Тема Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#31358Максимум баллов за задание: 7

Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что

3 2 3n =5m

Найдите наименьшее возможное значение $m + n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ага, видим какое-то уравнение в натуральных чисел. Надо как-то использовать делимость, чтобы понять, какие условия тут есть на n и m, как бы это сделать?

Подсказка 2

Правильно, правая часть делится на 5, тогда и левая делится! Но там кстати у нас n в кубе, то есть левая часть должна делиться уже на 5 в кубе. Но тогда правая сторона тоже должна иметь еще две пятёрки в множителях!

Подсказка 3

Теперь попробуйте провести аналогичные рассуждения с тройкой и получить минимальные значения для n и m. Не забудьте привести пример, когда достигается наименьшее значение суммы!

Показать ответ и решение

Если правая часть делится на $5$ , то и $n$ должно делиться на $5$ , но тогда левая часть делится уже на $53$ , соответственно $m$ тоже должно делиться на $5$ . Аналогично: так как левая часть делится на $3$ , то $m$ делится на $3$ , но тогда правая часть делится на $9$ , и соответственно $n$ должно делиться на $3$ . Тогда левая часть делится уже на четвёртую степень тройки, так что в правой части $m$ должно делиться хотя бы на вторую степень тройки. Таким образом, мы доказали, что $n ≥3 ⋅5 =15$ , $m ≥ 9⋅5= 45$ . Тогда $m + n≥ 15+45= 60$ . Легко видеть, что такая сумма достигается, поскольку $3 2 3⋅15 = 5⋅45$ .

Ответ:

$60$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#32938Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах

4 2 m − 2n = 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут и без подсказки ясно, что разность квадратов может помочь! Но не спешите: действительно ли вы хотите работать с корнем из 2? Может, расписать разность других квадратов?

Подсказка 2

Теперь у нас произведение двух множителей равно какому-то чётному числу – поиграйтесь с делимостью и подумайте, как можно использовать такой вид множителей (чему равна их разность?)

Подсказка 3

Запишите теперь наши множители иначе и подумайте о том, какие квадраты могут отличаться на 1? Забавный факт: разности между членами в последоватетельности квадратов образуют последовательность нечётных чисел

Показать ответ и решение

4 2 2 2 m − 1 =(m − 1)(m + 1)= 2n

Заметим, что у $m2 − 1$ и $m2 + 1$ общий делитель является делителем двойки (разности). Так как их произведение четное, то $НОД(m2− 1,m2+ 1)=2.$ При этом их произведение удвоенный квадрат. Значит, одно из этих чисел $x2,$ а второе $2y2.$ Тогда $|x2− m2 |=1$ и значит, что $m = 0$ или $±1,$ поскольку мы имеем два последовательных квадрата. Если $m = ±1,$ то $n= 0.$ Если $m = 0,$ то решений нет.

Ответ:

$m = ±1$ , $n= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#35442Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах: $(x− 2)(y− 10)= 19$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что 19 можно получить в виде произведения натуральных множителей лишь одним способом: 1 на 19. Получаем два случая:

({ x− 2= 1 (y− 10= 19

( { x− 2 =19 ( y− 10= 1

({ x =3 (y =29

( {x =21 (y = 11

Ответ: (3; 29), (21; 11)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#72246Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых натуральных $x$ и $y$ число $2022x2+ 349x +72xy+ 12y+ 2$ является составным.

Источники: Муницип - 2022, Ленинградская область, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, число точно будет не простым, если мы разложим наше число на несколько скобок так, что хотя бы 2 из них будут больше единицы! Попробуем сделать это.

Подсказка 2

Заметим, что 2022=6*337; 349=337+12; 72=6*12. Тогда остается вынести общий множитель нескольких слагаемых за скобки.

Подсказка 3

Да, мы получили две скобки: (6x+1)(337x+12y+2). При подстановке любых натуральных x и y каждая из скобок больше единицы, поэтому мы победили!

Показать доказательство

Попробуем разложить наше выражение на скобочки. Если каждая из них будет больше $1,$ то мы победили!

2 2 2022x + 349x+ 72xy+12y+ 2= 6⋅337x + 337x +12x+ 6⋅12xy +12y+ 2=

= 6x⋅(337x+ 12y+ 2)+ 337x+ 12y +2 =(6x+ 1)(337x+ 12y+2)

Так как $x$ и $y$ натуральные, то обе скобки больше $1.$ Следовательно, число — составное.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#72249Максимум баллов за задание: 7

Про различные положительные числа $a$ и $b$ известно, что

3 3 ( 2 2 3) a − b = 32a b− 3ab + b .

Во сколько раз большее число превосходит меньшее?

Источники: Муницип - 2022, Республика Башкортостан, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если перефразировать условие, то нас просто просят найти отношение a к b. Подумайте, как можно свести данное нам уравнение к уравнение, в котором мы ищем a/b.

Подсказка 2

Давайте перенесем всё в одну сторону, приведем подобные и разделим на b³. Какое уравнение мы получим и как его проще всего решить?

Подсказка 3

Давайте сделаем замену a/b = x. Тогда мы получаем кубическое уравнение x³-6x²+9x-4=0. Внимательно посмотрите на коэффициенты в уравнении, на что они нам намекают?

Подсказка 4

Если сумма коэффициентов уравнения равна нулю, это значит, что единица является корнем данного уравнения. Но в условии сказано, что a не равно b, значит этот корень нам не подходит. Давайте вынесем из нашего уравнения множитель (x-1). Получили квадратное уравнение, решите его и найдите нужное нам отношение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим и преобразуем разность:

0= a3− b3− 3(2a2b− 3ab2+b3)= ( 2 2) ( 2 ) (a − b)(a +ab+ b − 3 2ab(a−) b)− b(a− b)= (a − b) a2+ab+ b2− 6ab+ 3b2 = (a− b)(a2− 5ab+ 4b2) =(a− b)(a− 4b)(a− b)

По условию $a⁄= b,$ тогда получаем $a= 4b,$ значит большое число в $4$ раза больше.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#76417Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите все целые $x$ и $y$ такие, что

3 3 3 2 2 x + y + p =x y+ xy

Источники: КФУ-2022, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.

Подсказка 2

Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)

Подсказка 3

В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев

Подсказка 4

Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $x3 +y3− x2y− xy2 = −p3$ и разложим левую часть на множители:

( 2 2) 3 (x +y) x − xy+ y − (x+ y)xy =− p

2 3 (x+ y)(x− y) = −p

Таким образом, числа $x+y$ и $(x− y)2$ являются степенями простого числа $p$ . Но $(x − y)2$ — чётная степень $p,$ значит, множитель $x +y$ — это нечётная степень $p,$ и так как $x+ y ≤ 0,$ то

{ x+ y = −p { x+ y = −p3 x− y = ±p или x− y = ±1

В первом случае имеем

x= 0,y =− p или x =−p,y = 0,

Во втором

− x= − 1 (p3− 1),y =− 1(p3+ 1) или x= − 1(p3+1),y = − 1 (p3− 1) 2 2 2 2

Так как $p$ — нечётное, то числа $x$ и $y$ в этих наборах — целые.

Ответ:

$(0;− p),(−p;0),(− 1 (p3− 1);− 1(p3+1)),(− 1(p3+1);− 1(p3− 1)) 2 2 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#80600Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n$ и $k,$ удовлетворяюшне равенству

5 4 k + 5n =81k

Показать ответ и решение

4 2 5n = k(9+ k )(3+ k)(3− k)

Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении $n$ , значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения $k$ : $k= 1$ и $k= 2$ .

1) Если $k= 1$ , то $5n4 =80$ , то есть $n= 2$ .

2) Если $k= 2$ , то $5n4 =130$ . Таких натуральных $n$ не существует.

Ответ:

$n =2$ , $k =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#80967Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие натуральные $m$ и $n,$ для которых число $3m+ 7n$ является точным квадратом.

Показать ответ и решение

Пусть $3m +7n =t2.$ Оба основания сравнимы с $− 1$ по модулю $4.$ Если показатели одной чётности, то сумма степеней даст остаток $2$ при делении на $4,$ т.е. не будет точным квадратом. Значит, $m$ и $n$ разной чётности. Пусть $m = 2a+1,n= 2b,$ где $a$ — целое неотрицательное, а $b$ — натуральное. Тогда $m b b 3 = (t− 7 )(t+ 7).$ Делителями числа $m 3$ являются только степени тройки, поэтому $b p b q t− 7 = 3,t+7 = 3 ,$ откуда $b q p 2 ⋅7 = 3 − 3.$ Правая часть этого выражения при $p ⁄=0$ кратна $3,$ а левая нет, значит, $p =0,$ т.е. $b t= 7 + 1$ и $m b 3 = 2⋅7 +1.$ Остатки при делении $m a 3 = 3⋅9$ на $7$ могут быть равны $3,6,5,$ а правая часть даёт остаток $1.$ Противоречие.

Пусть $m= 2a,n = 2b+ 1,$ где $a$ — натуральное, а $b$ — целое неотрицательное. Аналогичными рассуждениями приходим к уравнению $n a 7 = 2⋅3 + 1.$ При $a =1$ получаем ответ. При $a> 1$ правая часть сравнима с $1$ по модулю $9.$ Степени семёрки при делении на $9$ дают остатки $7,4,1,$ поэтому $n$ кратно $3.$ Полагая $n 3 7 = x ,$ где $x ≥7,$ получим $2 a (x− 1)(x +x +1)= 2⋅3 .$ Поскольку $x$ нечётно, то $x − 1= 2⋅3u$ для некоторого $u ≥1$ и $x2+ x+ 1= 3v$ для некоторого $v ≥ 2.$ Выразив из первого равенства $x$ и подставив во второе, после преобразований получим $4⋅32u−1 +2⋅3u+ 1= 3v− 1.$ Правая часть этого равенства делится на $3,$ а левая — нет. Противоречие.

Ответ:

$m = 2,n = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#87098Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение $P(x)= y2, 4$ где $P (x)= x(x+ 1)...(x+k − 1). k$

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в следующем виде: $x(x+3)⋅(x+ 1)(x+ 2)= y2,$ что равносильно $(x2+ 3x)(x2+ 3x+2)= y2.$ Пусть $2 t= x + 3x +1.$ Тогда наше уравнение равносильно $2 2 (t− 1)(t+ 1)= t− 1= y .$ Но так как $t$ и $y$ целые, то такое может быть только в случае $|t|=1,y = 0.$ Но $t≥ 4.$ Значит, решений нет.

Ответ:

Решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#88383Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие простые числа $p$ и $q,$ что числа $2p− 1,2q− 1,2pq− 1$ являются точными квадратами.

Показать ответ и решение

Лемма. Пусть для простых $p$ и $q$ существуют единственные разложения в сумму двух квадратов $p= a2+ b2,q = c2 +d2.$ Тогда для числа $pq$ есть только два разложения на квадраты: $2 2 2 2 pq = (ac +bd)+ (ad− bc) =(ac− bd) +(ad+ bc) .$

Доказательство. Действительно, раскрывая скобки в произведении получим выражение:

2 2 2 2 (ac)+ (ad) + (bc)+ (bd)

Теперь видно, что возможны только два варианта, как собрать полные квадраты.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдем к решению задачи. Так как квадраты нечётных чисел дают остаток $1$ при делении на $4,$ то $p≡ q ≡ 1 (mod 4)$ . Пусть $2 2p− 1= x$ , $2 2q − 1= y$ , $2 2pq − 1= z$ . Тогда $x+1-2 x−1-2 p= (2 ) + ( 2 )$ , $y+1-2 y−-12 q = ( 2 ) + ( 2 )$ , $z+1-2 z−1-2 pq = (2 ) + (2 )$ . Из леммы следует, что разложение

( z+1)2 ( z− 1)2 pq = -2-- + -2--

совпадает или с разложением

( ) ( ) pq = x+-1y+-1 − x-− 1 y− 1 2+ x+-1y−-1+ x−-1y+-1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

или с разложением

(x+ 1y+ 1 x − 1 y− 1)2 ( x+ 1y− 1 x− 1y+ 1)2 pq = --2---2- +--2- -2-- + -2---2--+ -2----2-

Так как числа $z−21$ и $z+21$ отличаются на $1,$ то в первом случае получаем, что или $x = 1,$ или $y = 1,$ что невозможно из простоты $p$ и $q.$ Во втором случае решением получаем, что или $x= 2,y = 5,$ или $x =3,y = 3,$ или $x= 5,y = 2.$ Подходит только $x= y = 3,$ откуда $p= q = 5.$

Ответ:

$p =q = 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#91396Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество целочисленных точек $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

1- 1- -1-- |x| + |y| = 2017

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение

1- 1- -1-- |x| + |y| = 2017

2017(|x|+ |y|)− |x|y|= 0

2017⋅|x|+ 2017 ⋅|y|− |x|y|− 20172 =− 20172,

откуда вытекает

(|x|− 2017)(|y|− 2017)= 20172.

Поскольку 2017 — простое число, а $|x|$ и $|y|$ натуральные числа, то последнее уравнение равносильно объединению систем уравнений

{ { { |x|− 2017 =1 , |x|− 2017= 2017 , |x|− 2017= 20172 |y|− 2017= 20172 |y|− 2017= 2017 |y|− 2017= 1

Каждая система уравнений имеет четыре различных решения не совпадающих с решениями других систем. Следовательно, искомое количество точек равно $12.$

Ответ: 12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#42127Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения уравнения

6 5 4 3 2 3 n + 3n + 3n + 2n +3n + 3n+ 1= m ,

где $m, n$ — целые числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется левое выражение как-то разложить на множители...Попробуйте представить 2n³ как n³ + n³ и посмотреть на первые 4 слагаемых, а после на последние 4 слагаемых)

Подсказка 2

Да, это преобразуется как (n³+1)(n+1)³ = m³! А если куб равен произведению куба и "чего-то", то каким числом должно быть это "что-то"?

Подсказка 3

Либо n+1 = 0, и никто никому ничего не должен, либо n³+1 = кубу какого-то числа! Поймите, что такое случается не часто)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения

n6 +3n5+ 3n4+n3 +n3+ 3n2+3n +1 =m3 3(3 2 ) 3 2 3 n n +3n + 3n+ 1+ n + 3n +3n +1= m n3(n+ 1)3 +(n+ 1)3 = m3 (n3+ 1)(n +1)3 = m3

Произведение целых чисел слева является кубом $m3$ , значит, каждое из этих чисел является кубом, или одно из них равно 0. В первом случае получаем, что два последовательных натуральных числа, $n3$ и $n3+ 1$ , являются кубами. Но два последовательных числа являются кубами только в том случае, если это 0 и 1 или $− 1$ и $0.$ Получаем варианты $n =− 1$ или $n =0$ , проверяем подстановкой, вычисляем $m$ и составляем ответ. Во втором случае, когда один из множителей слева 0, снова возвращаемся к ответу $n =− 1,m = 0$ . Приведем доказательство, что два последовательных куба - это только числа 0 и 1 или $− 1$ и $0.$ (Считается известным фактом, в работе можно не доказывать).

(|{ a =x3, (|{ a= x3, (|{ a= x3 b =y3, b=y3, b=y3 |( a − b= 1, |( x3 − y3 = 1, |( (x− y)(x2 +xy+ y2)= 1

С учетом того, что $x,y$ целые числа, последнее произведение является произведением $1⋅1$ или $(−1)⋅(−1)$ , откуда получаем $x =1,y = 0$ или $x= 0,y = −1.$

Ответ:

$n =− 1,m = 0$ или $n = 0,m = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#72248Максимум баллов за задание: 7

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на $3.$ Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на $2022?$

Источники: Муницип - 2021, Чукотский автономный округ, 9.3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сомножители уменьшили, а произведение при этом увеличилось, подумайте, как такое возможно?

Подсказка 2

Такое возможно только, если после уменьшения на 3, двое из сомножителей стали отрицательными. Какие значения могли иметь эти два множителя?

Подсказка 3

Если числа были натуральными, а после уменьшения на 3 стали отрицательными, то это значит, что каждый из сомножителей был равен 2 или 1. Какие значения из этих двух могли принимать множители?

Подсказка 4

Если оба равнялись 2, то произведение только уменьшилось бы. Если один равнялся 1, а второй - 2, то произведение стало бы меньше из-за уменьшения третьего множителя. Значит, оба множителя равнялись одному. Тогда какое значения принимал третий множитель?

Показать ответ и решение

В качестве примера подходит произведение $1 ⋅1 ⋅678.$ После указанной операции получается $(−2)⋅(− 2)⋅675= 2700= 678+ 2022.$

Как его можно придумать? Предположим, что два из сомножителей равнялись $1,$ а третий — $a.$ Их произведение было равно $a,$ а после уменьшения превратилось в $2 (−2)(a− 3)=4a− 12.$ Значит, при $4a− 12= a+2022$ условие соблюдается. Решая это уравнение, получаем $a= 678.$

Варианты правильных ответов:

да
Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#76061Максимум баллов за задание: 7

Три натуральных числа $a< b< c$ таковы, что $b− a= c− b.$ Известно, что

2 2 2 2 a + b +c = b⋅(b− a).

Найдите все возможные значения $c.$

Показать ответ и решение

Обозначим $k= b− a= c− b.$ Тогда из натуральности $a,b,c$ и того, что $a< b< c,$ следует, что $k$ тоже натуральное число.

Преобразуем равенство из условия:

2 2 2 2 a + b +c = b⋅(b− a)

2 2 2 2 (b− k) +b + (b+k) = bk

3b2+ 2k2 = bk2

3b2− k2b+ 2k2 = 0

Рассмотрим последнее равенство, как квадратное уравнение относительно $b$ с параметром $k.$ Тогда дискриминант этого уравнения $D = k4− 24k2 = k2(k2− 24).$ Чтобы уравнение имело решения в натуральных числах нам нужно потребовать, чтобы $k2(k2 − 24)= n2$ для какого-то $n∈ ℕ∪ {0}.$ Тогда понятно, что $k2− 24$ тоже должно быть точным квадратом какого-то числа $m ∈ ℕ∪ {0}.$

Имеем $k2− 24 =m2.$ Тогда $(k − m )(k+ m)= 24,$ откуда в силу натуральности $k,m,(k+ m)> (k − m ),$ и факта, что сумма $(k+ m)$ и разность $(k− m)$ двух целых чисел имеет одинаковую четность, получим следующие возможные решения:

({ ({ k− m =2 k − m = 4 ( k+ m =12 (k +m = 6

( ( {k= 7 {k= 5 (m = 5 (m = 1

Тогда рассмотрим случаи. При $k =5$ получим $3b2− 25b+50= 0,$ откуда $b =5$ — натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда $a =b− k= 0,$ что противоречит условию о натуральности $a.$

Если же $k =7,$ то получим уравнение $3b2− 49b+ 98= 0,$ откуда $b= 14$ натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда $a= 7,c= 21.$

В итоге, $c= 21$ единственное возможное значение.

Ответ:

$c= 21$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#76064Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что $3x2+ 3x+ 1= y2.$ Докажите, что $y$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно доказать что-то про y, перенесём y^2 влево. На что у нас вообще похоже имеющееся выражение? Что же будем рассматривать?

Подсказка 2

Итак, посчитаем дискриминант квадратного уравнения 3x^2+3x+1-y^2. Поскольку x натурален, дискриминант - квадрат, делаем выводы.

Подсказка 3

Итак, 3(2y - 1)(2y + 1) - квадрат. Заметим, что (2y-1) и (2y+1) взаимно просты, значит, одна из этих скобок точный квадрат, другая точный квадрат на 3. Осталось записать это условие и понять, почему тогда y сумма квадратов двух последовательных чисел.

Показать доказательство

Рассмотрим $3x2 +3x+ 1− y2 =0,$ как уравнение от $x$ с параметром $y$ с целыми коэффициентами. Чтобы у него были натуральные корни, дискриминант этого уравнения $2 2 D = 9− 12(1− y)= 12y − 3 =3(2y− 1)(2y +1)$ должен быть точным квадратом. При этом НОД $(2y − 1;2y+1)= 1.$ Тогда число $3(2y− 1)(2y+1)$ может быть точным квадратом, только если $2y− 1$ или $2y+ 1$ — точный квадрат (а второе число становится квадратом при домножении на $3$ , т. е. содержит простой делитель $3$ в нечетной степени, остальные — в четной). При этом $2y+ 1$ не может быть точным квадратом, иначе $.. (2y− 1).3$ и тогда $2y+ 1$ — квадрат, имеющий остаток $2$ при делении на $3,$ противоречие.

Значит, $2 2y − 1 =m$ для некоторого нечетного натурального $m.$ Тогда $m2+1 m−1-2 m+12 y = 2 = ( 2 ) + ( 2 ).$ Очевидно, что $m−1- 2$ и $m+1- 2$ два последовательных натуральных числа при нечетном $m > 1.$ Случай $m = y = 1,$ при котором нарушается натуральность числа $m −1 --2-= 0$ можно рассмотреть отдельно. В этом случае $x= 0,x= −3$ — возможные значения, дающие такой $y,$ но $x$ — должен быть натуральным по условию. Значит, $m > 1$ и нечетное, а $m− 1 m+1 y =(-2--)2+ (-2-)2$ представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#92985Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $a,b,c,d$ такие, что выполнены равенства $a +b= cd,c+ d= ab.$

Источники: Высшая проба - 2021, 11

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот если бы было равенство a + b = ab, вы бы его сразу записали в виде 1 = (a - 1)(b - 1) и быстро с ним разобрались. Подумайте, как это применить к этой задаче.

Подсказка 2

Конечно, уравнения надо сложить! Ведь тогда мы получим равенство (ab - a - b) + (dc - d - c) = 0.

Показать ответ и решение

Если сложить равенства и к полученному прибавить $2,$ то мы получим равенство $(ab− a− b+1)+ (cd− c− d+ 1)= 2.$ Или же $(a− 1)(b− 1)+ (c− 1)(d− 1)= 2.$ То есть сумма двух целых неотрицательных равна $2,$ а значит либо одно $0,$ второе $2,$ либо оба равны $1.$ Осталось перебрать и написать ответ.

Ответ:

$(2,2,2,2),(1,5,2,3),(5,1,2,3),(5,1,3,2),(1,5,3,2),(2,3,1,5),(2,3,5,1),(3,2,5,1),(3,2,1,5)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#96523Максимум баллов за задание: 7

Зная, что $2021 =43⋅47$ , решите в целых числах уравнение с двумя неизвестными

40(x+ y)+xy =421.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем преобразовать левую часть уравнения. У нас имеется xy, 40x и 40y, тогда подумаем, какие скобки нужно раскрыть, чтобы появились эти три слагаемых.

Подсказка 2

Обратите внимание на то, чем отличается правая часть от числа, данного в условии.

Подсказка 3

Левая часть уравнения равна (40+x)(40+y) - 1600. Тогда теперь нам нужно решать уравнение на разложение числа 2021 ;)

Подсказка 4

Разберите случаи, когда среди этих скобок есть равная единице, равная -1 и случай, когда таких нет!

Показать ответ и решение

Переменные входят в уравнение симметрично, поэтому если есть решение $(x,y)$ , то $(y,x)$ тоже является решением. Далее,

2 (40+ x)(40+y)= 40 +40(x+ y)+ xy = 1600 +421= 2021.

Введём переменные $a= 40+x,b= 40+y ∈ℤ$ и рассмотрим уравнение

ab= 2021= 43 ⋅47.

Если есть решение $(a,b)$ , то есть и решение $(b,a)$ .

1. Пусть один из множителей равен $1,$ например, $a= 40+x =1.$ Тогда $b= 40+ y = 2021,$ и есть решения

(x,y)= (−39;1981),(1981;−39).

2. Пусть один из множителей равен $− 1,$ например, $a= 40+x =− 1$ . Тогда $b=40+ y = −2021,$ и есть решения

(x,y)= (− 41;−2061),(−2061;− 41).

3. Пусть нет множителей $± 1.$ Тогда $(a,b)=(43;47),(−43;− 47),(47;43),(−47;−43)$ откуда получаем решения

(x,y)= (3;7),(−83;− 87),(7;3),(−87;−83).

Ответ:

8 пар: $(3;7),(7;3),(−39;1981),(1981;− 39),(−41;−2061),(−2061;−41),(−83;−87),(−87,− 83).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#44067Максимум баллов за задание: 7

Найдите целые числа $x$ и $y$ , для которых

( x- y) -x y log2 17 + 5 = log217 +log2 5

Источники: Росатом-20, 11.1 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая ОДЗ, преобразуем логарифм суммы и напишем уравнение на x и y без логарифмов. Как решить получившееся уравнение и как оно выглядит?

Подсказка 2

5x + 17y = xy. Запишем как x(5-y) + 17y = 0 и попробуем разложить на множители для дальнейшего удобства)

Подсказка 3

(x-17)(y-5) = 17*5. Числа целые, поэтому можно делать выводы о значении скобок. У 85 маленькое количество делителей, поэтому остается лишь перебрать значения x-17 и y - 5!

Показать ответ и решение

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что $x> 0,y >0.$ Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

(-x y) xy log2 17 + 5 =log285 ⇐⇒ 5x+ 17y =xy

Попробуем разложить на множители: $x(5− y)+17y = 0 ⇐⇒ x(5− y)− 17(5− y)+ 17⋅5= 0 ⇐⇒ (x − 17)(y− 5)=17⋅5.$

С учётом того, что $y − 5> −5$ и $x − 17> −17,$ по основной теореме арифметики возможны только такие пары: $(y− 5,x − 17)∈{(1,85),(5,17),(17,5),(85,1)}.$ Соответственно $(x,y)∈ {(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)}.$

Ответ:

$(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#105231Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n,$ для которых число $210+ 213 +214+3 ⋅2n$ является квадратом натурального числа.

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В точный квадрат все простые множители входят в чётных степенях. В нашей задачей рассматривают сумму, которая содержит степени двойки, так что можно рассмотреть именно степень вхождения двойки.

Подсказка 2

Попробуем провести разумный перебор. Допустим, самая маленькая степень вхождения двойки в слагаемые будет в 3*2ⁿ. Тогда она должна быть чётной, мы можем явно проверить эти случаи.

Подсказка 3

Пусть теперь n достаточно большое. Тогда можно вынести 2¹⁰, останется какая-то нечётная сумма, которая должна быть равна (2k+1)² для какого-то k.

Подсказка 4

После раскрытия скобок можно будет сократить на 4, а после разложить на множители. Остаётся заметить, что скобки, связанные с k, имеют разную чётность, а значит, одна из них гарантированно маленькая.

Показать ответ и решение

Рассмотрим несколько случаев

1) Пусть $n< 10,$ тогда $10 13 14 n n( 10−n 13−n 14−n ) N = 2 + 2 + 2 +3 ⋅2 =2 2 +2 + 2 + 3 ,$ второй сомножитель — нечетное число, $n ( k)2 2 = 2 ,n =2k.$

Если $n = 2,$ то $2( 8 11 12 ) 2 N =2 2 +2 + 2 + 3 = 2 ⋅6403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 4,$ то $( ) N =24 26+29+ 210+3 = 24⋅1603$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 6,$ то $( ) N =26 24+27+ 28+ 3 =26⋅403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 8,$ то $( ) N =28 22+25+ 26+ 3 =28⋅103$ не является квадратом натурального числа.

Пусть $n =10,$ тогда $10 13 14 10 12 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 (1+2+ 4)$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =11,$ тогда $10 13 14 11 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅31$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =12,$ тогда $10 13 14 12 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅37$ не является квадратом натурального числа.

3) Пусть $n> 12,$ тогда $N = 210(1+ 23 +24+ 3⋅2n− 10)= 210 ⋅(2k+ 1)2,$ и

25+ 3⋅2n−10 = 4k2+4k +1

n−10 2 3 ⋅2 = 4k +4k− 24

3⋅2n−12 = k2+ k− 6

3 ⋅2n−12 = (k +3)(k − 2)

Числа $k+3$ и $k − 2$ разной четности, следовательно, одно из них является делителем 3. Поскольку $k> 0$ , то либо $k− 2= 1$ , $k= 3,$ $3⋅2n−12 = 6,$ $n= 13,$ либо $k − 2= 3,k= 5,$ $3⋅2n−12 = 24,$ $n= 15.$

Ответ:

13, 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#123666Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $p,p,p,p 1 2 3$ — различные простые числа, и $p3− 2p2− 16p =p ⋅p ⋅p − 32. 1 2 3$ Найдите все такие числа $p,p,p ,p . 1 2 3$ Ответ обоснуйте.

Источники: Верченко - 2020, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать равенство так, чтобы оно (возможно, не полностью) красиво разложилось на скобки и мы могли сделать выводы о p.

Подсказка 2

Отлично, теперь мы знаем, чему равно (p-2)(p-4)(p+4). Что так и хочется сделать с p₁, p₂ и p₃, чтобы порассуждать об их значениях?

Подсказка 3

Как воспользоваться простотой чисел?

Подсказка 4

Упорядочим p₁, p₂ и p₃ и каждой скобке присвоим значение!

Подсказка 5

Осталось лишь разобрать случаи, каким же простым может быть p. В этом нам может помочь известная идея из теории чисел, которая помогает решать уравнения в целых числах.

Подсказка 6

Рассмотрите равенство по некоторому модулю!

Показать ответ и решение

Так как условие симметрично относительно $p,p ,p, 1 2 3$ тогда, не умаляя общности, считаем, что $p <p < p . 1 2 3$ По условию $3 2 p − 2p − 16p+ 32 =p1⋅p2⋅p3.$ Разложим левую часть на множители:

(p− 2)(p− 4)(p+ 4) =p1⋅p2⋅p3

Непосредственной проверкой убеждаемся, что $p⁄= 2,3,5.$ Значит, $p> 5.$ Следовательно, числа в левой части равенства различны и отличны от $1.$ Поэтому $p− 4= p,p− 2= p ,p+ 4= p . 1 2 3$ Поскольку $p$ на $3$ не делится, возможны случаи:

1.: Число $p$ при делении на $3$ даёт остаток $1.$ Тогда на $3$ делится число $p − 4.$ Такое возможно только, когда $p− 4 =3,$ так как число $p− 4= p1$ — простое. Отсюда $p= 7,p1 =3,p2 = 5,p3 = 11.$
2.: Число p при делении на $3$ дает остаток $2.$ Тогда на $3$ делится $p+ 4.$ Значит $p+4 =3,$ что невозможно.

Ответ:

$p =7,p = 3,p = 5,p = 11, 1 2 3$ при условии $p <p < p 1 2 3$