Разложение на целые скобки

Обозначим Тогда из натуральности и того, что следует, что тоже натуральное число.

Преобразуем равенство из условия:

Рассмотрим последнее равенство, как квадратное уравнение относительно с параметром Тогда дискриминант этого уравнения Чтобы уравнение имело решения в натуральных числах нам нужно потребовать, чтобы для какого-то Тогда понятно, что тоже должно быть точным квадратом какого-то числа

Имеем Тогда откуда в силу натуральности и факта, что сумма и разность двух целых чисел имеет одинаковую четность, получим следующие возможные решения:

Тогда рассмотрим случаи. При получим откуда — натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда что противоречит условию о натуральности

Если же то получим уравнение откуда натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда

В итоге, единственное возможное значение.