Тема . Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела уравнения в целых числах
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76177

Найдите все простые p,  для которых уравнение x4+ 4= py4  разрешимо в целых числах.

Показать ответ и решение

 4     4    2       2    2   2     2   2         2          4
x +4 =x + 4x + 4− (2x) =(x + 2) − (2x) = (x − 2x+ 2)(x +2x +2)= py

1)  Пусть y  четное. Тогда x4  четное; тогда x  четное; тогда x4  делится на 16;  тогда x4+ 4  делится на 4,  но не на 8;  тогда   py4  делится на 4,  но не на 8,  что невозможно. Значит x,y  — нечетные.

2)Н ОД(x2+2x+ 2, x2− 2x +2)= НОД(x2+ 2x+ 2, 4x)= НОД (x2+ 2x+ 2, x)= НО Д(2,x)= 1.  Второй переход верен в силу того, что x2+ 2x+ 2  нечетное. Тогда

a) x2 +2x+ 2= u4  и x2 − 2x+ 2= pv4  (НОД (u,v)= 1  ). Но тогда (x+ 1)2+ 1= (u2)2,  что возможно только при x =− 1.  Отсюда p =5,y = 1.

б)  2           4
x  +2x+ 2= pu  и  2          4
x − 2x+ 2= v  (НОД (u,v)= 1  ). Но тогда      2      2 2
(x− 1)+ 1= (v) ,  что возможно только при x =1.  Отсюда p =5,y = 1.

Ответ:

Только при p =5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!