Тема Уравнения в целых числах

Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#104433Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $a,$ $b,$ $c,$ натуральное число $n$ и простое число $p$ таковы, что

n n n a +pb= b + pc =c + pa

Докажите, что $a= b= c.$

Показать доказательство

Первое решение. Если два из чисел $a,$ $b,$ $c$ равны, то сразу следует, что все три равны. Поэтому можно предположить, что числа различны попарно. Вычитая из первого уравнения второе, имеем $n n a − b = −p(b− c)$ и два аналогичных, которые при умножении дают

an− bn bn− cn cn− an 3 -a−-b-⋅-b−-c-⋅-c−-a-= −p (1)

Если $n$ нечётно, то разности $an− bn$ и $a− b$ имеют одинаковый знак, и произведение слева положительно, в то время как $− p3$ отрицательно. Следовательно, $n$ должно быть чётным.

Пусть $d$ — наибольший общий делитель разностей $a− b,$ $b− c,$ $c− a,$ так что

a− b= du; b− c =dv; c− a= dw

где $Н ОД(u,v,w)= 1$ и $u+ v+ w= 0.$

Из $an− bn = −p(b− c)$ следует, что $(a− b) | p(b− c),$ то есть

u | pv; аналогично v | pw,w | pu

Поскольку $НОД (u,v,w)= 1$ и $u +v +w =0,$ не более чем одно из чисел $u,$ $v,$ $w$ может делиться на $p.$ Если $p$ не делит ни одно из них, имеем

u | v, v | w, w | u

откуда $|u|= |v|= |w|=1;$ но это противоречит $u+ v+ w= 0.$

Таким образом, $p$ должно делить ровно одно из этих чисел. Без ораничений общности, $p | u,$ то есть $u =pu1.$ Теперь получаем, аналогично предыдущему, $|u1|= |v|= |w |=1.$ Из уравнения $pu1+v +w = 0$ следует, что $p$ было чётно, то есть $p= 2.$ Таким образом, $v+ w =− 2u1 =±2,$ откуда $v = w(= ±1)$ и $u = −2v.$ Наконец, $a− b=− 2(b− c).$

Зная, что $n$ чётное, пусть $n =2k,$ перепишем уравнение $an− bn = −p(b− c)$ с $p= 2$ в виде

k k k k (a + b )(a − b)= −2(b− c)= a− b

Второй множитель слева делится на $a− b,$ поэтому первый множитель $(ak +bk)$ должен быть $±1.$ Тогда ровно одно из чисел $a$ и $b$ должно быть нечётным; однако $a − b= −2(b− c)$ чётно, что влечет противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Начало такое же, как в первом решении. Предполагая, что $a,$ $b$ , $c$ не все равны, а значит, все различны, мы выводим уравнение $(1)$ , то есть $n$ чётное. Положим $n =2k.$

Предположим, что $p$ нечётное. Тогда целое число

an−-bn n−1 n−2 n−1 a− b = a + a b+ ...+ b

которое является множителем в $(1),$ также должно быть нечётным. Эта сумма из $2k$ слагаемых нечётна только если $a$ и $b$ имеют разную чётность. То же верно для пар $b,$ $c$ и $c,$ $a,$ то есть $a,$ $b,$ $c,$ $a$ чередуются по чётности, что невозможно.

Таким образом, $p= 2.$ Исходное уравнение показывает, что $a,$ $b,$ $c$ должны быть одинаковой чётности. Поэтому мы можем разделить $(1)$ на $p3,$ то есть на $23,$ чтобы получить следующее произведение шести целых множителей:

k k k k k k k k k k k k a-+b--⋅ a-− b-⋅ b-+-c-⋅ b-−-c-⋅ c-+-a-⋅ c-− a-= −1 (2) 2 a − b 2 b− c 2 c− a

Каждый из множителей должен быть равен $± 1.$ В частности, $ak+ bk =±2.$ Если $k$ чётное, это равносильно $ak +bk = 2$ и даёт $|a|= |b|= 1,$ откуда $ak − bk = 0,$ что противоречит $(2).$

Пусть $k$ нечётное. Тогда сумма $k k a +b ,$ равная $±2,$ имеет $a+ b$ как множитель. Поскольку $a$ и $b$ одинаковой чётности, это означает, что $a+b =±2;$ и аналогично, $b+ c= ±2,$ $c+ a= ±2.$ В некоторых двух из этих уравнений знаки должны совпадать, следовательно, некоторые два из $a,$ $b,$ $c$ равны, что вновь дает противоречие.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#81757Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

x y z 3 +4 = 5 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте посмотреть на остатки от деления.

Подсказка 2

У выражения в правой части остаток от деления на 3 должен совпадать с остатком от деления на 3 левой части, каким тогда будет z?

Подсказка 3

z должно быть четным, чтобы остаток от деления на 3 равнялся единице. На какие ещё остатки можно посмотреть?

Подсказка 4

Из-за совпадения остатков по модулю 4, x тоже будет чётным.

Подсказка 5

Преобразуйте равенство 4ʸ = 5ᶻ - 3ˣ.

Подсказка 6

4ʸ = 2²ʸ, а z и x — четные. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 7

Получится, что 2²ʸ = (5ᵘ - 3ᵛ)(5ᵘ + 3ᵛ), где z = 2u, x = 2v. Тогда скобки справа являются степенями двойки.

Подсказка 8

Выразите 5ᵘ и 3ᵛ.

Показать ответ и решение

Правая часть при делении на $3$ должна давать тот же остаток, что и левая, то есть $1.$ Поэтому $z$ чётно. Аналогично, левая часть делится на $4$ с остатком $1,$ поэтому $x$ тоже чётно. Итак,

y z x 2u 2v 2y u v u v 4 = 5 − 3 =5 − 3 ,то есть 2 =(5 − 3)(5 + 3)

Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть $5u− 3v =2k$ и $5u+ 3v = 2l,$ где $k,l≥0$ и $k+ l= 2y.$ Тогда,

u 1 ( k l) v 1 (l k) 5 =2 2 +2 , 3 = 2 2− 2

Отсюда $l>k ≥0.$ Значит, $l 2$ делится на $4.$ Тогда $k 2$ четное, но не делится на $4,$ поскольку $v 3$ нечетное целое число. Таким образом $k k =1, 2 = 2$ и $v l−1 3 = 2 − 1.$ Поскольку $k+l= 1+ l$ четное число, $l− 1$ тоже чётно, $l− 1= 2s.$ Тогда

3v = (2s− 1)(2s+ 1)

– произведение двух чисел, отличающихся на $2$ и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители это $1$ и $3.$ Значит, $s= 1, l= 3, 2y = 4.$

Ответ:

$(2,2,2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания