Оценки в уравнениях над Z

Предположим, что число нечётное. Тогда и имеют разную чётность, как и и Это означает, что оба числа и чётные, как и — противоречие. Таким образом, чётное, и число является натуральным. Заметим, что тогда числа

являются целыми (без ограничений общности, будем считать, что Имеем

так что и имеют одинаковую чётность, и

Положим теперь , Тогда и, следовательно,

Тогда и, более того, так как иначе

Предположим теперь, что оба числа и являются квадратами. Тогда также является квадратом. С другой стороны, имеем

Обозначим тогда С другой стороны,

поскольку и Таким образом, и не может быть полным квадратом — противоречие.

Чётным быть не может, иначе получается, что нечётное число делится на чётное.

По условию по модулю

Значит, по модулю

При по индукции легко доказать, что откуда и

поэтому делимость невозможна.

же подходит.

Во-первых, покажем, что и взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число , а значит и делится на , но это не так.

Во-вторых, покажем, что и — точные кубы. Число — куб, — куб, значит и — куб. Если некоторое простое число входит в в степени , то оно либо входит в этой же степени в , а в — в нулевой, либо наоборот, так как . Таким образом, и — кубы, ведь все простые множители входят в них в степени.

Пусть , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:

Зафиксируем и сравним с ней . Ясно, что , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:

Нетрудно видеть, что

То есть равенство возможно лишь когда , откуда . Притом эта пара является решением при любом натуральном .

Известно, что

Тогда может равняться только в случае, если либо и либо какая-то из скобок равна

1.

Тогда левая часть уравнения равняется Но тогда и правая равна Т.е. Тогда либо либо Оба решения нам подходят.

2.

С учетом того, что то Проверкой убеждаемся, что это решение.

3.

С учетом того, что то Проверкой понимаем, что это не будет являться решением.

4.

Получается, что Подстановкой получим тождество, т.е. это будет решением.

Итого у нас решения.

Рассмотрим число Из условия следует, что оно делится на все простые и Так как кратно то не равно и то есть, применяя аналогичное соображение, получим, что все числа различны. И поэтому Докажем, что числа большие и не подходят. Заметим, что число — целое. Если среди чисел нет двойки, то это выражение равно

Если одно из чисел а все остальные не меньше то

Если же два из простых это и то

и целое, то есть равно а тогда

Положим тогда После этого уравнение примет вид

Равенство достигается тогда и только тогда, когда а Найденные значения, очевидно, подходят.

Предположим, что такие существуют. Понятно, что Пусть Тогда Значит, Тогда Противоречие, так как Значит, Тогда получаем, что — делитель и отсюда

Значит, ведь — делитель Тогда Противоречие с тем, что и различны.

Давайте перемножим эти два числа. Тогда для некоторого натурального Левая часть прошлого равенства на самом деле точно больше и точно меньше, чем в силу того, что

Следовательно,

Последнее равенство не может быть верно в силу того, что левая часть делится на а правая нет. Следовательно, таких натуральных и не существует.

Предположим, что Преобразуем уравнение:

Тогда, так как то число целое и не кратно трем. Значит, тоже целое, но число не может быть степенью тройки (нулевой быть не может, так как оно больше а ненулевой - так как оно не кратно Таким образом, В силу симметрии относительно перестановки получим, что Пусть Тогда:

Домножим на

Пусть Если то Значит, тогда Получим что, или Откуда получим ответ.

Если или то решений нет. Если то получим При решений нет, подходит, а при левая часть увеличивается менее чем в два раза при увеличении на Пусть Тогда

Последнее неравенство следует из разложения по биному Ньютона для Действительно:

Значит,

логарифмируя и деля на получаем:

Пусть Заметим, что убывает при и (у этой функции производная равна и она отрицательна при Поэтому нет решений с и с

С другой стороны, можно проверить, что

при Действительно, при это

и производная выражения равна

Но (так как при

так что

уже при Таким образом, уравнение не имеет решений при

Замечание. Вместо оценки можно использовать (верную при тогда упрощаются вычисления, но нужно перебирать больше исключений.

Чтобы левая часть была целым числом, числа и должны быть точными квадратами, при этом значит и отсюда Так как то может принимать любое значение от до — по этому значению число определяется однозначно.

Пусть и где и тогда число определяется однозначно, а именно Получается, необходимо посчитать число допустимых пар Всего их

Формула суммы квадратов первых натуральных чисел известна:

Применим эту формулу и получим

Запишем равенство в виде Правая часть больше значит левая тоже. Следовательно, Получаем неравенство которое имеет решения Осталось перебрать полученные целые значения и выписать ответ.

Ясно, что иначе правая часть больше левой. Если равенство примет вид то есть решений не будет. Если то и эта пара подходит. Пусть теперь Следовательно, (выражение на натуральных числах возрастает). Это неравенство равносильно следующему: Очевидно, оно решений в простых числах не имеет.

Попробуем собрать слева и справа полные квадраты. Домножим на и прибавим чтобы было удобнее это делать. Получим равенство

Заметим, что при натуральных выражение положительно. Значит, откуда получаем неравенство

Его решения: Осталось сделать перебор и выписать ответ.

Если записать равенство в виде станет понятно, что Теперь запишем равенство так: Возникает желание разобрать два случая.

Первый случай, кратно то есть Подставим это в уравнение и получим: Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно Дискриминант равен Он должен быть точным квадратом. Следовательно, Ясно, что значит

Получаем, что Делаем перебор, находим ответы.

Второй случай, кратно то есть Аналогичными рассуждениями получим уравнение Далее требуем, чтобы дискриминант был квадратом: Получаем ограничения на

откуда Перебираем и выписываем ответ.

Заметим, что если — решение, то тоже решения. Тогда достаточно найти все решения вида остальные будут производными от этих.

1) Если то Значит, не может быть квадратом целого числа при таких ограничениях.

2)

 

  — решения

3)   — не квадрат, решений в целых числах нет;

4)   — не квадрат, решений в целых числах нет;

5)   — не квадрат, решений в целых числах нет;

6)   — не квадрат, решений в целых числах нет;

Пусть такое число существует. И пусть оно представляется как Но если — натуральное, то:

Т.е. мы зажали наше между двумя последовательными квадратами натуральных чисел. Следовательно не может являться квадратом натурального числа.

Рассмотрим остатки по модулю 3: Из этого следует, что — четное (иначе Тогда — квадрат натурального числа. Рассмотрим квадрат следующего натурального числа:

Получается, что мы зажали между двумя квадратами последовательных натуральных чисел. Значит, что тогда не будет целым. Т.е. решений в натуральных числах нет.

Разберем два случая. Сначала предположим, что Тогда Следовательно, откуда что невозможно из соображений четности.

Теперь предположим, что Тогда откуда либо либо Изучим каждый из этих подслучаев отдельно.

Если то и число является квадратом. Это квадрат числа, большего и меньшего той же четности, что и Следовательно, либо либо В итоге или и или и

Если же то и число является квадратом. Это квадрат числа, большего и меньшего Значит, либо либо Первое уравнение имеет нецелый корень, а второе дает откуда

Перемножим наши точных квадрата, получив тоже точный квадрат

Т.к. при нечетном (mod 8), а квадраты по модулю 8 сравнимы только с делаем вывод, что четное.

при

При верно, что Домножив на получим

Получаем, что при лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Значит, единственное возможное значение — При проверке получаем, что