Разложение на целые скобки

Лемма. Пусть для простых и существуют единственные разложения в сумму двух квадратов Тогда для числа есть только два разложения на квадраты:

Доказательство. Действительно, раскрывая скобки в произведении получим выражение:

Теперь видно, что возможны только два варианта, как собрать полные квадраты.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдем к решению задачи. Так как квадраты нечётных чисел дают остаток при делении на то . Пусть , , . Тогда , , . Из леммы следует, что разложение

совпадает или с разложением

или с разложением

Так как числа и отличаются на то в первом случае получаем, что или или что невозможно из простоты и Во втором случае решением получаем, что или или или Подходит только откуда