 и будем рассматривать делимости на 11. Что вы можете сказать про делимость на 11 обеих частей при разных n? А при фиксированном n и разных m, k?

Подсказка 2

Возможные остатки квадратов mod 11 - это 0, 1, 3, 4 5, 9. Какие пары этих остатков в сумме дают 0(нам ведь нужна делимость на 11 левой части)? Только пара 0 - 0. Значит, что оба числа кратны 11, а значит левая часть кратна 11². Всегда ли кратна правая часть 11²? Если нет, то при каких n кратна 11²?

Подсказка 3

При n ≥ 2 первое слагаемое кратно 11², а 33 нет. Значит, кратность может быть только при n = 0 или n = 1. При n = 1, у нас правая часть превращается в 17 * 11². Значит, все таки есть кратность 11, а значит верны наши рассуждения про m и k. Но тогда мы можем представить их в виде 11t и сократить на 11², после чего, довести до ответа. А случай n = 0 - оставляется читателю в качестве упражнения.

Показать ответ и решение

Числа $m$ и $k$ являются целыми числами, следовательно, каждое из чисел $m2$ и $k2$ являются целыми, а значит, и их сумма $2 2 m +k$ является целыми числом, таким образом, число $n 2024 +33$ также является целым, т.е. число $n 2024$ целое, откуда $n ≥0$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $n≥ 2$ . Тогда $n 2024 + 33$ делится на 11, поскольку каждое из чисел 2024 и 33 кратно 11, но не делится на $2 11$ , т.к. первое слагаемое кратно $2 11$ , а второе — нет.

Пусть число $x$ дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при делении на 11, тогда число $2 x$ дает соответственно остаток 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 при делении на 11. Докажем, что если хотя бы одно из чисел $m$ и $k$ не делится на 11, то и число $2 2 m +k$ не делится на 11.

Предположим обратное, тогда сумма остатков чисел $m2$ и $k2$ равна 11, следовательно, ровно одно из чисел $m2$ и $k2$ даёт четный остаток при делении 11, а значит, соответствующий квадрат даёт остаток 0 или 4 при делении на 11, но тогда второй остаток равен 0 или 7, что невозможно. Таким образом, каждое из чисел $m$ и $k$ кратно 11, следовательно, каждое из чисел $m2$ и $k2$ кратно $112$ , таким образом, $m2 +k2$ кратно $112$ , но $2024n +33$ не кратно $112$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда $n = 0$ или $n =1.$

Пусть $n= 1$ . Тогда $2024n+ 33 =2024+ 33 =2057= 112 ⋅7$ , следовательно, $m2+ k2$ кратно $112$ , а значит, как мы показали выше, каждое из чисел $m$ и $k$ кратно 11. Пусть $m = 11a$ , $k =11b$ , где $a$ и $b$ являются целыми числами, следовательно, $a2+ b2 =17$ . Легко убедиться, что всеми решениями $(a,b)$ данного уравнения являются неупорядоченные пары $(±1,±4).$ Следовательно, все пары решений $(m,k)$ это $(±11,±44)$ , $(±11,±44)$ .

Пусть $n= 0$ . Тогда $2024n+ 33 =1 +33= 34$ . Если каждое из чисел $m$ и $k$ не превосходит по модулю 4, то сумма их квадратов не превосходит 32, следовательно, наибольшее из чисел $m$ и $k$ по модулю не меньше 5. С другой стороны, если какое-то из чисел по модулю больше 5, то его квадрат не меньше 36, что невозможно. Таким образом, в паре чисел $(m,k)$ хотя бы одно равно 5 по модулю, тогда второе равно 3 по модулю. Тем самым, мы показали, что все пары решений $(m,k)$ есть $(±5,±3)$ , $(±3,±5)$ .

Ответ:

$(0;±3;5),(0;±3;− 5),(0;±5;3),(0;±5;−3),$

$(1;±11;44),(1;±11;−44),(1,±44;11),(1,±44;−11)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#89288

Найти все пары целых неотрицательных чисел $(k,m),$ являющихся решениями уравнения

2 2k +7k= 2mk +3m +36

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем равенство, в котором k во второй степени, а m только в первой. Что же с ним делать?

Подсказка 2

Да, давайте попробуем выразить m через k. У нас получится какая-то дробь. Какой приём в таких случаях чаще всего используется?

Подсказка 3

Верно, это выделение целой части. Оставшаяся же часть будет равна 42/(2k+3). Так как m, k+2 точно целые, то и эта дробь должна быть целым числом. Значит, осталось только перебрать все делители числа 42(а есть шанс ещё подумать и уменьшить перебор), и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $2k+3 >0,$ то

2k2+7k-− 36 -42-- m = 2k +3 = k+ 2− 2k+ 3

Так как $m ∈ ℤ,$ $k+ 2∈ℤ,$ значит $42 2k+3 ∈ ℤ.$ Тогда $2k+3 ∈ℕ$ является натуральным делителем числа $42,$ причем нечетным.

1. $2k +3= 1$ $=⇒$ $k= −1$ — не подходит, поскольку $k≥ 0.$

2. $2k +3= 3$ $=⇒$ $k= 0$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −12$ — не подходит, поскольку $m ≥ 0.$

3. $2k +3= 7$ $=⇒$ $k= 2$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −2$ — не подходит, поскольку $m≥ 0.$

4. $2k +3= 21$ $=⇒$ $k =9$ $=⇒$ $m =k +2− 24k2+3 = 9$ — подходит.

Итого у нас только одно решение $(k,m )= (9,9).$

Ответ:

$(9,9)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89289

Найдите все пары целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющие уравнению

(2 2) x + y (x +y− 3)= 2xy

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева у нас первая скобка достаточно большая. Давайте для начала сравним одну её с правой частью.

Подсказка 2

Отлично, только первая скобка слева по модулю хотя бы такая же, как правая часть. Вторая скобка у нас целая, тогда какие значения она может принимать?

Подсказка 3

Итак, x+y-3 может принимать значения -1, 0 и 1. Эти три варианта можно разобрать отдельно, в каждом из случаев получив простую систему.

Показать ответ и решение

Известно, что

( 2 2) x + y ≥|2xy|

Тогда $(x2 +y2)(x +y − 3)$ может равняться $2xy$ только в случае, если либо $|x+ y− 3|= 1$ и $(x2+y2)= |2xy|⇔ |x|= |y|,$ либо какая-то из скобок равна $0$

1. $x+y − 3 =0$

Тогда левая часть уравнения равняется $0.$ Но тогда и правая равна $0.$ Т.е. $2xy = 0.$ Тогда либо $x =0 =⇒ y = 3,$ либо $y =0 =⇒ x= 3.$ Оба решения нам подходят.

2. $x+y − 3 =1$

$x+y =4.$ С учетом того, что $|x|= |y|,$ то $x= y = 2.$ Проверкой убеждаемся, что это решение.

3. $x+y − 3 =−1$

$x+y =2.$ С учетом того, что $|x|= |y|,$ то $x= y = 1.$ Проверкой понимаем, что это не будет являться решением.

4. $2 2 x +y = 2xy = 0$

Получается, что $x =y =0.$ Подстановкой получим тождество, т.е. это будет решением.

Итого у нас $4$ решения.

Ответ:

$(2,2),(3,0),(0,3),(0,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89290

Натуральные числа $x,y$ таковы, что $2x2+x = 3y2+ y.$ Докажите, что число $x − y$ является точным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нужно доказать что-то про x-y, логично как-то его выразить, вынести за скобки. Притом было бы хорошо, чтобы с другой стороны не было сразу двух переменных.

Подсказка 2

Полезно тогда рассмотреть равенство (x-y)(2x+2y+1)=y^2. Итак, два множителя в произведении дают квадрат, нужно доказать, что один из них квадрат. Как бы это сделать?

Подсказка 3

Поймём, что если (x-y) и (2x+2y+1) дают в произведении y^2, то являются взаимно простыми. Осталось понять, что тогда простые могут входить в (x-y) только в чётных степенях.

Показать доказательство

Перепишем исходное равенство как

2 2 2 x− y = 3y − 2x = 2(y− x)(y+ x)+ y

Откуда следует, что $(x− y)(1+ 2x +2y)= y2.$

Если $x− y$ и $1 +2x+ 2y$ взаимно просты, то можно утверждать, что $x− y$ (как и $1+ 2x+ 2y$ ) является точным квадратом. Предположим, они имеют общий делитель $p.$ Тогда и $y..p,x − y..p . .$ $=⇒$ $x..p. .$ Но тогда $1+ 2x +2y$ не может делиться на $p,$ хотя мы предположили, что и $x − y,$ и $1+2x+ 2y$ на $p$ делятся. Противоречие. Значит эти числа не имеют общих делителей, а значит оба являются полными квадратами.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89725

Найдите все тройки целых чисел $a,b,c$ такие, что $5a2+9b2 = 13c2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что уравнение является однородным относительно неизвестных (a, b, c), то есть при домножении каждой из них на константу, равенство по прежнему останется верным. Как это можно использовать в решении, если мы хотим показать, что уравнение не имеет решений?

Подсказка 2

Мы можем считать, что числа (a, b, c) взаимнопростые в совокупности. Так, если мы найдем число такое, что оно делит каждое из a, b, c, то приведем к противоречию. Что это за число?

Подсказка 3

Существует ряд модулей, по которым квадраты целых чисел, дают приятные "остатки". Таким, например, является модуль 5. Докажите, что каждое из чисел (a, b, c) кратно 5.

Показать ответ и решение

Для начала заметим, что подходит очевидная тройка чисел $(0,0,0).$ Если $a= 0,$ то получившееся равенство не имеет решений(кроме тривиального), потому что степени вхождения $13$ в обе части не будут совпадать. Аналогично, если какая-то другая одна переменная равна $0.$ Поэтому в дальнейшем рассматриваем ненулевые числа. Теперь давайте доказывать, что других троек не существует. Предположим противное. Тогда рассмотрим тройку $(a,b,c)$ такую, что степень вхождения $5$ в $a$ минимальная возможная.

Рассмотрим уравнение по модулю $5.$ Имеем

9b2 ≡13c2 (mod 5)

Квадраты целых чисел могут давать остатки $0,1$ и $− 1$ по рассматриваемому модулю. Предположим, что никакое из чисел $b,c$ не кратно $5.$ Но тогда

2 2 2 2 1≡ |b|≡ |9b|≡ |13c |≡|2c|≡ 2 (mod 5)

что невозможно. Таким образом, по крайней мере одно из чисел $b,c$ кратно $5,$ но тогда $5$ делит каждое из них.

Наконец, $5a2 =13c2− 9b2$ кратно $25,$ следовательно, $a$ кратно $5.$ Но тогда тройка $( a, b, c) 55 5$ так же является решением. Таким образом, мы получили противоречие.

Ответ:

$(0,0,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90455

Докажите, что уравнение $15x3 +13y3 = 101$ не имеет решений в целых числах.

Показать доказательство

Рассмотрим равенство из условия по модулю $7.$

3 3 15x + 13y ≡ 101 (mod 7)

3 3 x − y ≡ 3 (mod 7)

Вычислим остатки, которые могут давать кубы чисел при делении на $7.$

Значит, кубы целых чисел могут давать только остатки $0,1,6$ при делении на $7.$ Перебрав всевозможные значения остатков по модулю $7$ для $3 x$ и $3 y,$ получим, что сравнение $3 3 x − y ≡ 3 (mod 7)$ не выполняется ни при каких $x,y.$ Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90456

Докажите, что число $222...2$ (1982 двойки) не может быть представлено в виде $xy(x +y)$ , где $x$ и $y$ — целые числа.

Показать доказательство

Рассмотрим числа по модулю 3. По признаку равноостаточности число $222...2$ (1982 двойки) будет сравнимо с 1. Теперь рассмотрим возможные остатки выражение $xy(x+ y)$ при всевозможных остатках $x$ и $y,$ составим таблицу для этого

$x∖y$	0	1	2

0	0	0	0

1	0	2	0

2	0	0	1

Значит, возможен единственный случай: когда $x$ и $y$ сравнимы с 2 по модулю 3. Следовательно, можем представить $x$ и $y$ как $x =3k+ 2$ и $y = 3n+ 2.$

Рассмотрим числа по модулю 9. По признаку равноостаточности число $222...2$ (1982 двойки) будет сравнимо с 4. Теперь посмотрим с чем сравнимо выражение $xy(x+ y)$

xy(x+ y)= (3k+ 2)(3n+ 2)(3k+ 3n +4)= (9kn +6k+ 6n+ 4)(3k +3n+ 4)≡

≡ 4(6k +6n)+ 4(3k+ 3n)+ 16= 36(k+ n)+ 16 ≡7 ( mod 9 )

Значит, оно сравнимо в 7. Противоречие, так как число $222...2$ (1982 двойки) будет сравнимо с 4.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91099

Найдите все простые числа $p,q$ и $r$ такие, что $pq+ 1$ делится на $r,qr+ 1$ делится на $p,pr+ 1$ делится на $q.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте из этих трёх чисел получить некоторое число, которое будет делиться сразу на p, q и r.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть числа pq + qr и pr + 1. Они оба делятся на q, а значит и сумма делится. Как можно развить это рассуждение для других переменных?

Показать ответ и решение

Рассмотрим число $pq+ qr+ rp+ 1.$ Из условия следует, что оно делится на все простые $p,q$ и $r.$ Так как $pq+1$ кратно $r,$ то $r$ не равно $p$ и $q,$ то есть, применяя аналогичное соображение, получим, что все числа различны. И поэтому $.. pq+qr+ pr+ 1.pqr.$ Докажем, что числа большие $2,3$ и $7$ не подходят. Заметим, что число $pq+qr+rp+1- pqr$ — целое. Если среди чисел нет двойки, то это выражение равно

1 1 1 1 1 1 1 1 p + q + r + pqr ≤ 3 +5 + 7 + 105 < 1

Если одно из чисел $2,$ а все остальные не меньше $5,$ то

1+ 1 + 1 +-1-≤ 1+ 1+ 1 +-1 <1 p q r pqr 2 5 7 70

Если же два из простых это $2$ и $3,$ то

1+ 1+ 1+ -1 = 5+ 7-< 2 2 3 r 6r 6 6r

и целое, то есть равно $1,$ а тогда $r =7.$

Ответ:

$2,3,7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91941

Решите уравнение в натуральных числах:

n n!−1 n! m + 4 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части 4 возводится в степень (n! - 1), а в правой — 2 в степень n!. Интуиция подсказывает, что левая часть чаще всего больше правой. Как можно это доказать?

Подсказка 2

Обозначим правую часть через t. Тогда в левой части можно выделить t²/4. Перенесем правую часть влево. Тогда наше выражение почти является квадратным трехчленом, мешает только одно слагаемое. Как от него избавиться?

Подсказка 3

Верно! Оно не меньше 1, поскольку m и n — натуральные числа. Выходит, наша новая левая часть не меньше квадратного трехчлена (t-2)², который равен нулю только при t = 2. Как теперь понять, когда получается равенство в исходном уравнении?

Показать ответ и решение

Положим $t= 2n!,$ тогда $4n!−1 = t2∕4.$ После этого уравнение примет вид

n t2 m + 4-=t t2− 4t+ 4mn = 0 2 n 2 2 t − 4t+4m ≥t − 4t+4= (t− 2) ≥ 0

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $t= 2,$ а $m = n= 1.$ Найденные значения, очевидно, подходят.

Ответ:

$m = n= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92978

Решите в целых числах уравнение $x2 =y2+ 4y+ 11.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним стандартные методы решения таких уравнений. Можно как-нибудь разложить выражение на скобочки, получить произведение, равное числу, и перебрать. Можно зажать что-то между квадратами.

Подсказка 2

Давайте запишем левую часть в виде (y+2)²+7. Кажется, теперь понятно, как реализовать оба способа из первой подсказки.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в следующем виде:

2 2 x = (y+ 2) + 7

Таким образом, мы получаем два квадрата, отличающихся на $7.$ Давайте заметим, что между $52$ и $42$ разница уже больше $7.$ Значит, между большими квадратами разница будет также больше $7,$ так как разность между соседними квадратами — возрастающая функция, а разница между несоседними квадратами включает в себя разницы между некоторыми соседними.

Значит, $x2$ и $(y+ 2)2$ могут принимать значения $0,1,4,9,16.$ С помощью перебора понимаем, что $x2 =16,(y +2)2 = 9,$ откуда $x =±4,y = −2 ±3.$

Ответ:

$x =±4,y = −2 ±3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#92980

Решите в натуральных числах уравнение

2 2 2 13x + y + z − 4xy− 6xz+y =5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что выражение слева чаще всего принимает довольно большие значения, то есть оно может равняться 5 при очень ограниченном количестве значений, если вообще может.

Подсказка 2

Выражение слева выглядит довольно сложным. Чтобы реализовать догадки из подсказки 1, его нужно преобразовать к более простому виду.

Подсказка 3

Попробуйте поискать полные квадраты и выделить их в левой части, это поможет реализовать подсказки.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 (2x − y) + (3x− z) +y = 5

Получаем, что сумма двух квадратов и натурального числа равна $5.$ Значит, квадраты могут принимать лишь значения $0,1,4.$ Возможны случаи, когда квадраты равны $1$ и $1,1$ и $0,0$ и $1,0$ и $4,4$ и $0,0$ и $0.$ Осталось перебрать их и написать ответ.

Ответ:

$(2,4,5),(2,4,7),(2,3,5),(1,3,2),(2,3,7),(1,3,4)$

Предыдущий раздел

Следующий раздел


$x (mod 7)$	$x3 (mod 7)$

$0$	$0$

$1$	$1$

$2$	$1$

$3$	$6$

$4$	$1$

$5$	$6$

$6$	$6$