Тема . Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76183

Решите в целых числах уравнение $x2(y− 1)+ y2(x − 1)= 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть какие-то конкретные случаи и отбросить их. Например, что будет, если x и y не меньше 2?

Подсказка 2

Попробуйте зацепиться за делимость. Запишите равенство в таком виде, что слева и справа произведение скобочек. Посмотрите на нод этих скобочек.

Показать ответ и решение

$1)x< 0,y <0$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≤0.$ Решений нет.

$2 2)x= 0⇒ − y =1.$ Решений нет

$2 3)y = 0⇒ − x =1.$ Решений нет

$4)x= 1⇒ y − 1= 1⇒ y = 2$

$5)y = 1⇒ x − 1= 1⇒ x= 2$

$6)x≥ 2,y ≥2$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≥4+ 4= 8> 1.$ Решений нет

$7)x≤ 0,y ≥2$

Пусть $z = −x.$

z2y− z2− y2z− y2 =1

2 2 z (y− 2)= (1+ z)(y − z+ 1)

Т.к. $НО Д(z2,1+ z) =1,$ то $y − 2= k(1+z), k∈ ℤ . 0$

2 2 2 kz = k(1+ z)+ 4k(1+ z)+ 4− z+ 1

Если $k> 0,$ то решений нет, поскольку правая часть будет больше левой. Значит, $k= 0.$ Значит $y = 2,$ а $x= −5.$

$8)x≥ 2,y ≤0$

Аналогично получим решение $y = −5,x= 2.$

Ответ:

$(1, 2), (2, 1), (2, −5), (−5, 2)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Разложение на целые скобки

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ