Разложение на целые скобки

Первое решение. Если два из чисел равны, то сразу следует, что все три равны. Поэтому можно предположить, что числа различны попарно. Вычитая из первого уравнения второе, имеем и два аналогичных, которые при умножении дают

Если нечётно, то разности и имеют одинаковый знак, и произведение слева положительно, в то время как отрицательно. Следовательно, должно быть чётным.

Пусть — наибольший общий делитель разностей так что

где и

Из следует, что то есть

Поскольку и не более чем одно из чисел может делиться на Если не делит ни одно из них, имеем

откуда но это противоречит

Таким образом, должно делить ровно одно из этих чисел. Без ораничений общности, то есть Теперь получаем, аналогично предыдущему, Из уравнения следует, что было чётно, то есть Таким образом, откуда и Наконец,

Зная, что чётное, пусть перепишем уравнение с в виде

Второй множитель слева делится на поэтому первый множитель должен быть Тогда ровно одно из чисел и должно быть нечётным; однако чётно, что влечет противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Начало такое же, как в первом решении. Предполагая, что , не все равны, а значит, все различны, мы выводим уравнение , то есть чётное. Положим

Предположим, что нечётное. Тогда целое число

которое является множителем в также должно быть нечётным. Эта сумма из слагаемых нечётна только если и имеют разную чётность. То же верно для пар и то есть чередуются по чётности, что невозможно.

Таким образом, Исходное уравнение показывает, что должны быть одинаковой чётности. Поэтому мы можем разделить на то есть на чтобы получить следующее произведение шести целых множителей:

Каждый из множителей должен быть равен В частности, Если чётное, это равносильно и даёт откуда что противоречит

Пусть нечётное. Тогда сумма равная имеет как множитель. Поскольку и одинаковой чётности, это означает, что и аналогично, В некоторых двух из этих уравнений знаки должны совпадать, следовательно, некоторые два из равны, что вновь дает противоречие.