Тема Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85441

Простое $p$ и натуральные $x$ и $y$ удовлетворяют условиям

2x2−-1- 2 p = 7 =2y − 1

Найдите все такие тройки чисел $p,x,y.$

Показать ответ и решение

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду $x2 = 6y2− 3.$ Теперь давайте воспользуемся тем, что $p= 2y2− 1$ правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

2 2 2 x − y = 6y − 3

(x− y)(x+ y)= 3p

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как $x+y$ положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда $x − y =1,x+ y = 3p$ и когда $x− y = 3,x +y =p.$ Заметим, что $p= 2$ не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае $x= y+ 1$ и тогда

(y+1)2 = 7y2 − 3

3y2− y − 2= 0

Откуда натуральный корень только $y = 1,$ но тогда $p= 1.$ Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что $y =2.$ Откуда $p= 7,x= 5.$

Ответ:

$p =7,x= 5,y =2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85847

Пусть $a$ — натуральное число. Оказалось, что для всех $n$ существует натуральное $d ⁄=1,$ что $d ≡1 (mod n)$ и $n2a − 1$ делится на $d.$ Докажите, что $a$ — точный квадрат.

Показать доказательство

Предположим противное. Зафиксируем $n$ и представим $d$ в виде $nk+1.$ Тогда при некотором целом $b$ выполнено $2 n a− 1= (nk +1)⋅b.$ Посмотрим на это равенство по модулю $n.$ Левая часть сравнима с $− 1,$ первый множитель правой части — с $1,$ значит, $b$ сравнимо с $− 1,$ то есть представимо в виде $nt− 1.$

Тогда равенство переписывается как

2 n a− 1= (nk+ 1)(nt− 1)

Раскрывая скобки и сокращая на $n ⁄=0,$ имеем

na= nkt+(t− k)

Значит, $t− k$ делится на $n,$ при этом $k⁄= t,$ иначе $a= kt= k2.$ Но тогда $k$ или $t$ не меньше $n$ и при достаточно большом $n$ равенство $na= nkt+ t− k$ невозможно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#86465

Найдите все пары целых чисел $m$ и $n$ , для которых выполнено равенство

2 2 8m − 2m = 2n +n +21

Показать ответ и решение

Разложим на множители:

2 2 8m − 2m − 2n − n= 21

2(2m +n)(2m − n)− (2m+ n)= 21

(2m +n)(4m − 2n − 1)= 21

Обозначим $k =2m + n,$ тогда $4m − 2n − 1= 21k .$ Так как числа целые, то $k$ — делитель $21.$

Тогда $4m + 2n= 2k$ ; $4m − 2n = 2k1+1$ , значит,

m = 2k2+-k+21;n= 2k2−-k−-21 8k 4k

Подставим в формулы все делители числа 21: это $21,7,3,1,−1,−3,−7,−21.$ Одновременно $m$ и $n$ являются целыми при $k= 1$ и $k =− 7.$ При этих $k$ получаем ответы $(3;−5),(−2;−3).$

Ответ:

$(m =− 2,n =− 3),(m = 3,n= −5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89288

Найти все пары целых неотрицательных чисел $(k,m),$ являющихся решениями уравнения

2 2k +7k= 2mk +3m +36

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеем равенство, в котором k во второй степени, а m только в первой. Что же с ним делать?

Подсказка 2

Да, давайте попробуем выразить m через k. У нас получится какая-то дробь. Какой приём в таких случаях чаще всего используется?

Подсказка 3

Верно, это выделение целой части. Оставшаяся же часть будет равна 42/(2k+3). Так как m, k+2 точно целые, то и эта дробь должна быть целым числом. Значит, осталось только перебрать все делители числа 42(а есть шанс ещё подумать и уменьшить перебор), и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $2k+3 >0,$ то

2k2+7k-− 36 -42-- m = 2k +3 = k+ 2− 2k+ 3

Так как $m ∈ ℤ,$ $k+ 2∈ℤ,$ значит $42 2k+3 ∈ ℤ.$ Тогда $2k+3 ∈ℕ$ является натуральным делителем числа $42,$ причем нечетным.

1. $2k +3= 1$ $=⇒$ $k= −1$ — не подходит, поскольку $k≥ 0.$

2. $2k +3= 3$ $=⇒$ $k= 0$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −12$ — не подходит, поскольку $m ≥ 0.$

3. $2k +3= 7$ $=⇒$ $k= 2$ $=⇒$ $m =k +2 −24k2+3 = −2$ — не подходит, поскольку $m≥ 0.$

4. $2k +3= 21$ $=⇒$ $k =9$ $=⇒$ $m =k +2− 24k2+3 = 9$ — подходит.

Итого у нас только одно решение $(k,m )= (9,9).$

Ответ:

$(9,9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#89290

Натуральные числа $x,y$ таковы, что $2x2+x = 3y2+ y.$ Докажите, что число $x − y$ является точным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нужно доказать что-то про x-y, логично как-то его выразить, вынести за скобки. Притом было бы хорошо, чтобы с другой стороны не было сразу двух переменных.

Подсказка 2

Полезно тогда рассмотреть равенство (x-y)(2x+2y+1)=y^2. Итак, два множителя в произведении дают квадрат, нужно доказать, что один из них квадрат. Как бы это сделать?

Подсказка 3

Поймём, что если (x-y) и (2x+2y+1) дают в произведении y^2, то являются взаимно простыми. Осталось понять, что тогда простые могут входить в (x-y) только в чётных степенях.

Показать доказательство

Перепишем исходное равенство как

2 2 2 x− y = 3y − 2x = 2(y− x)(y+ x)+ y

Откуда следует, что $(x− y)(1+ 2x +2y)= y2.$

Если $x− y$ и $1 +2x+ 2y$ взаимно просты, то можно утверждать, что $x− y$ (как и $1+ 2x+ 2y$ ) является точным квадратом. Предположим, они имеют общий делитель $p.$ Тогда и $y..p,x − y..p . .$ $=⇒$ $x..p. .$ Но тогда $1+ 2x +2y$ не может делиться на $p,$ хотя мы предположили, что и $x − y,$ и $1+2x+ 2y$ на $p$ делятся. Противоречие. Значит эти числа не имеют общих делителей, а значит оба являются полными квадратами.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92978

Решите в целых числах уравнение $x2 =y2+ 4y+ 11.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним стандартные методы решения таких уравнений. Можно как-нибудь разложить выражение на скобочки, получить произведение, равное числу, и перебрать. Можно зажать что-то между квадратами.

Подсказка 2

Давайте запишем левую часть в виде (y+2)²+7. Кажется, теперь понятно, как реализовать оба способа из первой подсказки.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в следующем виде:

2 2 x = (y+ 2) + 7

Таким образом, мы получаем два квадрата, отличающихся на $7.$ Давайте заметим, что между $52$ и $42$ разница уже больше $7.$ Значит, между большими квадратами разница будет также больше $7,$ так как разность между соседними квадратами — возрастающая функция, а разница между несоседними квадратами включает в себя разницы между некоторыми соседними.

Значит, $x2$ и $(y+ 2)2$ могут принимать значения $0,1,4,9,16.$ С помощью перебора понимаем, что $x2 =16,(y +2)2 = 9,$ откуда $x =±4,y = −2 ±3.$

Ответ:

$x =±4,y = −2 ±3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92980

Решите в натуральных числах уравнение

2 2 2 13x + y + z − 4xy− 6xz+y =5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что выражение слева чаще всего принимает довольно большие значения, то есть оно может равняться 5 при очень ограниченном количестве значений, если вообще может.

Подсказка 2

Выражение слева выглядит довольно сложным. Чтобы реализовать догадки из подсказки 1, его нужно преобразовать к более простому виду.

Подсказка 3

Попробуйте поискать полные квадраты и выделить их в левой части, это поможет реализовать подсказки.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 (2x − y) + (3x− z) +y = 5

Получаем, что сумма двух квадратов и натурального числа равна $5.$ Значит, квадраты могут принимать лишь значения $0,1,4.$ Возможны случаи, когда квадраты равны $1$ и $1,1$ и $0,0$ и $1,0$ и $4,4$ и $0,0$ и $0.$ Осталось перебрать их и написать ответ.

Ответ:

$(2,4,5),(2,4,7),(2,3,5),(1,3,2),(2,3,7),(1,3,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92981

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $1 + 1= 1-? x y pq$

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче нужно просто преобразовать уравнение, избавиться от дробей и вы получите стандартное уравнение в целых числах, в котором p и q - некоторые константы.

Показать ответ и решение

Запишем равенство в виде

2 2 (pq− x)(pq− y)= pq

Заметим, что обе скобки меньше $pq,$ а значит, если они больше $0,$ то их произведение меньше $p2q2.$ То есть обе скобки отрицательны. Заметим, что в качестве решения подойд̈eт любой вариант вида $(d,p2q2∕d),$ где $d$ — делитель $p2q2.$ Таких вариантов ровно $9.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#93142

Решите в простых числах уравнение

xyz =7(x+ y+z).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правая часть делится на 7. Можно ли сразу узнать одно из чисел?

Подсказка 2

Верно! В силу простоты получаем, что одно из чисел равно 7. Можно считать, что это z, а в конце учесть перестановки. Тогда уравнение будет иметь вид x + y + 7 = xy. Попробуем применить разложение на множители!

Подсказка 3

Верно! Уравнение можно привести к виду (x-1)(y-1) = 8. Осталось просто перебрать все возможные варианты!

Показать ответ и решение

Так как правая часть делится на $7,$ то одно из чисел равно $7.$ С точностью до перестановки можно считать, что это $z.$ Задача свелась к решению уравнения

x +y+ 7= xy

которое можно записать в виде

(x− 1)(y− 1)= 8

Поскольку ни один из множителей не может равняться $8$ (тогда соответствующее простое число равнялось бы $9$ ), то

x − 1= 2, y − 1= 4 (или наоборот)

Ответ:

$(3;5;7)$ с точностью до перестановки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95968

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Напомним, что натуральное число называется простым, если у него ровно $2$ делителя: $1$ и само это число. Начало ряда простых чисел: $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ …

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим, что такая пара существует. Пусть это пара p, q. Тогда по условию p² - q² — простое число. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 2

p² - q² = (p - q) * (p + q) и по условию такое число простое. В таком случае, что можно сказать про p - q?

Подсказка 3

p - q должно быть равно 1. Ведь иначе, p² - q² не будет простым по определению. Остаётся найти такие простые числа, разность между которыми равна 1!

Показать ответ и решение

Пусть $p$ и $q$ — простые числа и $p2− q2 = (p − q)(p+ q)$ — простое число. Тогда $p− q = 1.$ Следовательно, одно из наших чисел чётно, то есть $q = 2,$ $p= 3.$

Ответ: (2; 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#96951

Решите в натуральных числах уравнение

3 2 3 3x +5x y− 7y =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что будет, если у этого уравнения есть решение? Может из одного решения мы можем сделать ещё какое-то?

Подсказка 2

Да, если мы найдём хотя бы одно решение данного уравнения, поделив x и y на их НОД, мы получим ещё одно решение! Но как же тогда найти хотя бы 1 решение?

Подсказка 3

Так как мы разделили числа на их НОД, получим x₀, y₀ такие, что их НОД = 1, то есть числа взаимно простые. Но разве тогда существует решение?

Подсказка 4

Нет. Осталось понять, почему.

Показать ответ и решение

Пусть имеется некоторое решение уравнения, разделив $x$ и $y$ на их наибольший общий делитель получим пару, являющуюся решением. То есть наличие решений гарантирует наличие решения с взаимно простыми $x0,y0.$ Тогда $3 2 3 3x0+ 5x0y0− 7y0 = 0,$ то есть $2 3 x0(3x0+ 5y0) =7y0,$ а значит, $3 7y0$ делится на $2 x0.$ Тогда $2 x0$ — делитель $7,$ следовательно $x0 = 1.$ Получаем $3 3+ 5y0 = 7y0.$ Тогда $y0 = 1$ не является решением, а при $y0 ≥2$ правая часть больше.

Ответ:

Нет решений

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#99355

Наверное, всем известна Великая теорема Ферма. Её мы оставим на последнюю пробную, а пока предлагаем Вам доказать, что $k(m2−n2)k(m2+n2) (x,y,z)= (mnk, 2 , 2 ),$ где $m,n$ — взаимно простые нечётные натуральные числа, $m > n,k$ — произвольное натуральное число, — в точности решения следующего уравнения в натуральных числах:

2 2 2 x +y = z .

Примечание: То, что такие тройки — в точности решения данного уравнения, означает, что подходят такие и только такие тройки $(x,y,z)$ .

Показать доказательство

Если $(x,y,z)= k,$ то уравнение $x2+ y2 =z2$ можно разделить на $k2,$ и числа $x,y,z$ останутся целыми. Тогда теперь можно полагать, что $x,y,z$ взаимно просты в совокупности. Утверждение о взаимной простоте $x,y,z$ в совокупности, очевидно, эквивалентно утверждению о взаимной простоте $x$ и $y$ (следует из равенства $2 2 2 x + y = z$ ). Итак, тогда числа $x,y$ взаимно просты. Ясно, что они оба не могут быть четными и не могут быть оба нечетными (тогда $2 2 2 x + y ≡4 2≡4 z ,$ что невозможно). Можно считать, что $x$ нечетно, а $y$ четно. Тогда $z$ нечетно.

Уравнение можно записать так: $2 x = (z − y)(z+ y).$ Заметим, что числа $a= z− y$ и $b=z +y$ нечетны и взаимно просты (легко проверить с помощью свойства $НОД (m, n) =Н ОД(n,m − n)$ ). Так как $a,b$ взаимно просты, то являются полными квадратами, поскольку $2 ab= x .$ Тогда $2 a= m$ и $2 b= n ,$ где $m$ и $n$ — нечетные взаимно простые числа. Таким образом, $x= mn,$ $1 2 2 y =2(n − m )$ и $1 2 2 z = 2(n +m ).$ Ясно, что $x$ и $y$ можно переставить местами, а также умножить все эти числа на некоторый коэффициент.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69408

Решите уравнение

4 2 2 x + y = xy + y

в натуральных числах.

Источники: Бельчонок-2023, 11.5 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в уравнении все коэффициенты равны 1. Это наводит нас на мысль о том, что надо искать связь между x и y. У нас есть удобное слагаемое y, поэтому разумно оставить его и попытаться пораскладывать остальные слагаемые...

Подсказка 2

Мы видим, что можно вынести y² за скобку. Тогда получится, что x⁴-y²(x-1)=y. Если отнять от обеих частей 1, можно получить, что (x-1)(x³+x²+x+1-y²)=y-1. Пускай x≠1, тогда y-1 делится на x-1, т.e. y=k(x-1)+1. Теперь можно подставить вместо y k(x-1)+1 и посмотреть, что получится...

Подсказка 3

После подстановки и сокращения на (x-1) можно заметить, что наше равенство имеет вид k-3=(x-1)(...). Тогда k=m(x-1)+3 или m=(k-3)/(x-1). Вспоминаем, что k=(y-1)/(x-1) и получаем, что m=(y-3x+2)/(x-1)². Кажется, что от делимости мы уже ничего не получим. Может тогда попробовать метод оценки...

Подсказка 4

Попробуйте понять, бывает ли целое число m больше или равно 1...

Подсказка 5

Пускай m≥1.Тогда y≥x²+x-1 ⇒ x⁴=(x-1)y²+y≥x⁵+x⁴-3x³+4x-2, что неверно при x>1. Получается, что m<1 ⇔ m≤0. Тогда k может принимать значения 1, 2 или 3. Проверьте эти значения и не забудьте рассмотреть случай x=1!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

4 2 2 x − 1= xy +y − y − 1

2 2 (x − 1)(x +1)(x + 1)= y(x− 1)+(y− 1)

Если $x− 1= 0,$ то $y− 1 =0,$ запишем эту пару $(1;1)$ в ответ.

Теперь рассмотрим $x> 1.$ Тогда $x − 1$ это натуральное число и на него делится левая часть уравнения

(x− 1)⋅((x+ 1)(x2+ 1)− y2)= y− 1

А значит, $y− 1= ℓ(x − 1)$ для некоторого натурального числа $ℓ.$

После подстановки и сокращения на $x − 1$ получим уравнение:

(x+ 1)(x2+1)− (1+ ℓ(x − 1))2 =ℓ(x− 1)

(x− 1)2ℓ2+(2x− 1)ℓ− x3− x2 − x =0 (∗)

Если снова посмотреть по модулю $x− 1,$ то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число $x− 1$ , то окажется, что число

m =-ℓ− 3 = y−-3x-+22 x − 1 (x− 1)

должно быть целым.

Более того, $m< 1,$ поскольку это равносильно неравенству $y <(x− 1)2+ 3x− 2= x2+x − 1,$ которое верно при $x >1.$

Действительно, если $y ≥x2+ x− 1,$ то $x4 = (x − 1)y2 +y ≥(x− 1)(x2+ x− 1)2+ x2+ x− 1= x5+x4− 3x3+4x − 2,$ что невозможно при $x > 1.$

Таким образом, $m <1 =⇒ m ≤ 0,$ а значит, $ℓ∈{1;2;3}.$

При $ℓ= 1$ уравнение $(∗)$ принимает вид $− x(x2+1)= 0,$ что невозможно для $x> 1.$

Если $ℓ= 2,$ то число $m$ будет целым только при $x= 2,$ однако пара $(ℓ,x)= (2,2)$ не удовлетворяет уравнению $(∗).$

При $ℓ= 3$ уравнение $(∗)$ переписывается в виде $(x− 1)2(x− 6)=0.$ Отсюда находим, что $x= 6$ и затем $y =ℓ(x− 1)+ 1= 16.$

Ответ:

$(1;1),(6;16)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74219

Найдите все пары целых чисел $n$ и $k,$ для которых выполнено

9 6 3 k n +3n + 2n = 7 − 1

Показать ответ и решение

Перенесём $1$ влево и попробуем собрать куб суммы: $(n3+ 1)3− n3 = 7k.$ Теперь распишем разность кубов: $3 6 4 3 2 k (n − n+ 1)(n +n +2n + n +n +1)= 7 .$ Следовательно, каждая скобка равна степени семёрки. Притом ясно, что правая скобка больше левой, а значит правая скобка делится на левую. Таким образом, остаток от деления многочлена из правой скобки на многочлен из левой скобки должен равняться нулю, то есть их НОД равен левой скобке.

Теперь попробуем найти их НОД в явном виде. Остаток от деления правой скобки на левую равен $2 3n ,$ то есть НОД делит $2 3n .$ Притом ясно, что на $3$ они не делятся, потому что это степени семёрки. Следовательно, НОД делит $2 n .$ Остаток от деления левой скобки на $2 n$ равен $n− 1.$ Остаток от деления $2 n$ на $n − 1$ равен $n,$ а остаток от деления $n$ на $n − 1$ равен $1.$ То есть НОД равен $1.$ Следовательно, $3 n − n+ 1= 1,$ а значит $n= 0,±1.$ Осталось проверить найденные значения, найти соответствующие $k$ и написать ответ.

Ответ:

$n =0,k= 0;n = 1,k= 1;n= −1,k= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#76175

Найдите все тройки натуральных чисел $(x,y,z),$ для которых выполняется

3 3 3 x + y +z − 3xyz =p

где $p$ — простое число, большее $3.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x3+y3+ z3− 3xyz = (x+ y+ z)(x2+y2+ z2− xy − yz− zx).$ Первая скобка в силу натуральности $x,y,z$ хотя бы $3.$ Вторая скобка всегда неотрицательна ( $2 2 2 2 2 2 x + y + z − xy− yz− zx = ((x− y)+ (y− z) + (z− x))∕2$ ), а значит, она может принимать значения либо $0,$ либо $1,$ либо большие $1.$ Первый и последний случаи нам не подходят, т.к. произведение первой и второй скобки будет либо $0,$ либо составное число. Значит, вторая скобка может принимать только значение $1.$ Тогда $2 2 2 (x− y)+ (y− z) + (z − x) = 2.$ Но когда сумма квадратов двух целых чисел равна $2?$ Только когда один из квадратов равен $0,$ а остальные равны $1.$ Тогда тройка $x,y,z$ содержит числа $a,a,a± 1$ в каком-то порядке для какого-то $a∈ ℕ.$ Значит, наше изначальное уравнение сводится к нахождению таких $a,$ что $a+ a+ a± 1= p.$ Т.к. любое простое число, большее $3$ представляется в виде $3n ±1,$ то наше уравнение всегда имеет решение, причем единственное.

Ответ:

( $(p− 1)∕3,(p− 1)∕3,(p+ 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k+ 1,k ∈ℤ$ или ( $(p +1)∕3,(p+1)∕3,(p− 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k− 1, k∈ℤ$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#76176

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $p + q= 1? x y$

Показать ответ и решение

py+ qx= xy ⇒ xy− py− qx +pq = pq ⇒ (x− p)(y− q)= pq

Т.к. $p$ и $q$ простые числа, а $x$ и $y$ натуральны, возможны только эти $8$ случаев.

$1)x− p= q,y − q = p$

$x= y = p+ q$ — решение $1;$

$2)x− p= p,y − q = q$

$x= 2p,y =2q$ — решение $2;$

$3)x− p= −q,y− q =− p$

$x= p− q,y =q − p$ — не решение, поскольку либо $x< 0,$ либо $y < 0;$

$4)x− p= −p,y− q =− q$

$x= y = 0$ — не решение, т.к. $x,y$ не натуральны;

$5)x− p= pq,y− q = 1$

$x= pq+ p,y = 1+ q$ — решение $3;$

$6)x− p= 1,y − q = pq$

$y = pq+ q,x= 1+ p$ — решение $4;$

$7)x− p= −pq,y − q = −1$

$x= p− pq < 0$ — не решение;

$8)x− p= −1,y− q =− pq$

$y = q− pq < 0$ — не решение;

Итого у нас всего $4$ решения. Все они различные, т.к. отношение $x :y$ во всех случаях различные ( $1,p:q,p :1,1:q$ соответственно в каждом случае).

Ответ:

4 решения — ${(p+ q, p+ q), (2p, 2q), (pq+ p, 1 +q) (1+ p, pq+ q)}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#76177

Найдите все простые $p,$ для которых уравнение $x4+ 4= py4$ разрешимо в целых числах.

Показать ответ и решение

4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 x +4 =x + 4x + 4− (2x) =(x + 2) − (2x) = (x − 2x+ 2)(x +2x +2)= py

$1)$ Пусть $y$ четное. Тогда $x4$ четное; тогда $x$ четное; тогда $x4$ делится на $16;$ тогда $x4+ 4$ делится на $4,$ но не на $8;$ тогда $py4$ делится на $4,$ но не на $8,$ что невозможно. Значит $x,y$ — нечетные.

$2)Н ОД(x2+2x+ 2, x2− 2x +2)= НОД(x2+ 2x+ 2, 4x)= НОД (x2+ 2x+ 2, x)= НО Д(2,x)= 1.$ Второй переход верен в силу того, что $x2+ 2x+ 2$ нечетное. Тогда

a) $x2 +2x+ 2= u4$ и $x2 − 2x+ 2= pv4$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $(x+ 1)2+ 1= (u2)2,$ что возможно только при $x =− 1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

б) $2 4 x +2x+ 2= pu$ и $2 4 x − 2x+ 2= v$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $2 2 2 (x− 1)+ 1= (v) ,$ что возможно только при $x =1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

Ответ:

Только при $p =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#76178

Решите в натуральных числах уравнение $(xy− 7)2 =x2+ y2.$

Показать ответ и решение

2 2 2 (xy− 7)= x + y

2 2 2 2 x y − 14xy+ 49− x − y = 0

x2y2− 12xy+ 36− x2− 2xy− y2 +13= 0

(xy − 6)2− (x+ y)2 =− 13

(xy− x− y− 6)(xy +x +y− 6)= −13

Т.к. $x$ и $y$ — натуральные, то каждая из скобок представляет собой целое число. Произведение двух целочисленных скобок равно $− 13$ (а $13$ число простое) только в этих случаях:

$1)xy− x− y− 6 =13,xy+y − 6 =− 1$

$x+ y = −7,xy = 12$

$x= −3, y = −4$ или $x= −4, y =−3$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

$2)xy− x− y− 6 =− 13,xy+ x+ y− 6 =1$

$x+ y = 7,xy =0$

$x= 0, y = 7$ или $x= 7, y =0$ — $x$ или $y$ не натуральное. Не решение;

$3)xy− x− y− 6 =− 1,xy+ x+ y− 6= 13$

$x+ y = 7,xy =12$

$x= 3, y = 4$ или $x= 4, y =3$ — Решения $1$ и $2;$

$4)xy− x− y− 6 =1,xy+ x+ y− 6 =− 13$

$x+ y = −7,xy = 0$

$x= 0, y = −7$ или $x= −7, y = 0$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

Итого у нас всего $2$ решения в натуральных числах.

Ответ:

$(3, 4), (4, 3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76179

Решите в целых числах уравнение $x2 +6xy+ 8y2+ 3x+ 6y = 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева есть произведение xy и квадраты x² и y². Это намекает, что можно попытаться разложить выражение в левой части на целые скобки.

Подсказка 2

Понятно, что для разложения на множители, надо будет перегруппировать слагаемые, причем в одной скобке будем выносить x с каким-то коэффициентом, а в другой — y тоже с каким-то коэффициентом. Мы хотим, чтобы после этих вынесений получились два слагаемых с одинаковыми скобками. Тогда перед вынесением надо перегруппировать так, чтобы получились две скобки, в каждой из которых есть xy с коэффициентом. Можно ли получить сумму таких скобок?

Подсказка 3

Подумаем, с каким коэффициентом можно было бы вынести y из одной из скобок. У нас есть 8y² и 6y. Их общую часть будем выносить, то есть 2y. С каким коэффициентом хочется выделить xy для скобки, из которой будем выносить 2y?

Подсказка 4

Конечно, этот коэффициент должен быть четным, так как выносим 2y. Так что глобально в первую очередь хочется попробовать два варианта: 2xy и 4xy. Получится ли тогда разложить?

Подсказка 5

Да, получится! Сгруппируем так: (x² + 4xy + 3x) + (8y² + 2xy + 6y). Тогда получится следующее разложение: (x + 2y)(x + 4y + 3). Тогда у нас получилось, что произведение двух целых скобок равно 2. При каких условиях это могло произойти?

Показать ответ и решение

Левую часть разложим на целые скобки

2 2 x + 6xy+8y + 3x+ 6y =(x+ 2y)(x+ 4y+3)

Целые делители двойки (правая часть) это $±1,±2.$

$1)x+ 2y = 2,x+ 4y+ 3= 1 ⇐⇒ x= 6,y =− 2$

$2)x+ 2y = 1,x+ 4y+ 3= 2 ⇐⇒ x= 3,y =− 1$

$3)x+ 2y = −2,x +4y+ 3= −1 ⇐⇒ x =0,y = −1$

$4)x+ 2y = −1,x +4y+ 3= −2 ⇐⇒ x =3,y = −2$

Ответ:

$(6, −2), (3, −1), (0, − 1), (3, −2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#76180

Найдите все натуральные числа $m$ и $n$ такие, что выполнено

4 2 4 2 4 2 4 2 2 (1 + 1 +1)⋅(2 + 2 + 1)⋅(3 +3 + 1)⋅...⋅(n + n + 1)=m

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит рассмотреть выражение x⁴+x²+1 и как-нибудь его преобразовать.

Подсказка 2

Давайте заметим, что x⁴+x²+1=(x²+1)²-x²= (x²-x+1)(x²+x+1). Как это применить к задаче?

Показать ответ и решение

4 2 2 2 2 2 a + a +1 =(a − a+1)(a + a+ 1),(a+ 1) − (a +1)+ 1= a +a+ 1

Тогда

∏n n∏ n−∏1 i4 +i2+ 1= (i2+ i+1)(i2− i+1)= (14− 12+ 1)⋅ (i2+ i+1)2⋅(n2 +n +1) i=1 i=1 i=1

Получается, что нам достаточно найти такие $n,$ что последний множитель квадрат, т.к. остальная часть уже квадрат. Но $n2+ n+1$ не является квадратом при натуральном $n.$ Получается, что решений в натуральных числах нет.

Ответ:

Решений нет

Предыдущий раздел

Следующий раздел