Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела теория чисел
Разделы подтемы Уравнения в целых числах
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105488

Найдите все натуральные n  и a  такие, что 1< n< a− 2  и an +a − 2  является степенью двойки.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте разложить a^n + a - 2 на множители.

Подсказка 2:

Например, нетрудно заметить, что при a = 1 выражение обнуляется. Значит, оно делится на a - 1. Чему будет равна вторая скобка?

Подсказка 3:

Если произведение скобок равно степени двойки, то каждая из скобок - степень двойки.

Подсказка 4:

Попробуйте обозначить скобку a - 1 через 2^k и поищите остаток второй скобки при делении на 2^k. И не забудьте про условие.

Показать ответ и решение

Заметим, что an+a − 2 =(an− 1)+(a− 1),  поэтому само число a − 1  является степенью двойки. Пусть a − 1= 2k.

Имеем следующее разложение:

 k   k    n− 1   k   n−2       k   0
2 ⋅((2  +1)   +(2 + 1)   + ...+ (2 + 1) +1)

Произведение является степенью двойки, значит, каждый множитель тоже степень двойки. Посмотрим на большую скобку по модулю 2k.  Каждое слагаемое внутри сравнимо с единицей, поэтому вся сумма сравнима с n +1,  что строго меньше, чем 2k  — противоречие, так как число в скобках не меньше чем 2k  и при этом степень двойки.

Ответ:

Таких нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#105492

Даны натуральные числа x,y,z,t  такие, что

xy− zt=x +y =z +t

Могут ли оба числа xy  и zt  быть точными квадратами?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попытки найти требуемые x, y, z, t не увенчались успехом. Давайте докажем, что таких чисел не существует. Какие существуют способы доказывать, что некоторое число не является квадратом натурального?

Подсказка 2

Можно зажать данное число между двумя квадратами. Правда, пока неясно для какого из чисел данное условие необходимо проверять. Давайте пока попробуем преобразовать исходное уравнение. Следить сразу за 4 переменными трудно, часто большое количество равенств позволяет сократить количество рассматриваемых чисел с помощью замены. Какую замену можно сделать здесь?

Подсказка 3

Для начала давайте снизим количество рассматриваемых переменных до 3. Известна замена s = (x+y)/2, p = (x-y)/2 (без ограничений общности можно считать, что x хотя бы y). Докажите, что s и p являются целыми, сделайте аналогичную замену для чисел z и t и выразите xy-zt через новые переменные.

Подсказка 4

Пусть q = (z-t)/2, тогда имеем 2s = xy-zt = q^2 - p^2. Придумайте новую замену, которая позволит выразить исходные числа x, y, z, t через 2 данных числа.

Подсказка 5

Пусть k = (q-p)/2, l = (q+p)/2. Как выразить числа x, y, z, t только через k и l?

Подсказка 6

Имеем x = 2kl-k+l и подобные. Кажется, теперь мы полностью воспользовались данным равенством. Теперь необходимо определится с числом, которое будем зажимать между квадратами.

Подсказка 7

Скорее всего, нет проблемы в том, чтобы по отдельности числа xy и zt были квадратами. Но если каждое из них является квадратом, то и их произведение является квадратом. Как оно выражается через числа k и l?

Подсказка 8

Получим xyzt = (4k²l² - k² - l²)² - 4k²l². Каким квадратом можно оценить данное число сверху?

Подсказка 9

Числом D² = (4k²l² - k² - l²)². Осталось показать, что xyzt > (D-1)².

Показать ответ и решение

Предположим, что число x+y =z +t  нечётное. Тогда x  и y  имеют разную чётность, как и z  и t.  Это означает, что оба числа xy  и zt  чётные, как и xy− zt=x +y  — противоречие. Таким образом, x+ y  чётное, и число    x+y   z+t-
s=  2  = 2  является натуральным. Заметим, что тогда числа

   x +y   z+ t     x− y        z− t
s =--2- = -2-,  p= -2--, и  q =-2--

являются целыми (без ограничений общности, будем считать, что p,q ≥ 0).  Имеем

2s=xy − zt= (s +p)(s− p)− (s+ q)(s− q)= q2− p2

так что p  и q  имеют одинаковую чётность, и q >p.

Положим теперь    q−p
k=  2  ,    q+p-
ℓ=  2 .  Тогда     q2−p2-
s =  2  = 2kℓ  и, следовательно,

x= s+ p=2kℓ− k+ ℓ,  y = s− p =2kℓ+ k− ℓ

z = s+ q = 2kℓ+ k+ ℓ, t= s− q = 2kℓ− k− ℓ

Тогда ℓ ≥k >0  и, более того, (k,ℓ)⁄= (1,1),  так как иначе t=0.

Предположим теперь, что оба числа xy  и zt  являются квадратами. Тогда xyzt  также является квадратом. С другой стороны, имеем

xyzt=(2kℓ− k +ℓ)(2kℓ+k − ℓ)(2kℓ+ k+ℓ)(2kℓ− k− ℓ)
= (4k2ℓ2− (k− ℓ)2)(4k2ℓ2− (k+ ℓ)2)=(4k2ℓ2− k2− ℓ2)2− 4k2ℓ2.

Обозначим D = 4k2ℓ2− k2− ℓ2 > 0,  тогда D2 > xyzt.  С другой стороны,

(D − 1)2 = D2 − 2(4k2ℓ2− k2 − ℓ2)+1 =(D2− 4k2ℓ2)− (2k2− 1)(2ℓ2− 1)+2

=xyzt− (2k2− 1)(2ℓ2− 1)+2 <xyzt

поскольку ℓ≥2  и k ≥1.  Таким образом, (D − 1)2 < xyzt< D2,  и xyzt  не может быть полным квадратом — противоречие.

Ответ:

Не могут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#107059

Найдите все простые p,  для которых найдутся натуральные числа a  и b  такие, что

    2   2      2   2
p =a + b + ab, a + b + 25 =15ab
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз p простое, мы хотим получить равенство, где будет какое-то произведение скобок, а с другой стороны p, при этом в условии есть точный квадрат 25, так что хочется поискать разность квадратов.

Подсказка 2

Мы предположили, что второе равенство надо брать с коэффициентом ±1, и найти ещё какой-то квадрат, видимо, с переменными. В силу симметрии он должен выглядеть как (ax+bx)².

Подсказка 3

Можно написать уравнение на x и выяснить, что для выделения полного квадрата нужно взять первое равенство с коэффициентом 17. Теперь у нас есть две скобки, в произведении дающие 17p, осталось дорешать задачу.

Показать ответ и решение

Заметим, что

        2  2             2      2   2
17p= 17(a + b+ ab)=(4a+ 4b) − 25 +a + b +25− 15ab =

        2
= (4a+ 4b) − 25= (4a+ 4b− 5)(4a+ 4b+ 5)

Понятно, что первая скобка меньше второй. Если 4a+ 4b− 5 =1,  то a +b= 3∕2,  что невозможно. Если 4a+4b− 5= 17  и 4a+ 4b+5 =p,  то p =27   — противоречие. Наконец, если 4a+4b− 5= p,  4a+4b+ 5= 17,  то p= 7.  Для него подойдут a =1,  b= 2.

Ответ:

 p =7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119871

Найти все тройки натуральных чисел a,b,c  таких, что числа ab+ 1,ac+ 1,bc+ 1  являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом n!  натурального числа n  называется произведение всех натуральных чисел от 1  до n  включительно.

Источники: Всесиб-2025, 11.4(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пожалуй, единственное, с чем удобно работать, когда в задаче фигурируют факториалы — это делимость на какие-то числа. Видимо, мы хотим понять, что если все три факториала не меньше n! при некотором n, то возникает какое-то противоречие с делимостью.

Подсказка 2

На самом деле, далеко ходить не нужно. Предположим, что все три факториала не меньше 3!. Что можно сказать про остатки при делении на 3 у a, b, c?

Показать ответ и решение

Кроме случая, когда хотя бы два из чисел a,b,c  равны 1,  все числа ab+ 1,ac+ 1,bc+ 1  не меньше 3,  и являются факториалами чисел, не меньших 3.  Рассмотрим остатки от деления чисел a,b,c  от деления на 3.  Заметим, что при n≥ 3  остаток от деления числа n!  на     3  равен 0.  Несложно убедиться, что для чисел вида xy+ 1  такое возможно, только если остаток одного из чисел x,y  равен 1,  а другого 2.  Следовательно, остатки от деления a,b,c  на 3  могут равняться только 1  или 2  среди них есть равные, остаток от деления произведения которых, увеличенный на 1,  равен 2,  а не 0,  как требуется. Значит, среди чисел a,b,c  хотя бы два равны 1,  а третье может быть любым вида n!− 1  для некоторого натурального n ≥2  и тогда числа вида ab+ 1,ac +1,bc+ 1  равны 2!,n!,n!.

Ответ:

Все тройки натуральных чисел, два из которых равны 1,  а третье равно n!− 1  для произвольного натурального n≥ 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#120577

Решите уравнение в целых числах: x= x2+ xy+y2+ 2y+ 2.

Источники: ФЕ - 2025, 11.3(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вид самого уравнения намекает на то, что можно попробовать выделить полные квадраты. Какие и как?

Подсказка 2

Попробуем перенести все в одну сторону и домножить на 2, после посмотреть, что получается (так легче будет заметить члены из полных квадратов).

Подсказка 3

Вообще, уже получили достаточно хороший вид, однако остаётся x² - 2x. Добавим 1 к обоим частям уравнения, чтобы получить полный квадрат. Теперь все слагаемые — полные квадраты, а справа — 1. Что нам это дает?

Подсказка 4

У нас остается не так много случаев из-за того, что эти квадраты — целые и неотрицательные. В частности, тогда одно из них равно 1, а другие два равны 0. Достаточно разобрать эти случаи, чтобы получить ответ!

Показать ответ и решение

Перенесем x  вправо и получим

 2      2
x +xy +y + 2y+2 − x =0

Домножим на два и переставим слагаемые

      2        2
−2x+ 2x + 2xy+ 2y + 4y+ 4= 0

Добавим к обеим частям 1  и разделим оба квадрата на два слагаемых:

1− 2x+x2+ x2+ 2xy+y2+ y2+ 4y +4 =1

Выделим полные квадраты!

(1− x)2 +(x+ y)2+ (y+2)2 = 1

Так как x  и y  — целые, каждое из слагамых в левой части является целым неотрицательным числом. Тогда их сумма может быть равна 1  только если одно из слагамых равно 1,  а два других равны 0.

Разберем случаи, когда два слагаемых равны 0.  В случае x= 1,x= −y  получаем y+ 2= 1  — подходит. Если x= 1,y =− 2,  то x +y = −1  — тоже подходит. Наконец, при y = −2,x= −y  получаем x − 1= 1,  оно тоже подходит.

Ответ:

 (1,− 1),(1,−2),(2,−2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#121643

Найдите все пары числел (p,n),  где p− простое, а n− целое и при этом p4+ 211= n2+ 5pn.  В ответе укажите значения n.  Если их несколько, перечислите их в любом порядке через запятую.

Источники: ИТМО-2025, 11.6(см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотим использовать малую теорему Ферма (МТФ). Посмотрим на левую часть: по какому модулю удобно рассматривать остаток?

Подсказка 2

Рассматриваем остаток по модулю 5 (тогда возникает требование, что p не равно 5), так как по МТФ p⁴ дает остаток 1 по модулю 5. Вся левая часть, получается, дает остаток 2 по модулю 5. Теперь посмотрим на правую часть. Сразу видно, что второе слагаемое дает остаток 0 по модулю 5 (так как имеет вид 5*q). Что тогда можно сказать о n²?

Подсказка 3

Получается, n² должно давать остаток 2 по модулю 5. Рассмотрим различные случаи остатков. Какой вывод можем сделать?

Подсказка 4

Да, n² не может давать остаток 2 по модулю 5. Тогда у нас остается единственное возможное значение p: p = 5. Тогда наше уравнение превращается в квадратное, которое легко решается!

Показать ответ и решение

Согласно малой теореме Ферма, если p⁄= 5,  число p4  даёт остаток 1 при делении на 5. Число 211 также даёт остаток 1 при делении на 5. И 5pn  делится на 5.  Значит, если p⁄= 5,  мы получаем, что  2
n  даёт остаток 2 при делении на 5, что невозможно.

Осталось разобрать случай p =5.  В этом случае нам надо решить квадратное уравнение

 2
n  +25n− 625 − 211= 0

     −25±-√3125+-4⋅211
n1,2 =        2

Откуда получаем два решения: (p,n)=(5,−44)  и (p,n)= (5,19).

Ответ:

− 44,19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#121760

Дано натуральное число n.  Натуральное число m  назовём удачным, если найдутся m  последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме n  следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Источники: Турнир городов - 2025, устный тур, 11.2(см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Ясно, что m > n. Давайте для удобства обозначим m = n + k и будем считать количество таких k. Осталось записать условие на равенство сумм, пользуясь формулой суммы членов арифметической прогрессии.

Подсказка 2:

Пусть первой наименьшее число среди n чисел равно x. Тогда у вас должно получиться равенство, в котором участвуют x, k и n. Обратите внимание на чётность множителей.

Подсказка 3:

У вас должно было получиться равенство (2x + k - 1)k = 2n². Давайте заметим, что у 2n² нечётное количество нечётных делителей. А сколько значений х соответствует распределению делителей по скобочкам?

Показать доказательство

Решение 1. Ясно, что m > n,  положим m =n +k,  где k  — натуральное, и будем искать количество подходящих k,  то есть таких   k,  для которых уравнение

x +(x+ 1)+...+(x+ k− 1)+ ((x+ k)+ ...+(x+ k+ n− 1))= (x+ k+n)+ ...+ (x+k +2n− 1)

имеет решение в натуральных x.  Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:

(2x+-k−-1)⋅k-  (2x+-2k+-n−-1)⋅n-  (2x-+2k+-3n−-1)⋅n-
     2     +        2       =        2

Умножив на 2  и приведя подобные слагаемые получаем:

(2x+ k− 1)k= 2n2 (∗)

Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении   2
2n ,  при этом левый сомножитель больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель d  числа  2
2n ,  то, зная d,  найдём дополнительный делитель  ′  2n2
d =  d ,  и далее из системы          ′                 ′
k= min{d,d} ,2x+ k− 1= max{d,d } однозначно находим натуральное x  (равное (d−d′+1)
 |-2|-- ).

Итак, количество подходящих k  равно количеству нечётных делителей числа 2n2,  которое, в свою очередь, равно количеству всех делителей числа s2,  где (нечётное) s  получается из n  делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение n.  Но количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа s2,  кроме s,  можно разбить на пары: t↔ st2 ,  и только делитель s  остаётся без пары).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Очевидно, m =n +k,  где k  натуральное. Запишем равенство из условия в виде

(a+1)+ ...+ (a +m )=(a+ m +1)+ ...+ (a+ m +n)

Отсюда:

     2
a = n-− k+-1  (∗∗)
    k    2

Чтобы условие задачи выполнялось с данным k,  необходимо и достаточно, чтобы a  было целым неотрицательным.

Положим n =s⋅2r,  где s  нечётное, r  целое неотрицательное. Тогда a  будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**) целые;  (б) если оба они полуцелые.  Первый случай имеет место, когда k  — нечётный делитель числа n2,  то есть делитель числа s2.  Количество c  таких значений k  нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает, что

k= d⋅22r+1,

где d  — делитель числа s2.  Между первым и вторым множеством значений k  есть биекция: каждому k  из первого множества соответствует число 2nk2  из второго множества, и обратно.

Пусть (f,g)  — пара из указанной биекции, причём f <g.  Тогда при k =f  получится неотрицательное a,  а при k =g  отрицательное. Действительно, в силу (∗∗)  требуется проверить неравенство

k(k+1)≤ 2n2.

Но f(f + 1) ≤fg = 2n2, g(g+ 1)> gf =2n2,  что и требовалось. Поэтому подходящих значений k  будет ровно c,  то есть нечётное количество.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#122430

Трёхзначное число состоит из цифр a,b,c  и обладает следующими свойствами:

1)  цифра в разряде единиц равна последней цифре числа a+ b+ c;

2)  цифра в разряде десятков равна последней цифре числа ab+ bc+ca;

3)  цифра в разряде сотен равна последней цифре числа abc.

Найдите все такие числа.

Источники: Изумруд-2025, 11.1(см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что последняя цифра суммы а + b + с равна с. Это означает, что а + b должно быть кратно 10. Какие пары цифр а и от 1 до 9 дают в сумме 10?

Подсказка 2

Как можно переписать условие "ab + bc + са оканчивается на b"? Попробуйте выразить это через а, b и с, со старыми ограничениями. Какие новые ограничения на с это накладывает?

Подсказка 3

Финишная прямая! Рассмотрите два основных варианта: Если b = 5, то а = 5. Какие с подойдут? Если а = 1, то b = 9. Какое с даст abc, оканчивающееся на 1? Не забудьте проверить а = 6, b = 4.

Показать ответ и решение

Заметим, что можно, не умаляя общности, считать, что наше трёхзначное число — это именно abc,  так как числа abc,ab+ bc+ca,a+b +c  — симметричные выражения относительно a,b,c  . Тогда по условию c  равно последней цифре числа a+ b+c,  но тогда            ..
(a+ b+c− c).10,  так как разряд единиц обнулился, то есть a+ b= 10k,  где k  ∈ ℕ,  так как a≥ 1.  Но a,b≤ 9,  значит, a+b ≤18,  откуда k≤ 1  , то есть k= 1  и a +b= 10.

Аналогично, так как последняя цифра числа ab+bc+ ca  совпадает с b,  то              ..
(ab+ bc+ca− b).10.  Перепишем иначе:

c(a+b)+ ab− b= 10c+b(a− 1)= 10n

где n ∈ℕ.  Тогда

a(b− 1)= 10n − 10c= 10(n− c)

то есть b(a− 1)...10⇒ b(a− 1)...2,5.  При этом a,b≤ 9,  значит, либо b...5⇒  b∈{0,5} , либо a− 1∈ {0,5}⇒ a ∈{1,6} (так мы обеспечим делимость на 5).

Разберём случаи:

1.

b= 0⇒ a =10− b= 10> 9  — противоречие.

2.

b= 5⇒ a =10− b= 5.  Если  ..
c.2,  то abc  оканчивается на 0,  то есть a =0  — противоречие. Значит c∈ {1,3,5,7,9}.  Заметим, что все эти числа подходят, так как          --
a +b+ c= 1c,ab+ bc+ ca= 10c+ 25,  то заканчивается на 5 =b,  abc  тоже заканчивается на 5= a.

3.

a =1 ⇒ b=9.  Знаем, что последняя цифра числа abc  равна a,  то есть 9⋅c  заканчивается на 1  при этом c≤ 9,  а наименьшее натуральное число, кратное 9  и оканчивающееся на 1  — это 81= 9⋅9⇒ c= 9.  То есть ---
abc= 199  — подходит.

4.

a =6 ⇒ b=4.  Знаем, что последняя цифра числа abc= 24 ⋅c  равна a =6,  тогда c∈ {4,9}:

4.1.

      ---
c= 4⇒ abc=644  — подходит.

4.2.

      ---
c= 6⇒ abc=649  — подходит.

Итого, ответ: 551,553,555,557,559,644,649,199.

Ответ:

 551,553,555,557,559,644,649,199

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122434

Найдите все тройки натуральных чисел x,y,z,  являющиеся решением уравнения 2xy⋅z = 2x+y(x+ y+ z).

Источники: Изумруд-2025, 11.4(см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, число 2^{xy} почти всегда значительно больше числа 2^{x + y}. Попробуйте формализовать эту идею.

Подсказка 2

Пусть x, y ≥ 6. Давайте зафиксируем y, выразим z через x и y. Осталось показать, что при больших х это выражение будет меньше 1, значит, решений не будет.

Подсказка 3

Доказывать стоит по индукции. Глобальная идея — показать, что знаменатель выражения увеличивается в большее количество раз, чем числитель при увеличении x.

Показать ответ и решение

Задача симметрична относительно x  и y.  Пусть x = 1.  Тогда 2yz = 2y+1(1+ y+ z)  или z = 2(1 +y+ z),  чего не бывает. Значит, x >1.  Аналогично, y > 1.  Пусть x= 2.  Тогда 2y    2+y
2 z = 2 (2+ y+ z)  или    -2+y--
z = 2y−2−1.  Тогда получаем решения при y = 3, z = 5,  при y =4, z =2,  при y =5, z =1.  При y > 5  по индукции покажем, что z < 1,  то есть решений нет. База при y = 6  верна. Рассмотрим следующие оценки числителя и знаменателя в переходе  y−1       y−2
2   − 1> 2(2   − 1)  и 2+ y+ 1< 2(2+ y),  то есть числитель увеличился менее, чем вдвое, а знаменатель более, чем вдвое, значит, z  уменьшилось. Теперь можно считать, что x, y ≥ 3.  Тогда xy− x− y = (x− 1)(y − 1)− 1≥ 3.  Пусть z >x +y.  Тогда

2xyz ≥2x+y+3z > 2x+y2z > 2x+y(x +y+ z),

то есть равенства нет. Тогда z ≤x +y  и

 x+y           x+y+1
2   (x+y +z)≤ 2    (x+ y).

Покажем, что 2x+y−3 > x+ y  при x +y ≥6.  Снова используем индукцию: пусть x+ y = a.  Тогда при a= 6  получаем 8> 6.  Теперь переход индукции:

a−2     a−3   a− 3
2   =2⋅2   > 2   +1 ≥a+ 1,

что и требовалось. Оценим левую часть, используя полученное неравенство:

2x+y(x+ y+z)≤ 2x+y+1(x+ y)<2x+y+1+x+y−3 =22x+2y−2.

Далее (x− 2)(y− 2)≥1,  то есть xy− 2x− 2y ≥− 3.  Тогда в левой части 2xyz ≥22x+2y−3z.  Пусть z ≥ 2.  Тогда

2xyz ≥22x+2y−3z ≥ 22x+2y−2 > 2x+y(x+ y+ z)

по прошлой оценке, то есть равенство возможно только при z = 1.  Теперь пусть x  или y  хотя бы 4.  Тогда (x− 2)(y− 2)≥2  и

2xy ≥22x+2y−2,

что снова противоречит оценке правой части. Значит, x =y =3.  Подставляя тройку (3,3,1)  понимаем, что это не будет решением. Итого, мы получили ответ из шести троек (учитывая то, что есть симметричные для x= 2):  (2,3,5),  (3,2,5),  (2,4,2),  (4,2,2),  (2,5,1)  и (5,2,1).

Ответ:

 (2,3,5),  (3,2,5),  (2,4,2),  (4,2,2),  (2,5,1)  и (5,2,1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#124432

Найдите все пары целых чисел (x,y),  удовлетворяющих уравнению

 2   2
x = y +2y+ 13.
Показать ответ и решение

Заметим, что правая часть уравнения представляется в виде

 2                 2
y + 2y +1+ 12= (y +1) +12

Перенесём (y +1)2  в левую часть. Тогда, пользуясь формулой разности квадратов, получаем:

 2      2
x − (y+ 1) =12

(x − y − 1)(x+ y+ 1)= 12

Числа (x − y− 1)  и (x+ y+ 1)  имеют одинаковую чётность (и одинаковый знак), поэтому одно из них ± 2,  а другое ± 6.  Разберём эти случаи:

1.

({              ({            ({
  x− y− 1 =2 ⇔   x= y+ 3  ⇔  x = 4
( x+ y+1 =6    ( 2y = 2     (y =1
2.

(               (            (
{x− y− 1= −2    { x= y− 1    {x =− 4
(             ⇔ (          ⇔ (
 x+ y+ 1= −6      2y = −6     y =− 3
3.

(               (           (
{ x− y− 1= 6  ⇔ {x= y+ 7  ⇔ { x= 4
( x+ y+ 1= 2    (2y = −6    ( y = −3
4.

({               ({            ({
(x− y− 1= −6  ⇔ (x = y− 5  ⇔ (x =− 4
 x+ y+ 1= −2      2y = 2      y =1
Ответ:

 (±4;1),  (±4;−3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125072

Найдите все такие пары целых чисел m  и n >2  , что ((n − 1)!− n)⋅(n− 2)!= m(m − 2).

Источники: Всеросс, 2025, РЭ, 9.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давай заметим, что в правой части равенства почти полный квадрат. Не хватает 1. Давайте добавим её слева и справа.

Подсказка 2:

Также хотелось бы разложить на скобочки левую часть, притом желательно на взаимно простые. Если не получается угадать разложение, рассмотрите выражение слева как квадратный трёхчлен относительно (n-2)!.

Подсказка 3:

Итак, вы получили равенство ((n - 1)! - 1)((n - 2)! - 1) = (m - 1)². Являются ли скобки в левой части взаимно простыми?

Подсказка 4:

Для дальнейших продвижения необходимо вспомнить, что если произведение взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из них является квадратом. Кстати, почему это так?

Подсказка 5:

Теперь осталось показать, что при больших n какая-то из скобок не сможет быть большим квадратом. Учитывая особенности факториалов, стоит подумать про остатки. Например, при делении на 4 квадраты могут иметь далеко не все остатки.

Показать ответ и решение

Заметим, что

((n − 1)!− 1)((n− 2)!− 1)=(n− 1)!⋅(n− 2)!− (n− 1)!− (n− 2)!+1 =

                      2               2
((n− 1)!− n)⋅(n − 2)!+ 1= m − 2m +1 =(m − 1) .

Пусть n> 4.  Заметим, что числа (n − 1)!− 1  и (n− 2)!− 1  взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся на простое число p.  Тогда число

(n− 1)!− 1− ((n− 2)!− 1)⋅(n− 1)= n− 2

тоже делится на p.  Тогда (n− 2)!  делится на p,  а (n− 2)!− 1  не кратно p,  противоречие. Таким образом, произведение взаимно простых чисел (n − 1)!− 1  и (n− 2)!− 1  —– точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако, число (n − 1)!− 1  при n >4  даёт остаток 3 при делении на 4, поэтому оно точным квадратом быть не может. Остаётся разобрать случаи n ≤ 4.  При n= 4  получается (m − 1)2 = 5,  решений нет. При n =3  мы получаем: (m − 1)2 = 0,  что даёт единственное решение m = 1  , n =3.

Ответ:

 m = 1,n = 3.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126197

Найдите все натуральные числа, представимые в виде [a,b]+[b,c]+[c,a]  для некоторых натуральных a,b  и c  (здесь [x,y]  — наименьшее общее кратное чисел x  и y  ).

Источники: Курчатов - 2025, 10.4 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробует разделить числа по некоторым признакам и доказывать, что одно семейство представимо, а другое — нет.

Подсказка 2

Заметим, что 1 не представляется в таком виде. А как насчёт остальных нечётных чисел?

Подсказка 3

Вспомните, что нечётные натуральные числа — это числа вида 1+2k, где k — натуральное или 0.

Подсказка 4

[1,1] + [k,1] + [1,k] = 1 + 2k, следовательно, все нечётные числа, кроме 1, представимы. Какие еще множества можно выделить?

Подсказка 5

Давайте посмотрим на числа, имеющие нечётный делитель, больший 1.

Подсказка 6

А что значит "нечётный делитель, больший 1"? Какое это число?

Подсказка 7

Должен быть делитель вида 1+2k, где k — натуральное. Попробуйте подобрать такие числа, чтобы в сумме НОК-ов как раз получилось (2k+1).

Подсказка 8

Например, это можно сделать так: [2ˢ, 2ˢ] + [2ˢk, 2ˢ] + [2ˢ, 2ˢk] = 2ˢ(2k+1). То есть, все числа с нечётными делителями рассмотрены. Какие числа осталось рассмотреть?

Подсказка 9

Осталось рассмотреть степени двоек. Попробуйте придумать пример.

Подсказка 10

Вряд ли у Вас получилось. (: Давайте пойдем от противного: предположим, что 2ᵗ представимо. Может, выберем какое-то определенное t для удобства?

Подсказка 11

Выберем наименьшее t. Какими могут быть числа a, b и c?

Подсказка 12

Можно считать, что среди этих чисел есть нечётные, иначе мы бы могли сократить их на 2 и уменьшить минимальное t.

Подсказка 13

Пусть числа a, b — четные, а с — нечетное. Тогда a = 2ᵐa₁, b = 2ⁿb₁, где a₁ и b₁ — нечётные. Давайте попробуем оценить степени вхождения двойки в каждое из слагаемых представления.

Подсказка 14

Рассмотрите возможные отношения между m и n и получите противоречия с величиной t.

Показать ответ и решение

Заметим, что число 1 не может быть представлено в таком виде.

Докажем, что все нечетные числа, кроме единицы, представляются в таком виде:

[1,1]+[k,1]+[1,k]= 2k+ 1,k∈ ℕ

Докажем, что все числа, имеющие нечетный делитель, больший единицы, представляются в таком виде:

 s  s   s  s    s s    s
[2 ,2]+ [2 k,2 ]+[2,2 k]= 2 (2k+ 1),k ∈ℕ,s∈ ℕ∪ {0}

Предположим, что степени двойки представляются в таком виде. Тогда число 2t  представимо. Выберем наименьшее такое t.  Без ограничения общности можно считать, что среди чисел a,  b  и c  есть нечетные, ведь иначе мы можем сократить все числа на наименьшую степень вхождения двойки и уменьшить число t.

Тогда что среди чисел a,  b  и c  должно быть ровно 1 нечетное и 2 четных. Будем считать, что c  — нечетное, a= 2αa1,  b=2βb1,  где a1,b1  — нечетные.

Если α> β  (случай α< β  аналогичен), то степени вхождения двойки в числа [a,b],  [b,c]  и [c,a]  равны α,  β  и α  соответственно. Но тогда в сумму двойка входит в степени β,  поэтому сумма не может равняться степени двойки.

Значит, α= β.

 α   α     α        α      t
[2 a1,2 b1]+[2b1,c]+ [c,2a1]= 2

                    t− a
[a1,b1]+[b1,c]+ [c,a1]= 2

Представимая степень двойки уменьшилась, следовательно, мы получили противоречие.

Ответ:

Все натуральные числа, кроме 2t,  где t  — целое неотрицательное число.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126937

Докажите, что если n   — точный куб, то число n2+ 3n +3  не может быть точным кубом.

Показать доказательство

Пусть n2+ 3n+ 3  — точный куб, тогда так как n  — тоже точный куб, то

  2               3
n(n  +3n+ 3)= (n +1) − 1

— куб натурального числа.

Тогда мы имеем два куба отличающихся на единицу, значит, больший из двух кубов равен 1, а меньший равен 0, в этом случае n =− 1,  что противоречит условию, значит, предположение было неверным, то есть n2+ 3n +3  не может быть точным кубом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#127247

Натуральные числа x,y,z  удовлетворяют соотношению 3xy = 2z2  . Докажите, что x3+ y3+z3   — составное число.

Показать доказательство

Из условия следует 3xyz = 2z3.  Предположим, что исходное выражение простое число, и преобразуем его:

 3  3   3   3   3        3
x + y +z = x + y +3xyz− z =

         ( (x-− y)2+-(y+-z)2-+(x+-z)2)
=(x+ y− z)            2

Теперь заметим, что правая скобка всегда больше 1 из натуральности x,y,z,  поэтому x+ y− z = 1.  Подставим полученное в равенство из условия:

3xy = 2(x+y − 1)2

Раскроем скобки в

         2    2
4x+ 4y =2x + 2y +xy +2

То есть

2(x− 1)2+ 2(y− 1)2 +xy− 2= 0

xy ≥1,  так что если x> 1,  то равенства не будет, значит, x= 1.  Аналогично y = 1.  При x= y = 1  равенство тоже не выполняется, значит, выражение из условия было составным числом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#127248

Натуральные числа a,b,c  таковы, что

-a2-+b2   b2-+c2-  c2-+a2-
c(a+ b) = a(b+ c) = b(c+ a).

Докажите, что a= b= c.

Показать доказательство

Первое решение. Выражение симметрично относительно a,b,c,  так что можно считать a≥ b≥c.  Тогда из натуральности получаем  2   2  2   2
a + b ≥b + c  и c(a+ b)≤ a(b+c).  Из таких неравенств на числитель и знаменатель первых двух дробей получаем, что должны выполняться точные равенства. Значит,  2  2   2  2
a +b = b +c  и a= c,  но b  между ними, так что a= b= c,  что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть

   a2+ b2   b2+ c2   c2+ a2
k= c(a+-b) = a(b+c) = b(c-+a).

Тогда имеем

k⋅c(a +b)= a2+b2

k⋅a(b +c)= b2+ c2.

Вычитая полученные равенства, получаем

kb(c− a)= (a − c)(a+ c).

Если a⁄= c,  то, сократив, получим равенство kb= −a − c.  С другой стороны, левая часть очевидно больше 0, а правая — меньше, откуда получаем противоречие. Значит, a= c.  Аналогично получаем a =b  и b= c.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127250

Найдите все натуральные n  и простые p  такие, что n4+ 4= p.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Было бы здорово разложить левую часть на множители, ведь простое число имеет не слишком много делителей.

Подсказка 2:

Для разложения можно попробовать выделить полный квадрат и посмотреть, что получается. Либо же воспользоваться методом неопределённых коэффициентов.

Подсказка 3:

Если произведение двух чисел равно простому, то одно из них равно 1, а другое — этому простому числу.

Показать ответ и решение

Разложим n4 +4  на множители:

 4     4       2   2    2        2
n +4 =n + 4+ 4n − 4n = (n − 2n +2)(n +2n+ 2)

Левая скобка всегда хотя бы 1, так как она равна (n− 1)2+ 1.  Правая, очевидно, всегда больше 1. Значит, если результат выражения простое число, то

 2
n − 2n +2= 1,

то есть n =1, p =5.

Ответ:

 n =1  и p =5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#128118

Сколько решений в целых числах x,y  имеет уравнение 6x2+2xy+ y+ x= 2025?

Источники: БИБН - 2025, 10.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как у входит в уравнение только в первой степени, давайте выразим у через х, что у нас получится? Как можно использовать тот факт, что х – целое число?

Подсказка 2

Выделим в полученной дроби целую часть и посмотрим на результат. В каких случаях полученное выражение будет целым?

Подсказка 3

Когда 2024/(2х + 1) – целое число! А сколько есть нечётных делителей у числа 2024 (не забудьте учесть отрицательные числа!)? Каждому такому делителю соответствует единственная пара чисел (х;у), так что количество нечётных делителей как раз и будет ответом к задачке)

Показать ответ и решение

Выразим y:

    2025−-6x2− x
y =    2x+1

Разделим 6x2+ x  с остатком на 2x+ 1:

6x2+ x= (3x− 1)(2x +1)+ 1

Тогда

   2025− (3x− 1)(2x+ 1)− 1  2024
y =--------2x+-1------- = 2x-+1-− 3x+ 1

Тогда y  является целым тогда и только тогда, когда 2024 делится на нечетное число 2x +1.  Знаем, что 2024= 8⋅11⋅23.  Получаем, что 2x+ 1  может принимать значения делителей 253= 11⋅23,  а именно {1;11;23;253}.  Надо также учесть отрицательные числа, итого 8 значений.

Ответ:

 8  решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80772

Найдите все тройки целых чисел (a;b;c)  такие, что:

- a< b  ,

- число b− a  не кратно 3 ,

- число (a− c)(b− c)  является квадратом некоторого простого числа,

- выполняется равенство  2
a + b= 1000  .

Источники: Физтех - 2024, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте поймем, что если (a - c)(b - c) = p^2, то у нас есть не так много возможных случаев, так как a - c и b - c - это делители p^2, а их у нас всего +-1,+-p,+-p^2. Значит, у нас всего 6 вариантов. А как можно, используя условие, еще сократить количество вариантов, которые надо перебрать?

Подсказка 2

Можно, используя условие a < b, сказать, что a - c < b - c => у нас есть два варианта: первая скобка равна 1, вторая p^2 или первая равна -p^2, а вторая -1. Хорошо, у нас получилась совокупность систем. Как нам её решить?

Подсказка 3

Во-первых, надо избавиться от c (ни к селу, ни к городу это с) и получить, что a - b = p^2 - 1. При этом, a - b (то есть, p^2 - 1) не кратно 3. Но любой ненулевой остаток квадрата числа дает 1 по модулю 3. Значит, p кратно 3. Что тогда можно сказать про a, b, c? Как меняется наша система?

Подсказка 4

Это значит, что p = 3, а значит, a - b = 8; a^2 + b = 1000. Остаётся решить квадратное уравнение на а, которое получается из этой системы, и найти все с, которые подходят.

Показать ответ и решение

Второе условие можно записать как

            2
(a − c)(b− c)=p , где p — простое число

По условию a< b,  это значит, что a − c< b− c.  Тогда

             2    2     2
(a− c)(b− c)= p = 1⋅p =(−p )(−1)

Следовательно, возможны следующие случаи

{ a − c= 1     { a− c= −p2
  b− c= p2 или   b− c= −1

Из обеих совокупностей можно получить b− a =p2− 1,  из которого можно получить, что p2 − 1  не делится на 3.

Так как p+ 1  и p− 1  не делятся на 3,  а среди последовательных 3  чисел обязательно найдется число, делящееся на 3,  то p  делится на 3. Но p  — простое, значит, p= 3.

Получаем следующую систему

{
  b− a= 8           2
  a2+b =1000   =⇒  a  +a− 992= 0

Из последнего уравнения получаем, что

{
  a= 31  =⇒  b= 39
  a= −32  =⇒  b =− 24

Теперь найдем c

[
  c= a− 1
  c= a+ p2 = a+ 9

Тогда c  может равняться

⌊
|| c= 30
|| c= 40
⌈ c= −23
  c= −33
Ответ:

 (31, 39, 30), (−32, −24, −33), (31, 39, 40),(−32, −24, −23)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#83308

Натуральное число n ≥2023  имеет простой делитель p >2  и другой делитель q,  связанный с p  соотношением (p− 1)(q+ 2)=n − 2  . Найти наименьшее возможное при этих условиях число n  .

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки, приведём подобные и посмотрим на выражения слева и справа. Что можно сказать про p и q, исходя из того, что они делители числа n? Ведь слева у нас выражение без свободного коэффициента, зависящее от p и q, а справа n.

Подсказка 2

Верно, можно сказать, что 2p кратно q и q кратно p. Как можно сделать оценки на p и q?

Подсказка 3

Можно сказать, что q = kp. Но тогда 2p кратно kp. Равенства быть не может по условию, остаётся только вариант 2p^2 = n. Отсюда понятно, как искать min n: нужно найти min p при 2p^2 ≥ 2023.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

(p− 1)(q +2)= n− 2 =⇒  pq− q+ 2p − 2 =n − 2

pq− q+2p= n

Раз p  и q  — это делители n,  то выражение в левой части должно делиться на p  и q.  Следовательно, получаем

(|{  ..
  q. p
|( 2p ... q

То есть q = kp,  тогда 2p ... kp,  откуда следует, что k =1  или k= 2.  Но так как q ⁄= p,  подходит только q = 2p.  Подставим:

  2
2p − 2p+ 2p= n

2p2 =n

Осталось перебрать чётные n,  которые является удвоенным квадратом простого числа. Перебирая n ≥2023,  получаем ответ 2⋅372 = 2738.

Проверка:

(37− 1)(2 ⋅37+ 2)= 2⋅372− 2

(37− 1)(37+ 1)= 372− 1
Ответ: 2738

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#85441

Простое p  и натуральные x  и y  удовлетворяют условиям

    2x2−-1-   2
p =   7   =2y − 1

Найдите все такие тройки чисел p,x,y.

Показать ответ и решение

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду x2 = 6y2− 3.  Теперь давайте воспользуемся тем, что p= 2y2− 1  правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

 2   2   2
x − y = 6y − 3

(x− y)(x+ y)= 3p

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как x+y  положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда x − y =1,x+ y = 3p  и когда x− y = 3,x +y =p.  Заметим, что p= 2  не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае x= y+ 1  и тогда

(y+1)2 = 7y2 − 3

3y2− y − 2= 0

Откуда натуральный корень только y = 1,  но тогда p= 1.  Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что y =2.  Откуда p= 7,x= 5.

Ответ:

 p =7,x= 5,y =2

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!