Тема . Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела уравнения в целых числах
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85441

Простое p  и натуральные x  и y  удовлетворяют условиям

    2x2−-1-   2
p =   7   =2y − 1

Найдите все такие тройки чисел p,x,y.

Показать ответ и решение

Преобразуем сначала правую часть тройного равенства к виду x2 = 6y2− 3.  Теперь давайте воспользуемся тем, что p= 2y2− 1  правильным образом. Сделаем следующие преобразования:

 2   2   2
x − y = 6y − 3

(x− y)(x+ y)= 3p

При этом мы точно знаем, что слева скобки обе положительные, так как x+y  положительно, и вторая скобка больше первой. Тогда нам остаётся рассмотреть варианты следующие, когда x − y =1,x+ y = 3p  и когда x− y = 3,x +y =p.  Заметим, что p= 2  не подойдёт, так как скобки у нас одной чётности. В первом случае x= y+ 1  и тогда

(y+1)2 = 7y2 − 3

3y2− y − 2= 0

Откуда натуральный корень только y = 1,  но тогда p= 1.  Такого быть не может. А во втором случае, аналогично подставляя, получаем, что y =2.  Откуда p= 7,x= 5.

Ответ:

 p =7,x= 5,y =2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!