Оценки в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение в целых числах
Источники:
Подсказка 1
Пусть y неотрицательный. Давайте тогда попробуем сначала перенести одно из слагаемых с правой части влево и вынести за скобку общий множитель. Что тогда хочется ещё сделать? Что мы можем оценить из нашего предположения для y?
Подсказка 2
Верно, давайте сократим на 3^x и посмотрим на левую часть. Она целая, если y неотрицателен, и причём не делится на 3. Тогда что можно сказать о правой части и с чем возникает противоречие?
Подсказка 3
Да, правая тоже будет целым числом, но тогда она будет степенью тройки. Но такого быть не может! Отлично, то есть y не больше чем -1, а в силу симметрии x тоже. Давайте теперь вернёмся к исходному уравнению. Что, возможно, вам хотелось сразу сделать, но потом вы ни к чему не пришли? Как можно избавиться от степени тройки с одной стороны уравнения?
Подсказка 4
Точно, давайте теперь сократим на 3^(x+y). Тогда справа у нас останется сумма степеней троек, а слева число. Причём степени у нас будут положительные из-за ранее сделанных выводов. Осталось только оценить степени и победа!
Предположим, что 
Преобразуем уравнение:
Тогда, так как 
то 
число целое и не кратно трем. Значит, 
тоже целое, но число 
не может
быть степенью тройки (нулевой быть не может, так как оно больше 
а ненулевой - так как оно не кратно 
Таким образом,
В силу симметрии относительно перестановки 
получим, что 
Пусть 
Тогда:
Домножим на 
Пусть 
Если 
то 
Значит, 
тогда 
Получим что, 
или 
Откуда получим ответ.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
