Разложение на целые скобки
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа 
и 
таковы, что 
Докажите, что 
представляется в виде суммы квадратов двух
последовательных натуральных чисел.
Подсказка 1
Нужно доказать что-то про y, перенесём y^2 влево. На что у нас вообще похоже имеющееся выражение? Что же будем рассматривать?
Подсказка 2
Итак, посчитаем дискриминант квадратного уравнения 3x^2+3x+1-y^2. Поскольку x натурален, дискриминант - квадрат, делаем выводы.
Подсказка 3
Итак, 3(2y - 1)(2y + 1) - квадрат. Заметим, что (2y-1) и (2y+1) взаимно просты, значит, одна из этих скобок точный квадрат, другая точный квадрат на 3. Осталось записать это условие и понять, почему тогда y сумма квадратов двух последовательных чисел.
Рассмотрим 
как уравнение от 
с параметром 
с целыми коэффициентами. Чтобы у него были натуральные
корни, дискриминант этого уравнения 
должен быть точным квадратом. При этом
НОД
Тогда число 
может быть точным квадратом, только если 
или 
— точный квадрат
(а второе число становится квадратом при домножении на 
, т. е. содержит простой делитель 
в нечетной степени, остальные — в
четной). При этом 
не может быть точным квадратом, иначе 
и тогда 
— квадрат, имеющий остаток 
при
делении на 
противоречие.
Значит, 
для некоторого нечетного натурального 
Тогда 
Очевидно, что 
и 
два последовательных натуральных числа при нечетном 
Случай 
при котором нарушается натуральность числа
можно рассмотреть отдельно. В этом случае 
— возможные значения, дающие такой 
но 
— должен быть
натуральным по условию. Значит, 
и нечетное, а 
представимо в виде суммы квадратов двух последовательных
натуральных чисел.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
