Оценки в уравнениях над Z

Подсказка 1

Попробуем рассмотреть данное выражение по модулю числа, на которое нужно доказать делимость. Многоэтажная степень не очень приятна. Можно ли как-нибудь ее заменить?

Подсказка 2

Можно! Для этого заметим, что 2 в степени n³ можно заменить на (-n) в степени n по нашему модулю. Теперь у нас появился вопрос о том, как раскрыть (-1) в степени n. Для этого попробуем понять, какова четность n.

Подсказка 3

Конечно, n нечетно! Тогда (-1) в степени n равна -1. Тогда по условию получается, что (n в степени n) - n - 3 является нулем по нужному модулю. Кажется, что этот модуль при достаточно больших n сильно превосходит получившееся выражение. Попробуем это доказать!

Подсказка 4

Заметим, что 2 в степени n строго больше n. Из этого легко получается, что наш модуль всегда строго превосходит число, делимость которого мы исследуем. Кажется, что тогда ответ состоит в том, что подходящих n не существует, но это еще не так! Ведь мы должны доказать, что наш модуль превосходит исследуемое на делимость число по абсолютной величине! А при каких n это число отрицательно?