Разложение на целые скобки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа 
таковы, что 
Докажите, что число 
является точным квадратом.
Подсказка 1
Раз нужно доказать что-то про x-y, логично как-то его выразить, вынести за скобки. Притом было бы хорошо, чтобы с другой стороны не было сразу двух переменных.
Подсказка 2
Полезно тогда рассмотреть равенство (x-y)(2x+2y+1)=y^2. Итак, два множителя в произведении дают квадрат, нужно доказать, что один из них квадрат. Как бы это сделать?
Подсказка 3
Поймём, что если (x-y) и (2x+2y+1) дают в произведении y^2, то являются взаимно простыми. Осталось понять, что тогда простые могут входить в (x-y) только в чётных степенях.
Перепишем исходное равенство как
Откуда следует, что 
Если 
и 
взаимно просты, то можно утверждать, что 
(как и 
) является точным квадратом.
Предположим, они имеют общий делитель 
Тогда и 
Но тогда 
не может делиться на 
хотя
мы предположили, что и 
и 
на 
делятся. Противоречие. Значит эти числа не имеют общих делителей, а значит оба
являются полными квадратами.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
