Разложение на целые скобки
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что простое число 
можно представить в виде 
для некоторых натуральных чисел 
и 
тогда и только тогда,
когда 
является суммой квадратов двух последовательных натуральных чисел.
Подсказка 1
Пусть p представимо в виде из условия. Выделите d - наибольший общий делитель m и n(m = dx, n=dy), затем преобразуйте как-нибудь дробь, чтобы остались приятные множители
Подсказка 2
Преобразованиями можно получить d(y-x)(y^2+x^2) = p(x^2-xy+y^2) Чему может быть равен НОД множителей с разных сторон?
Подсказка 3
На самом деле такое возможно только при y - x = 1 и p = x^2 + y^2
Подсказка 4
Для решения в другую сторону попытайтесь выразить d через x (полезно посмотреть на подсказки выше)
Подсказка 5
На самом деле d кратно x^2-xy+y^2, может это оно и есть?
Пусть 
представимо в таком виде. Выделим наибольший общий делитель чисел 
и 
— 
где 
и 
взаимно просты. Сокращая равенство 
на 
получаем 
Очевидно, число 
взаимно просто и с 
и с 
Поэтому 
кратно 
Так как из
двух сомножителей 
и 
второй, очевидно, больше 
получаем 
и 
что и требовалось
доказать.
Если, наоборот, 
то искомое представление доставляют 
Действительно,
откуда
то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
