Остатки и делимость по модулю 11
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число, кратное 
Между его цифрами вставили два нуля подряд. Докажите, что полученное число тоже делится на
Источники:
Подсказка 1
Как здорово, что у нас существуют признаки делимости! К сожалению, человечество еще не придумало признака делимости на 495, но может быть, можно как-то решить этот вопрос?
Подсказка 2
Ага, смотрите-ка: если число делится на Х, то оно должно делиться на множители этого Х, а в нашем случае на множители 495! Например, на 5, 9 и 11! А что это значит..?
Подсказка 3
Смотрим, изменилась ли делимость на 5 (смотрим на последнюю цифру), на 9 (смотрим на сумму цифр), на 11 (смотрим на знакопеременную сумму цифр). Задача решена!
Первое решение.
После разложения на взаимнопростые множители 
нужно использовать критерии делимости для старого и нового (после
вставки двух нулей) чисел.
) Сумма цифр при вставке двух нулей не меняется, поэтому не меняется и делимость на 
) Знакопеременная сумма цифр также не меняется, поэтому не меняется и делимость на 
(или можно сказать, что суммы цифр на
чётных и нечётных местах остались равны).
) Последняя цифра не изменилась, так как нули вставляют между цифрами, поэтому не изменилась и делимость на
Второе решение.
Обозначим число до вставленных цифр, у которого следующие цифры сделаем нулями, через 
(сразу заметим, что 
делится на 
,
потому что у этого числа на конце нули), после — через 
Тогда исходное число это 
а новое число равно 
Из замеченной делимости на 
следует делимость числа 
на 
а 
это исходное число, которое тоже делится на
по условию.
В итоге и полученная сумма делится на 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
