Тема Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107059

Найдите все простые $p,$ для которых найдутся натуральные числа $a$ и $b$ такие, что

2 2 2 2 p =a + b + ab, a + b + 25 =15ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз p простое, мы хотим получить равенство, где будет какое-то произведение скобок, а с другой стороны p, при этом в условии есть точный квадрат 25, так что хочется поискать разность квадратов.

Подсказка 2

Мы предположили, что второе равенство надо брать с коэффициентом ±1, и найти ещё какой-то квадрат, видимо, с переменными. В силу симметрии он должен выглядеть как (ax+bx)².

Подсказка 3

Можно написать уравнение на x и выяснить, что для выделения полного квадрата нужно взять первое равенство с коэффициентом 17. Теперь у нас есть две скобки, в произведении дающие 17p, осталось дорешать задачу.

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 2 2 17p= 17(a + b+ ab)=(4a+ 4b) − 25 +a + b +25− 15ab =

2 = (4a+ 4b) − 25= (4a+ 4b− 5)(4a+ 4b+ 5)

Понятно, что первая скобка меньше второй. Если $4a+ 4b− 5 =1,$ то $a +b= 3∕2,$ что невозможно. Если $4a+4b− 5= 17$ и $4a+ 4b+5 =p,$ то $p =27$ — противоречие. Наконец, если $4a+4b− 5= p,$ $4a+4b+ 5= 17,$ то $p= 7.$ Для него подойдут $a =1,$ $b= 2.$

Ответ:

$p =7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120577

Решите уравнение в целых числах: $x= x2+ xy+y2+ 2y+ 2.$

Источники: ФЕ - 2025, 11.3(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вид самого уравнения намекает на то, что можно попробовать выделить полные квадраты. Какие и как?

Подсказка 2

Попробуем перенести все в одну сторону и домножить на 2, после посмотреть, что получается (так легче будет заметить члены из полных квадратов).

Подсказка 3

Вообще, уже получили достаточно хороший вид, однако остаётся x² - 2x. Добавим 1 к обоим частям уравнения, чтобы получить полный квадрат. Теперь все слагаемые — полные квадраты, а справа — 1. Что нам это дает?

Подсказка 4

У нас остается не так много случаев из-за того, что эти квадраты — целые и неотрицательные. В частности, тогда одно из них равно 1, а другие два равны 0. Достаточно разобрать эти случаи, чтобы получить ответ!

Показать ответ и решение

Перенесем $x$ вправо и получим

2 2 x +xy +y + 2y+2 − x =0

Домножим на два и переставим слагаемые

2 2 −2x+ 2x + 2xy+ 2y + 4y+ 4= 0

Добавим к обеим частям $1$ и разделим оба квадрата на два слагаемых:

1− 2x+x2+ x2+ 2xy+y2+ y2+ 4y +4 =1

Выделим полные квадраты!

(1− x)2 +(x+ y)2+ (y+2)2 = 1

Так как $x$ и $y$ — целые, каждое из слагамых в левой части является целым неотрицательным числом. Тогда их сумма может быть равна $1$ только если одно из слагамых равно $1,$ а два других равны $0.$

Разберем случаи, когда два слагаемых равны $0.$ В случае $x= 1,x= −y$ получаем $y+ 2= 1$ — подходит. Если $x= 1,y =− 2,$ то $x +y = −1$ — тоже подходит. Наконец, при $y = −2,x= −y$ получаем $x − 1= 1,$ оно тоже подходит.

Ответ:

$(1,− 1),(1,−2),(2,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#121760

Дано натуральное число $n.$ Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Источники: Турнир городов - 2025, устный тур, 11.2(см. turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Ясно, что m > n. Давайте для удобства обозначим m = n + k и будем считать количество таких k. Осталось записать условие на равенство сумм, пользуясь формулой суммы членов арифметической прогрессии.

Подсказка 2:

Пусть первой наименьшее число среди n чисел равно x. Тогда у вас должно получиться равенство, в котором участвуют x, k и n. Обратите внимание на чётность множителей.

Подсказка 3:

У вас должно было получиться равенство (2x + k - 1)k = 2n². Давайте заметим, что у 2n² нечётное количество нечётных делителей. А сколько значений х соответствует распределению делителей по скобочкам?

Показать доказательство

Решение 1. Ясно, что $m > n,$ положим $m =n +k,$ где $k$ — натуральное, и будем искать количество подходящих $k,$ то есть таких $k,$ для которых уравнение

x +(x+ 1)+...+(x+ k− 1)+ ((x+ k)+ ...+(x+ k+ n− 1))= (x+ k+n)+ ...+ (x+k +2n− 1)

имеет решение в натуральных $x.$ Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:

(2x+-k−-1)⋅k- (2x+-2k+-n−-1)⋅n- (2x-+2k+-3n−-1)⋅n- 2 + 2 = 2

Умножив на $2$ и приведя подобные слагаемые получаем:

(2x+ k− 1)k= 2n2 (∗)

Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении $2 2n ,$ при этом левый сомножитель больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель $d$ числа $2 2n ,$ то, зная $d,$ найдём дополнительный делитель $′ 2n2 d = d ,$ и далее из системы $′ ′ k= min{d,d} ,2x+ k− 1= max{d,d }$ однозначно находим натуральное $x$ (равное $(d−d′+1) |-2|-- ).$

Итак, количество подходящих $k$ равно количеству нечётных делителей числа $2n2,$ которое, в свою очередь, равно количеству всех делителей числа $s2,$ где (нечётное) $s$ получается из $n$ делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение $n.$ Но количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа $s2,$ кроме $s,$ можно разбить на пары: $t↔ st2 ,$ и только делитель $s$ остаётся без пары).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Очевидно, $m =n +k,$ где $k$ натуральное. Запишем равенство из условия в виде

(a+1)+ ...+ (a +m )=(a+ m +1)+ ...+ (a+ m +n)

Отсюда:

2 a = n-− k+-1 (∗∗) k 2

Чтобы условие задачи выполнялось с данным $k,$ необходимо и достаточно, чтобы $a$ было целым неотрицательным.

Положим $n =s⋅2r,$ где $s$ нечётное, $r$ целое неотрицательное. Тогда $a$ будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**) целые $;$ (б) если оба они полуцелые $.$ Первый случай имеет место, когда $k$ — нечётный делитель числа $n2,$ то есть делитель числа $s2.$ Количество $c$ таких значений $k$ нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает, что

k= d⋅22r+1,

где $d$ — делитель числа $s2.$ Между первым и вторым множеством значений $k$ есть биекция: каждому $k$ из первого множества соответствует число $2nk2$ из второго множества, и обратно.

Пусть $(f,g)$ — пара из указанной биекции, причём $f <g.$ Тогда при $k =f$ получится неотрицательное $a,$ а при $k =g$ отрицательное. Действительно, в силу $(∗∗)$ требуется проверить неравенство

k(k+1)≤ 2n2.

Но $f(f + 1) ≤fg = 2n2, g(g+ 1)> gf =2n2,$ что и требовалось. Поэтому подходящих значений $k$ будет ровно $c,$ то есть нечётное количество.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122430

Трёхзначное число состоит из цифр $a,b,c$ и обладает следующими свойствами:

$1)$ цифра в разряде единиц равна последней цифре числа $a+ b+ c;$

$2)$ цифра в разряде десятков равна последней цифре числа $ab+ bc+ca;$

$3)$ цифра в разряде сотен равна последней цифре числа $abc.$

Найдите все такие числа.

Источники: Изумруд-2025, 11.1(см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что последняя цифра суммы а + b + с равна с. Это означает, что а + b должно быть кратно 10. Какие пары цифр а и от 1 до 9 дают в сумме 10?

Подсказка 2

Как можно переписать условие "ab + bc + са оканчивается на b"? Попробуйте выразить это через а, b и с, со старыми ограничениями. Какие новые ограничения на с это накладывает?

Подсказка 3

Финишная прямая! Рассмотрите два основных варианта: Если b = 5, то а = 5. Какие с подойдут? Если а = 1, то b = 9. Какое с даст abc, оканчивающееся на 1? Не забудьте проверить а = 6, b = 4.

Показать ответ и решение

Заметим, что можно, не умаляя общности, считать, что наше трёхзначное число — это именно $abc,$ так как числа $abc,ab+ bc+ca,a+b +c$ — симметричные выражения относительно $a,b,c$ . Тогда по условию $c$ равно последней цифре числа $a+ b+c,$ но тогда $.. (a+ b+c− c).10,$ так как разряд единиц обнулился, то есть $a+ b= 10k,$ где $k$ $∈ ℕ,$ так как $a≥ 1.$ Но $a,b≤ 9,$ значит, $a+b ≤18,$ откуда $k≤ 1$ , то есть $k= 1$ и $a +b= 10.$

Аналогично, так как последняя цифра числа $ab+bc+ ca$ совпадает с $b,$ то $.. (ab+ bc+ca− b).10.$ Перепишем иначе:

c(a+b)+ ab− b= 10c+b(a− 1)= 10n

где $n ∈ℕ.$ Тогда

a(b− 1)= 10n − 10c= 10(n− c)

то есть $b(a− 1)...10⇒ b(a− 1)...2,5.$ При этом $a,b≤ 9,$ значит, либо $b...5⇒ b∈{0,5}$ , либо $a− 1∈ {0,5}⇒ a ∈{1,6}$ (так мы обеспечим делимость на $5).$

Разберём случаи:

1.

$b= 0⇒ a =10− b= 10> 9$ — противоречие.

2.

$b= 5⇒ a =10− b= 5.$ Если $.. c.2,$ то $abc$ оканчивается на $0,$ то есть $a =0$ — противоречие. Значит $c∈ {1,3,5,7,9}.$ Заметим, что все эти числа подходят, так как $-- a +b+ c= 1c,ab+ bc+ ca= 10c+ 25,$ то заканчивается на $5 =b,$ $abc$ тоже заканчивается на $5= a.$

3.

$a =1 ⇒ b=9.$ Знаем, что последняя цифра числа $abc$ равна $a,$ то есть $9⋅c$ заканчивается на $1$ при этом $c≤ 9,$ а наименьшее натуральное число, кратное $9$ и оканчивающееся на $1$ — это $81= 9⋅9⇒ c= 9.$ То есть $--- abc= 199$ — подходит.

4.

$a =6 ⇒ b=4.$ Знаем, что последняя цифра числа $abc= 24 ⋅c$ равна $a =6,$ тогда $c∈ {4,9}:$

4.1.: $--- c= 4⇒ abc=644$ — подходит.
4.2.: $--- c= 6⇒ abc=649$ — подходит.

Итого, ответ: $551,553,555,557,559,644,649,199.$

Ответ:

$551,553,555,557,559,644,649,199$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#124432

Найдите все пары целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющих уравнению

2 2 x = y +2y+ 13.

Показать ответ и решение

Заметим, что правая часть уравнения представляется в виде

2 2 y + 2y +1+ 12= (y +1) +12

Перенесём $(y +1)2$ в левую часть. Тогда, пользуясь формулой разности квадратов, получаем:

2 2 x − (y+ 1) =12

(x − y − 1)(x+ y+ 1)= 12

Числа $(x − y− 1)$ и $(x+ y+ 1)$ имеют одинаковую чётность (и одинаковый знак), поэтому одно из них $± 2,$ а другое $± 6.$ Разберём эти случаи:

1.: $({ ({ ({ x− y− 1 =2 ⇔ x= y+ 3 ⇔ x = 4 ( x+ y+1 =6 ( 2y = 2 (y =1$
2.: $( ( ( {x− y− 1= −2 { x= y− 1 {x =− 4 ( ⇔ ( ⇔ ( x+ y+ 1= −6 2y = −6 y =− 3$
3.: $( ( ( { x− y− 1= 6 ⇔ {x= y+ 7 ⇔ { x= 4 ( x+ y+ 1= 2 (2y = −6 ( y = −3$
4.: $({ ({ ({ (x− y− 1= −6 ⇔ (x = y− 5 ⇔ (x =− 4 x+ y+ 1= −2 2y = 2 y =1$

Ответ:

$(±4;1),$ $(±4;−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125072

Найдите все такие пары целых чисел $m$ и $n >2$ , что $((n − 1)!− n)⋅(n− 2)!= m(m − 2).$

Источники: Всеросс, 2025, РЭ, 9.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давай заметим, что в правой части равенства почти полный квадрат. Не хватает 1. Давайте добавим её слева и справа.

Подсказка 2:

Также хотелось бы разложить на скобочки левую часть, притом желательно на взаимно простые. Если не получается угадать разложение, рассмотрите выражение слева как квадратный трёхчлен относительно (n-2)!.

Подсказка 3:

Итак, вы получили равенство ((n - 1)! - 1)((n - 2)! - 1) = (m - 1)². Являются ли скобки в левой части взаимно простыми?

Подсказка 4:

Для дальнейших продвижения необходимо вспомнить, что если произведение взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из них является квадратом. Кстати, почему это так?

Подсказка 5:

Теперь осталось показать, что при больших n какая-то из скобок не сможет быть большим квадратом. Учитывая особенности факториалов, стоит подумать про остатки. Например, при делении на 4 квадраты могут иметь далеко не все остатки.

Показать ответ и решение

Заметим, что

((n − 1)!− 1)((n− 2)!− 1)=(n− 1)!⋅(n− 2)!− (n− 1)!− (n− 2)!+1 =

2 2 ((n− 1)!− n)⋅(n − 2)!+ 1= m − 2m +1 =(m − 1) .

Пусть $n> 4.$ Заметим, что числа $(n − 1)!− 1$ и $(n− 2)!− 1$ взаимно просты. Предположим, что это не так, и оба этих числа делятся на простое число $p.$ Тогда число

(n− 1)!− 1− ((n− 2)!− 1)⋅(n− 1)= n− 2

тоже делится на $p.$ Тогда $(n− 2)!$ делится на $p,$ а $(n− 2)!− 1$ не кратно $p,$ противоречие. Таким образом, произведение взаимно простых чисел $(n − 1)!− 1$ и $(n− 2)!− 1$ —– точный квадрат, тогда и каждое из них точный квадрат. Однако, число $(n − 1)!− 1$ при $n >4$ даёт остаток 3 при делении на 4, поэтому оно точным квадратом быть не может. Остаётся разобрать случаи $n ≤ 4.$ При $n= 4$ получается $(m − 1)2 = 5,$ решений нет. При $n =3$ мы получаем: $(m − 1)2 = 0,$ что даёт единственное решение $m = 1$ , $n =3.$

Ответ:

$m = 1,n = 3.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127247

Натуральные числа $x,y,z$ удовлетворяют соотношению $3xy = 2z2$ . Докажите, что $x3+ y3+z3$ — составное число.

Показать доказательство

Из условия следует $3xyz = 2z3.$ Предположим, что исходное выражение простое число, и преобразуем его:

3 3 3 3 3 3 x + y +z = x + y +3xyz− z =

( (x-− y)2+-(y+-z)2-+(x+-z)2) =(x+ y− z) 2

Теперь заметим, что правая скобка всегда больше 1 из натуральности $x,y,z,$ поэтому $x+ y− z = 1.$ Подставим полученное в равенство из условия:

3xy = 2(x+y − 1)2

Раскроем скобки в

2 2 4x+ 4y =2x + 2y +xy +2

То есть

2(x− 1)2+ 2(y− 1)2 +xy− 2= 0

$xy ≥1,$ так что если $x> 1,$ то равенства не будет, значит, $x= 1.$ Аналогично $y = 1.$ При $x= y = 1$ равенство тоже не выполняется, значит, выражение из условия было составным числом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127248

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что

-a2-+b2 b2-+c2- c2-+a2- c(a+ b) = a(b+ c) = b(c+ a).

Докажите, что $a= b= c.$

Показать доказательство

Первое решение. Выражение симметрично относительно $a,b,c,$ так что можно считать $a≥ b≥c.$ Тогда из натуральности получаем $2 2 2 2 a + b ≥b + c$ и $c(a+ b)≤ a(b+c).$ Из таких неравенств на числитель и знаменатель первых двух дробей получаем, что должны выполняться точные равенства. Значит, $2 2 2 2 a +b = b +c$ и $a= c,$ но $b$ между ними, так что $a= b= c,$ что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть

a2+ b2 b2+ c2 c2+ a2 k= c(a+-b) = a(b+c) = b(c-+a).

Тогда имеем

k⋅c(a +b)= a2+b2

k⋅a(b +c)= b2+ c2.

Вычитая полученные равенства, получаем

kb(c− a)= (a − c)(a+ c).

Если $a⁄= c,$ то, сократив, получим равенство $kb= −a − c.$ С другой стороны, левая часть очевидно больше 0, а правая — меньше, откуда получаем противоречие. Значит, $a= c.$ Аналогично получаем $a =b$ и $b= c.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#127250

Найдите все натуральные $n$ и простые $p$ такие, что $n4+ 4= p.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Было бы здорово разложить левую часть на множители, ведь простое число имеет не слишком много делителей.

Подсказка 2:

Для разложения можно попробовать выделить полный квадрат и посмотреть, что получается. Либо же воспользоваться методом неопределённых коэффициентов.

Подсказка 3:

Если произведение двух чисел равно простому, то одно из них равно 1, а другое — этому простому числу.

Показать ответ и решение

Разложим $n4 +4$ на множители:

4 4 2 2 2 2 n +4 =n + 4+ 4n − 4n = (n − 2n +2)(n +2n+ 2)

Левая скобка всегда хотя бы 1, так как она равна $(n− 1)2+ 1.$ Правая, очевидно, всегда больше 1. Значит, если результат выражения простое число, то

2 n − 2n +2= 1,

то есть $n =1, p =5.$

Ответ:

$n =1$ и $p =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#128118

Сколько решений в целых числах $x,y$ имеет уравнение $6x2+2xy+ y+ x= 2025?$

Источники: БИБН - 2025, 10.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как у входит в уравнение только в первой степени, давайте выразим у через х, что у нас получится? Как можно использовать тот факт, что х – целое число?

Подсказка 2

Выделим в полученной дроби целую часть и посмотрим на результат. В каких случаях полученное выражение будет целым?

Подсказка 3

Когда 2024/(2х + 1) – целое число! А сколько есть нечётных делителей у числа 2024 (не забудьте учесть отрицательные числа!)? Каждому такому делителю соответствует единственная пара чисел (х;у), так что количество нечётных делителей как раз и будет ответом к задачке)

Показать ответ и решение

Выразим $y:$

2025−-6x2− x y = 2x+1

Разделим $6x2+ x$ с остатком на $2x+ 1:$

6x2+ x= (3x− 1)(2x +1)+ 1

Тогда

2025− (3x− 1)(2x+ 1)− 1 2024 y =--------2x+-1------- = 2x-+1-− 3x+ 1

Тогда $y$ является целым тогда и только тогда, когда 2024 делится на нечетное число $2x +1.$ Знаем, что $2024= 8⋅11⋅23.$ Получаем, что $2x+ 1$ может принимать значения делителей $253= 11⋅23,$ а именно ${1;11;23;253}.$ Надо также учесть отрицательные числа, итого 8 значений.

Ответ:

$8$ решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85441

Простое $p$ и натуральные $x$ и $y$ удовлетворяют условиям

2x2−-1- 2 p = 7 =2y − 1

Найдите все такие тройки чисел $p,x,y.$

Показать ответ и решение

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду $x2 = 6y2− 3.$ Теперь давайте воспользуемся тем, что $p= 2y2− 1$ правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

2 2 2 x − y = 6y − 3

(x− y)(x+ y)= 3p

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как $x+y$ положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда $x − y =1,x+ y = 3p$ и когда $x− y = 3,x +y =p.$ Заметим, что $p= 2$ не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае $x= y+ 1$ и тогда

(y+1)2 = 7y2 − 3

3y2− y − 2= 0

Откуда натуральный корень только $y = 1,$ но тогда $p= 1.$ Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что $y =2.$ Откуда $p= 7,x= 5.$

Ответ:

$p =7,x= 5,y =2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85847

Пусть $a$ — натуральное число. Оказалось, что для всех $n$ существует натуральное $d ⁄=1,$ что $d ≡1 (mod n)$ и $n2a − 1$ делится на $d.$ Докажите, что $a$ — точный квадрат.

Показать доказательство

Предположим противное. Зафиксируем $n$ и представим $d$ в виде $nk+1.$ Тогда при некотором целом $b$ выполнено $2 n a− 1= (nk +1)⋅b.$ Посмотрим на это равенство по модулю $n.$ Левая часть сравнима с $− 1,$ первый множитель правой части — с $1,$ значит, $b$ сравнимо с $− 1,$ то есть представимо в виде $nt− 1.$

Тогда равенство переписывается как

2 n a− 1= (nk+ 1)(nt− 1)

Раскрывая скобки и сокращая на $n ⁄=0,$ имеем

na= nkt+(t− k)

Значит, $t− k$ делится на $n,$ при этом $k⁄= t,$ иначе $a= kt= k2.$ Но тогда $k$ или $t$ не меньше $n$ и при достаточно большом $n$ равенство $na= nkt+ t− k$ невозможно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#86465

Найдите все пары целых чисел $m$ и $n$ , для которых выполнено равенство

2 2 8m − 2m = 2n +n +21

Показать ответ и решение

Разложим на множители:

2 2 8m − 2m − 2n − n= 21

2(2m +n)(2m − n)− (2m+ n)= 21

(2m +n)(4m − 2n − 1)= 21

Обозначим $k =2m + n,$ тогда $4m − 2n − 1= 21k .$ Так как числа целые, то $k$ — делитель $21.$

Тогда $4m + 2n= 2k$ ; $4m − 2n = 2k1+1$ , значит,

m = 2k2+-k+21;n= 2k2−-k−-21 8k 4k

Подставим в формулы все делители числа 21: это $21,7,3,1,−1,−3,−7,−21.$ Одновременно $m$ и $n$ являются целыми при $k= 1$ и $k =− 7.$ При этих $k$ получаем ответы $(3;−5),(−2;−3).$

Ответ:

$(m =− 2,n =− 3),(m = 3,n= −5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#89288

Найти все пары целых неотрицательных чисел $(k,m),$ являющихся решениями уравнения

2 2k +7k= 2mk +3m +36

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем равенство, в котором k во второй степени, а m только в первой. Что же с ним делать?

Подсказка 2

Да, давайте попробуем выразить m через k. У нас получится какая-то дробь. Какой приём в таких случаях чаще всего используется?

Подсказка 3

Верно, это выделение целой части. Оставшаяся же часть будет равна 42/(2k+3). Так как m, k+2 точно целые, то и эта дробь должна быть целым числом. Значит, осталось только перебрать все делители числа 42(а есть шанс ещё подумать и уменьшить перебор), и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $2k+3 >0,$ то

2k2+7k-− 36 -42-- m = 2k +3 = k+ 2− 2k+ 3

Так как $m ∈ ℤ,$ $k+ 2∈ℤ,$ значит $42 2k+3 ∈ ℤ.$ Тогда $2k+3 ∈ℕ$ является натуральным делителем числа $42,$ причем нечетным.

1. $2k +3= 1$ $=⇒$ $k= −1$ — не подходит, поскольку $k≥ 0.$

2. $2k +3= 3$ $=⇒$ $k= 0$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −12$ — не подходит, поскольку $m ≥ 0.$

3. $2k +3= 7$ $=⇒$ $k= 2$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −2$ — не подходит, поскольку $m≥ 0.$

4. $2k +3= 21$ $=⇒$ $k =9$ $=⇒$ $m =k +2− 24k2+3 = 9$ — подходит.

Итого у нас только одно решение $(k,m )= (9,9).$

Ответ:

$(9,9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#89290

Натуральные числа $x,y$ таковы, что $2x2+x = 3y2+ y.$ Докажите, что число $x − y$ является точным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нужно доказать что-то про x-y, логично как-то его выразить, вынести за скобки. Притом было бы хорошо, чтобы с другой стороны не было сразу двух переменных.

Подсказка 2

Полезно тогда рассмотреть равенство (x-y)(2x+2y+1)=y^2. Итак, два множителя в произведении дают квадрат, нужно доказать, что один из них квадрат. Как бы это сделать?

Подсказка 3

Поймём, что если (x-y) и (2x+2y+1) дают в произведении y^2, то являются взаимно простыми. Осталось понять, что тогда простые могут входить в (x-y) только в чётных степенях.

Показать доказательство

Перепишем исходное равенство как

2 2 2 x− y = 3y − 2x = 2(y− x)(y+ x)+ y

Откуда следует, что $(x− y)(1+ 2x +2y)= y2.$

Если $x− y$ и $1 +2x+ 2y$ взаимно просты, то можно утверждать, что $x− y$ (как и $1+ 2x+ 2y$ ) является точным квадратом. Предположим, они имеют общий делитель $p.$ Тогда и $y..p,x − y..p . .$ $=⇒$ $x..p. .$ Но тогда $1+ 2x +2y$ не может делиться на $p,$ хотя мы предположили, что и $x − y,$ и $1+2x+ 2y$ на $p$ делятся. Противоречие. Значит эти числа не имеют общих делителей, а значит оба являются полными квадратами.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92978

Решите в целых числах уравнение $x2 =y2+ 4y+ 11.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним стандартные методы решения таких уравнений. Можно как-нибудь разложить выражение на скобочки, получить произведение, равное числу, и перебрать. Можно зажать что-то между квадратами.

Подсказка 2

Давайте запишем левую часть в виде (y+2)²+7. Кажется, теперь понятно, как реализовать оба способа из первой подсказки.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в следующем виде:

2 2 x = (y+ 2) + 7

Таким образом, мы получаем два квадрата, отличающихся на $7.$ Давайте заметим, что между $52$ и $42$ разница уже больше $7.$ Значит, между большими квадратами разница будет также больше $7,$ так как разность между соседними квадратами — возрастающая функция, а разница между несоседними квадратами включает в себя разницы между некоторыми соседними.

Значит, $x2$ и $(y+ 2)2$ могут принимать значения $0,1,4,9,16.$ С помощью перебора понимаем, что $x2 =16,(y +2)2 = 9,$ откуда $x =±4,y = −2 ±3.$

Ответ:

$x =±4,y = −2 ±3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92980

Решите в натуральных числах уравнение

2 2 2 13x + y + z − 4xy− 6xz+y =5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что выражение слева чаще всего принимает довольно большие значения, то есть оно может равняться 5 при очень ограниченном количестве значений, если вообще может.

Подсказка 2

Выражение слева выглядит довольно сложным. Чтобы реализовать догадки из подсказки 1, его нужно преобразовать к более простому виду.

Подсказка 3

Попробуйте поискать полные квадраты и выделить их в левой части, это поможет реализовать подсказки.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 (2x − y) + (3x− z) +y = 5

Получаем, что сумма двух квадратов и натурального числа равна $5.$ Значит, квадраты могут принимать лишь значения $0,1,4.$ Возможны случаи, когда квадраты равны $1$ и $1,1$ и $0,0$ и $1,0$ и $4,4$ и $0,0$ и $0.$ Осталось перебрать их и написать ответ.

Ответ:

$(2,4,5),(2,4,7),(2,3,5),(1,3,2),(2,3,7),(1,3,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92981

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $1 + 1= 1-? x y pq$

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче нужно просто преобразовать уравнение, избавиться от дробей и вы получите стандартное уравнение в целых числах, в котором p и q - некоторые константы.

Показать ответ и решение

Запишем равенство в виде

2 2 (pq− x)(pq− y)= pq

Заметим, что обе скобки меньше $pq,$ а значит, если они больше $0,$ то их произведение меньше $p2q2.$ То есть обе скобки отрицательны. Заметим, что в качестве решения подойд̈eт любой вариант вида $(d,p2q2∕d),$ где $d$ — делитель $p2q2.$ Таких вариантов ровно $9.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#93142

Решите в простых числах уравнение

xyz =7(x+ y+z).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правая часть делится на 7. Можно ли сразу узнать одно из чисел?

Подсказка 2

Верно! В силу простоты получаем, что одно из чисел равно 7. Можно считать, что это z, а в конце учесть перестановки. Тогда уравнение будет иметь вид x + y + 7 = xy. Попробуем применить разложение на множители!

Подсказка 3

Верно! Уравнение можно привести к виду (x-1)(y-1) = 8. Осталось просто перебрать все возможные варианты!

Показать ответ и решение

Так как правая часть делится на $7,$ то одно из чисел равно $7.$ С точностью до перестановки можно считать, что это $z.$ Задача свелась к решению уравнения

x +y+ 7= xy

которое можно записать в виде

(x− 1)(y− 1)= 8

Поскольку ни один из множителей не может равняться $8$ (тогда соответствующее простое число равнялось бы $9$ ), то

x − 1= 2, y − 1= 4 (или наоборот)

Ответ:

$(3;5;7)$ с точностью до перестановки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#95968

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Напомним, что натуральное число называется простым, если у него ровно $2$ делителя: $1$ и само это число. Начало ряда простых чисел: $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ …

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим, что такая пара существует. Пусть это пара p, q. Тогда по условию p² - q² — простое число. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 2

p² - q² = (p - q) * (p + q) и по условию такое число простое. В таком случае, что можно сказать про p - q?

Подсказка 3

p - q должно быть равно 1. Ведь иначе, p² - q² не будет простым по определению. Остаётся найти такие простые числа, разность между которыми равна 1!

Показать ответ и решение

Пусть $p$ и $q$ — простые числа и $p2− q2 = (p − q)(p+ q)$ — простое число. Тогда $p− q = 1.$ Следовательно, одно из наших чисел чётно, то есть $q = 2,$ $p= 3.$

Ответ: (2; 3)